1、1 第三章排列、组合与二项式定理 3.1排列与组合 3.1.1基本计数原理基本计数原理 课后篇巩固提升 基础达标练 1.某市汽车牌照号码(由 4 个数字和 1 个字母组成)可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从 字母 B,C,D 中选择,其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重复).某车主第一个号码 (从左到右)只想在数字 3,5,6,8,9 中选择,其他号码只想在 1,3,6,9 中选择,则他的车牌号码所有可能的 情况有() A.180 种B.360种 C.720 种D.960种 解析分五步完成,第 i 步取第 i 个号码(i=1,2,3,4,5).由分步乘法计数原理,可
2、得车牌号码共有 53444=960(种). 答案 D 2. 如图所示,用四种不同的颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条 线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有() 2 A.288 种 B.264 种 C.240 种 D.168 种 解析先涂 A,D,E 三个点,共有 432=24 种涂法,然后按 B,C,F 的顺序涂色,分为两类:一类是 B与 E 或 D同色,共有 2(21+12)=8 种涂法;另一类是 B与 E 和 D 均不同色,共有 1(11+12)=3 种涂法. 故涂色方法共有 24(8+3)=264种. 答案 B 3.如果 x,yN
3、+,且 1x3,x+y7,则满足条件的有序数对(x,y)的个数是() A.15B.12C.5D.4 解析当 x=1 时,y=1,2,3,4,5;当 x=2 时,y=1,2,3,4;当 x=3 时,y=1,2,3.由分类加法计数原理得,有序数对有 5+4+3=12(个). 答案 B 4.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a2,且 a3a2,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等), 那么所有凸数的个数为() A.240B.204 C.729D.920 解析分 8 类.当中间数为 2 时,有 12=2(个); 当中间数为 3 时,有 23=6(个); 当中间数为 4 时
4、,有 34=12(个); 当中间数为 5 时,有 45=20(个); 当中间数为 6 时,有 56=30(个); 当中间数为 7 时,有 67=42(个); 3 当中间数为 8 时,有 78=56(个); 当中间数为 9 时,有 89=72(个). 故共有 2+6+12+20+30+42+56+72=240(个). 答案 A 5. 如图,从 AC 有种不同的走法. 解析分为两类,不过 B 点有 2 种方法,过 B 点有 22=4 种方法,共有 4+2=6 种方法. 答案 6 6.有 10 本不同的数学书,9 本不同的语文书,8 本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有 种不同的取法. 解析
5、任取两本不同类的书分为三类:取数学、语文各一本;取语文、英语各一本;取数学、英语 各一本.在每一类中利用分步乘法计数原理,再利用分类加法计数原理即可.共有 109+89+810=242 种不同取法. 答案 242 7.椭圆? 2 ? ? ?2 ? =1 的焦点在 y 轴上,且 m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数 为. 解析当 m=1 时,n=2,3,4,5,6,7,有 6 种取法;当 m=2 时,n=3,4,5,6,7,有 5 种不同取法;当 m=3 时,n=4,5,6,7, 有 4 种不同取法;当 m=4 时,n=5,6,7,有 3 种不同取法;当 m=5
6、 时,n=6,7,有 2 种不同取法,故这样的椭圆 共有 6+5+4+3+2=20(个). 答案 20 8.将 4 种蔬菜种植在如图所示的 5 块试验田里,每块试验田种植一种蔬菜,相邻试验田不能种植同一 种蔬菜,不同的种法有种.(种植品种可以不全) 4 解析分五步,由左到右依次种植, 种法分别为 4,3,3,3,3 种. 由分步乘法计数原理,不同的种法有 43333=324(种). 答案 324 9.某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的情况有多少种? 解分两类完成. 第一类,甲企
7、业有 1 人发言,有 2 种情况,另两个发言人来自其余 4 家企业,有 6 种情况,由分步乘 法计数原理知有 26=12 种情况; 第二类,3 人全来自其余 4 家企业,有 4 种情况. 根据分类加法计数原理,共有 12+4=16 种情况. 10.若直线方程 Ax+By=0 中的 A,B 可以从 0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示 的不同直线共有多少条? 解分两类完成. 第一类,当 A 或 B 中有一个为 0 时,表示的直线为 x=0 或 y=0,共 2 条. 第二类,当 A,B 不为 0 时,直线 Ax+By=0 被确定需分两步完成. 第一步,确定 A 的值,有
8、 4 种不同的方法; 第二步,确定 B 的值,有 3 种不同的方法. 由分步乘法计数原理知,共可确定 43=12 条直线. 由分类加法计数原理知,方程所表示的不同直线共有 2+12=14 条. 能力提升练 5 1.(2019 浙江高三专题练习)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的 发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图: 表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图: 如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为() A.46B.44C.42D.
9、40 解析按每一位算筹的根数分类一共有 15 种情况,如 下:(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1, 0,4), 2 根以上的算筹可以表示两个数字,运用分步乘法计数原理, 则上述情况能表示的三位数字个数分别为: 2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2, 根据分类加法计数原理,5 根算筹能表示的三位数字个数为 2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44. 故选 B.
10、 答案 B 2.用 0,1,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为() A.243B.252C.261D.279 6 解析由分步乘法计数原理知:用 0,1,9 十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有 91010=900 个,组成无重复数字的三位数共有 998=648个,因此组成有重复数字的三位数共有 900-648=252. 答案 B 3.(2019 辽宁实验中学高三月考)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂 可以自由选择,但甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案的种数为() A.16B.18C.37D.48 解析根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有
11、4 种选择,共有 444=64 种情况.其中工厂甲没有 班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有 3 种选择,共有 333=27 种方案.则符合 条件的参观方案有 64-27=37 种.故选 C. 答案 C 4.(2019 浙江高三专题练习)5 名同学在“五一”的 4 天假期中,随便选择一天参加社会实践,不同的选法 种数是() A.10B.60C.54D.45 解析 5 名同学在“五一”的 4 天假期中,随便选择一天参加社会实践,不同的选法种数是 44444=45,故选 D. 答案 D 5.联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资,每种物资既可以全部给一个国 家,
12、也可以由其中两个或三个国家均分,若每个国家都要有物资援助,则不同的援助方案有 种. 解析由题意知,若每个国家都要有物资援助,需要分为:三个国家粮食和药品都有,有 1 种方法; 一个国家粮食,两个国家药品,有 3 种方法; 一个国家药品,两个国家粮食,有 3 种方法; 两个国家粮食,三个国家药品,有 3 种方法; 两个国家药品,三个国家粮食,有 3 种方法; 7 一个国家粮食和药品,另两个国家各一种,有 3(2+2)=12 种方法. 根据分类加法计数原理,方法总数是 25. 答案 25 6.(2019 河北高二期中)某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁 四人报名参
13、加,每人只报名参加一项,且甲乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为. 解析甲有三个培训可选,甲乙不参加同一项,所以乙有两个培训可选,丙、丁各有三个培训可选,根据 分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为 3233=54. 答案 54 7.由数字 1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数,偶数共有个,其中个位数字比十位数字大的 偶数共有个. 解析第一空:分 2 步分析 要求是没有重复数字的三位偶数,其个位是 2、4 或 6,有 3 种情况; 在剩下的 5 个数字中任选 2 个,安排在前 2 个数位,有 54=20 种情况, 则有 320=60 个符合题意的三位偶数. 第二空:分 3 种情况讨
14、论 当其个位为 2 时,十位数字只能是 1,百位数字有 4 种情况,此时有 4 个符合题意的三位数; 当其个位为 4 时,十位数字可以是 1,2,3,百位数字有 4 种情况,此时有 34=12 个符合题意的三 位数; 当其个位为 6 时,十位数字可以是 1,2,3,4,5,百位数字有 4 种情况,此时有 54=20 个符合题意 的三位数. 则有 4+12+20=36 个符合题意的三位数. 故答案为 60,36. 答案 6036 8 8.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有 28 人,A 型血的共有 7 人,B 型血的共有 9 人,AB 型血的有 3 人. (1)从中任选 1 人去
15、献血,有多少种不同的选法? (2)从四种血型的人中各选 1 人去献血,有多少种不同的选法? 解从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法.从 A 型血的人中选 1 人有 7 种不同的选法,从 B 型血 的人中选 1 人有 9 种不同的选法,从 AB 型血的人中选 1 人有 3 种不同的选法. (1)任选 1 人去献血,即无论选择哪种血型的哪一个人,这件“任选 1 人去献血”的事情都能完成,所 以由分类加法计数原理,共有 28+7+9+3=47 种不同的选法. (2)要从四种血型的人中各选 1 人,即要在每种血型的人中依次选出 1 人后,这件“各选 1 人去献血” 的事情才完成,所以用分
16、步乘法计数原理,共有 28793=5 292 种不同的选法. 素养培优练 某学校高二年级有 12 名语文教师、13 名数学教师、15 名英语教师,市教育局拟召开一个新课程 研讨会. (1)若选派 1 名教师参会,有多少种派法? (2)若三个学科各派 1 名教师参会,有多少种派法? (3)若选派 2 名不同学科的教师参会,有多少种派法? 解(1)分三类:第一类选语文老师,有 12 种不同选法;第二类选数学老师,有 13 种不同选法;第三类选英 语老师,有 15 种不同选法,共有 12+13+15=40 种不同的选法. (2)分三步:第一步选语文老师,有 12 种不同选法;第二步选数学老师,有 13 种不同选法;第三步选 英语老师,有 15 种不同选法,共有 121315=2 340 种不同的选法. (3)分三类:第一类选一位语文老师和一位数学老师共有 1213 种不同的选法;第二类选一位语文 老师和一位英语老师共有 1215 种不同的选法;第三类选一位英语老师和一位数学老师共有 1513 种不同的选法,共有 1213+1215+1315=531 种不同的选法.
