1、课时分层作业课时分层作业(十九十九)正态分布正态分布 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知变量N(，2)，那么下面服从标准正态分布的是() AB C D. D设 Z ，则 E(Z)E 0， D(Z)D 2 D 2 1，Z N(0,1)，故选 D. 2 如果随机变量N(0,1)， 标准正态分布表中相应 x0的值为(x0)， 则() AP(x0)(x0)BP(x0)(x0) CP(|x0)(x0)DP(x0)(x0) D根据标准正态求概率的定义，P(x0)(x0)，故选 D. 3某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图 所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分
2、布)，则由如图曲线可得下 列说法中正确的一项是() A甲科总体的标准差最小 B丙科总体的平均数最小 C乙科总体的标准差及平均数都居中 D甲、乙、丙的总体的平均数不相同 A由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性 质，可知越大，正态曲线越扁平，越小，正态曲线越尖陡 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙 故选 A. 4某厂生产的零件外直径 XN(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下 午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为 7.9 mm 和 7.5 mm，则可 认为() A上、下午生产情况均为正常 B上、下午生产情况均为异常 C上午生产情况正常，
3、下午生产情况异常 D上午生产情况异常，下午生产情况正常 C根据 3原则， 在830.15,830.15即7.55,8.45之外时为异常 结 合已知，可知上午生产情况正常，下午生产情况异常 5设随机变量服从正态分布 N(3，2)，若 P(m)a，则 P(6m) () AaB12a C2aD1a D由直线m 与直线6m 关于直线3 对称，得 P(m)P(6 m)a，则 P(6m)1a. 二、填空题 6已知正态分布落在区间(0.2，)内的概率为 0.5，那么相应的正态曲线 f(x)在 x_时达到最高点 0.2由正态曲线关于直线 x对称且在 x处达到峰值和其落在区间 (0.2，)内的概率为 0.5，得
4、0.2. 7 已知正态总体的数据落在区间(3， 1)里的概率和落在区间(3,5)里的概 率相等，那么这个正态总体的数学期望为_ 1正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于 正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(3，1)和区间(3,5)的长度相等， 说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴由于正态曲线关 于直线 x对称，的意义是数学期望，因为区间(3，1)和区间(3,5)关于 x 1 对称(1 的对称点是 3，3 的对称点是 5)，所以数学期望为 1. 8某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩 作为总体，设平均成绩480，标准差100，
5、总体服从正态分布，若全市重点 校录取率为 40%，那么重点录取分数线可能划在_分(已知(0.25)0.6) 505平均成绩480，标准差100，总体服从正态分布，X N(480,1002)设重点录取分数线可能划在 f 分，则 P(Xf)1P(Xf)1 f480 100. 又(0.25)0.6，f480 100 0.25，f505 分 三、解答题 9在一次测试中，测量结果 X 服从正态分布 N(2，2)(0)，若 X 在(0,2内 取值的概率为 0.2，求： (1)X 在(0,4内取值的概率； (2)P(X4) 解(1)由于 XN(2，2)，对称轴 x2，画出示意图如图 因为 P(0X2)P(2
6、X4)，所以 P(0X4)2P(04)1 21P(0X4) 1 2(10.4)0.3. 10一建筑工地所需要的钢筋的长度 XN(8,22)，质检员在检查一大批钢筋 的长度时，发现有的钢筋长度小于 2 米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢 筋呢，还是停下来检修切割机？ 解由于 XN(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在832,8 32之外的取值概率仅为 0.3%，长度小于 2 米的钢筋不在2,14内，所以质检员 应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修 11(多选题)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态 分布，其密度函数为 f(x) 1 210e x802 200
7、 (xR)，则下列正确的是() A该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D该市这次考试的数学标准差为 10 ACD其密度函数为 f(x) 1 210e x802 200 (xR)， 该市这次考试的数学平均成绩为 80 分， 该市这次考试的数学标准差为 10. 从图形上看，它关于直线 x80 对称， 且 50 与 110 也关于直线 x80 对称， 故分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同故选 ACD. 12用(x)表示标准正态总体在区间(，x)
8、内取值的概率，若随机变量 服从正态分布 N(10,0.12)，则概率 P(|10|0.1)等于() A(9.9)B(10.1)(9.9) C(1)(1)D2(10.1) C若随机变量服从正态分布 N(10,0.12)，则 Z10 0.1 N(0,1) 又(x)表示标准正态总体在区间(， x)内取值的概率， 所以 P(|10|0.1) P| 10 0.1 |1 P(1Z1)(1)(1)，故选 C. 13 (一题两空)已知随机变量XN(2,22)， 且aXb服从标准正态分布N(0,1)， 则 a_，b_. 1 2 1 随机变量 XN(2,22)， E(X)2，D(X)224. E(aXb)aE(X
9、)b2ab0， D(aXb)a2D(X)4a21， a1 2，b1. 14设随机变量服从正态分布 N(0,1)，则下列结论正确的是_(填 序号) P(|a)P(a)(a0)； P(|a)2P(0)； P(|a)12P(0)； P(|a)(a0) 因为 P(|a)P(aa)，所以不正确； 因为 P(|a)P(aa)P(a)P(a)P(a)P(a) (1P(a)2P(a)1，所以正确，不正确； 因为 P(|a)1， 所以 P(|a)(a0)，所以正确 15某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了 200 名学生每周阅读时 间 X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图 (1)求这 200 名
10、学生每周阅读时间的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的 数据用该组区间的中间值代表)； (2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间 X 服从正态分布 N(， 2)，其中近似为样本平均数 x ，2 近似为样本方差 s2. 一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算： 若 X N(，2)，令 YX ，则 YN(0,1)，且 P(Xa)P(Ya ) 利用直方图得到的正态分布，求 P(X10) 从该高校的学生中随机抽取 20 名， 记 Z 表示这 20 名学生中每周阅读时间 超过 10 小时的人数，求 P(Z2)(结果精确到 0.000 1)以及 Z 的数学期望 参考数据
11、： 17840 3 ， 0.773 4190.0076.若 YN(0,1)， 则 P(Y0.75)0.773 4. 解(1) x 60.0370.180.290.35100.19110.09 120.049， s2(69)20.03(79)20.1(89)20.2(99)20.35(10 9)20.19(119)20.09(129)20.041.78. (2)由(1)知9，21.78，XN(9,1.78)， 1.78 178 10 4 3. P(X10)P 10 P(Y0.75)0.773 4. 由知 P(X10)1P(X10)0.226 6， 可得 ZB(20,0.226 6)， P(Z2)1P(Z0)P(Z1) 10.773 420C1200.226 60.773 419 1(0.773 4200.226 6)0.007 6 0.959 7. Z 的数学期望 E(Z)200.226 64.532.
