1、课时分层作业课时分层作业(十八十八)离散型随机变量的方离散型随机变量的方 差差 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1设随机变量 X 的概率分布列为 P(Xk)pk(1p)1 k(k0,1)，则 E(X)， D(X)的值分别是() A0 和 1Bp 和 p2 Cp 和 1pDp 和(1p)p D由 X 的分布列知，P(X0)1p，P(X1)p，故 E(X)0(1p) 1pp，易知 X 服从两点分布，D(X)p(1p) 2已知随机变量 X 的分布列为 X012 P 1 3 1 3 1 3 设 Y2X3，则 D(Y)() A.8 3 B.5 3 C.2 3 D.1 3 AE(X)01 31 1
2、32 1 31， D(X)(01)21 3(11) 21 3(21) 21 3 2 3， D(Y)D(2X3)4D(X)8 3. 3同时抛掷两枚均匀的硬币 10 次，设两枚硬币同时出现反面的次数为， 则 D()() A.15 8 B.15 4 C.5 2 D5 A两枚硬币同时出现反面的概率为1 2 1 2 1 4，故B 10，1 4 ， 因此 D()101 4 11 4 15 8 .故选 A. 4设随机变量的分布列为 P(k)Ckn 2 3 k 1 3 nk ，k0,1,2，n，且 E() 24，则 D()的值为() A8B12 C.2 9 D16 A由题意可知B n，2 3 ， 2 3nE(
3、)24，n36. 又 D()n2 3 12 3 2 9368. 5若 X 是离散型随机变量，P(Xx1)2 3，P(Xx 2)1 3，且 x 1x2，又已知 E(X)4 3，D(X) 2 9，则 x 1x2的值为() A.5 3 B.7 3 C3D.11 3 CE(X)2 3x 11 3x 24 3.x 242x1， D(X) 4 3x 1 2 2 3 4 3x 2 2 1 3 2 9. x1x2， x11， x22， x1x23. 二、填空题 6有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量 X1，X2，已知 E(X1) E(X2)，D(X1)D(X2)，则自动包装机_的质量较好 乙因为 E
4、(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，故乙包装机的质量稳定 7一农场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率 为 0.02，设发病的牛的头数为，则 D()_. 0196因为随机变量B(10,0.02)，所以 D()100.020.980.196. 8随机变量的取值为 0,1,2.若 P(0)1 5，E()1，则 D()_. 2 5 设 P(1)a，P(2)b， 则 1 5ab1， a2b1， 解得 a3 5， b1 5， 所以 D()1 5 3 50 1 51 2 5. 三、解答题 9海关大楼顶端镶有 A，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为 X1，X2(单 位：s)
5、，其分布列如下 X121012 P0.050.050.80.050.05 X221012 P0.10.20.40.20.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量 解E(X1)0，E(X2)0，E(X1)E(X2) D(X1)(20)20.05(10)20.05(00)20.8(10)20.05 (20)20.050.5； D(X2)(20)20.1(10)20.2(00)20.4(10)20.2(2 0)20.11.2. D(X1)D(X2) 由上可知，A 面大钟的质量较好 10设在 12 个同类型的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次抽到 一个，并且取出后不再
6、放回，若以 X 和 Y 分别表示取出次品和正品的个数 (1)求 X 的分布列、期望及方差； (2)求 Y 的分布列、期望及方差 解(1)X 的可能取值为 0,1,2. 若 X0，表示没有取出次品，其概率为 P(X0)C 3 10 C312 6 11，同理，有 P(X 1)C 1 2C210 C312 9 22， P(X2)C 2 2C110 C312 1 22. X 的分布列为 X012 P 6 11 9 22 1 22 E(X)0 6 111 9 222 1 22 1 2， D(X) 01 2 2 6 11 11 2 2 9 22 21 2 2 1 22 3 22 9 88 9 88 15
7、44. (2)Y 的可能取值为 1,2,3，显然 XY3. 法一：P(Y1)P(X2) 1 22， P(Y2)P(X1) 9 22， P(Y3)P(X0) 6 11， Y 的分布列为 Y123 P 1 22 9 22 6 11 E(Y)1 1 222 9 223 6 11 5 2， D(Y) 15 2 2 1 22 25 2 2 9 22 35 2 2 6 11 15 44. 法二：E(Y)E(3X)3E(X)5 2， D(Y)D(3X)(1)2D(X)15 44. 11(多选题)已知 0a1 4，随机变量的分布列如下 101 P 3 4 1 4a a 当 a 增大时，() AE()增大BE(
8、)减小 CD()减小DD()增大 AD0a1 4，由随机变量的分布列，得： E()a3 4，当 a 增大时，E()增大； D() 1a3 4 2 3 4 0a3 4 2 1 4a 1a3 4 2 aa2 5 2a 3 16 a5 4 2 7 4， 0a1 4，当 a 增大时，D()增大故选 AD. 12某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相 互独立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4) P(X6)，则 p() A0.7B0.6 C0.4D0.3 B由题意可知， 10 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二项分布， 即 X B(
9、10，p)，所以 D(X)10p(1p)2.4，所以 p0.4 或 0.6. 又因为 P(X4)P(X6)， 所以 C410p4(1p)6C610p6(1p)4，所以 p0.5，所以 p0.6.故选 B. 13(一题两空)设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_ 1 2 5由独立重复试验的方差公式可以得到 D()np(1p)n p1p 2 2 n 4，等号在 p1p 1 2时成立，所以 D() max 1001 2 1 225， D max 255. 14变量的分布列如下： 101 Pabc 其中 ac2b，若 E()1 3，
10、则 D()的值是_ 5 9 由条件可知 2bac， 又 abc3b1，b1 3，ac 2 3. 又 E()ac1 3，a 1 6，c 1 2， 故的分布列为 101 P 1 6 1 3 1 2 D() 11 3 2 1 6 01 3 2 1 3 11 3 2 1 2 5 9. 15在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽 取 10 件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)如图所示的是测量数据的 茎叶图 规定：当产品中的此种元素含量15 毫克时为优质品 (1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件 数)； (2)从乙地抽取的上述 10 件产品中随
11、机抽取 3 件，求抽到的 3 件产品中优质 品件数的分布列及方差 D() 解(1)甲地抽取的样本中优质品有 7 件， 优质品率为 7 10.乙地抽取的样本中 优质品有 8 件，优质品率为 8 10 4 5. (2)的所有可能值为 1,2,3， P(1)C 1 8C22 C310 1 15，P(2) C28C12 C310 7 15，P(3) C38C02 C310 7 15，所以的分 布列为 123 P 1 15 7 15 7 15 所以 E()1 1 152 7 153 7 15 12 5 ， 所以的方差 D() 112 5 2 1 15 212 5 2 7 15 312 5 2 7 15 28 75.
