1、1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 学 习 目 标核 心 素 养 1了解空间中的点与空间向量的关系 2理解直线的方向向量(重点) 3掌握利用空间向量求空间两直线所成 的角的方法(重点、难点) 4掌握利用空间向量证明两条直线平行 或垂直的方法(重点) 5理解公垂线段的概念并会求其长度 1通过学习直线的方向向量，公 垂线段等概念，培养数学抽象素 养 2利用向量法证明两直线垂直， 求两直线所成的角， 提升逻辑推理 和数学运算的素养 在如图所示的正方体中，怎样借助空间向量来描述 A、B、C、D 在空间中 是不同的点？如何借助空间向量来描述直线 AD 与 A1D1，A
2、D 与 BB1以及 AD 与 AA1的位置关系？怎样借助空间向量来求 BC1与 BD1所成的角？ 1空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点 O，那么空间中任意一点 P 的位置，都可以 由向量OP 唯一确定，此时，OP 通常称为点 P 的位置向量 提醒：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定 2空间中的直线与空间向量 一般地，如果 l 是空间中的一条直线，v 是空间中的一个非零向量，且表示 v 的有向线段所在的直线与 l 平行或重合，则称 v 为直线 l 的一个方向向量此 时，也称向量 v 与直线 l 平行，记作 vl (1)如果 A、B 是直线 l 上两个不同的点，则
3、vAB ，即为直线 l 的一个方向 向量 思考 1：直线 l 的方向向量唯一吗？直线 l 的方向向量之间有怎样的关系？ 提示直线 l 的方向向量不唯一， 若 v 为直线的方向向量， 则v(0)也为 直线 l 的方向向量，直线 l 的任意两个方向向量都平行 思考 2：空间中的直线 l 的位置由 v 能确定吗？ 提示空间中直线 l 的位置可由 v 和直线上的一个点唯一确定 (2)如果 v1是直线 l1的一个方向向量， v2是直线 l2的一个方向向量， 则 v1v2 l1l2或 l1与 l2重合 3空间中两条直线所成的角 (1)设 v1、v2分别是空间中直线 l1，l2的方向向量，且 l1与 l2所
4、成角的大小为 ，则v1，v2或v1，v2 ，所以 sin sinv1，v2 ，cos |cos v1，v2| (2)v1，v2 2l 1l2v1v20 4异面直线与空间向量 设 v1，v2分别是空间中直线 l1与 l2的方向向量 (1)若 l1与 l2异面，则 v1与 v2的关系为 v1与 v2不平行 (2)若 v1与 v2不平行，则 l1与 l2的位置关系为相交或异面 提醒：“v1与 v2不平行”是“l1与 l2异面”的必要不充分条件 (3)若 Al1，Bl2，则 l1与 l2异面时，v1，v2，AB 不共面若 v 1，v2，AB 不 共面，则 l1与 l2异面 提醒：“v1，v2，AB 不
5、共面”是“l 1与 l2异面”的充要条件 (4)公垂线段：一般地，如果 l1与 l2是空间中两条异面直线，Ml1，Nl2， MNl1，MNl2则称 MN 为 l1与 l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的 长，称为这两条异面直线之间的距离 提醒：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线 l 的方向向量是唯一的() (2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 () (3)若向量 a 是直线 l 的一个方向向量，则向量 ka 也是直线 l 的一个方向向 量() 答案(1)(2)(3) 提示(1)与直线 l 平行或共线的任何向
6、量都可作为 l 的方向向量 (2) (3)k0 2(教材 P36练习 A改编)设 A(2,2,3)，B(4,0,1)在直线 l 上，则直线 l 的一 个方向向量为() A(1,2,5)B(3，2，2) C(1，1，1)D(1,1，1) CAB (4,0,1)(2,2,3)(2，2，2)2(1，1，1)，故选 C 3若异面直线 l1，l2的方向向量分别是 a(0，2，1)，b(2,0,4)，则 异面直线 l1与 l2的夹角的余弦值等于() A2 5 B2 5 C2 5 5 D2 5 5 B|a| 5，|b|2 5，ab(0，2，1)(2,0,4)4， cosa，b 4 52 5 2 5 异面直线
7、夹角的范围是 0， 2 ，选 B 4直线 l1，l2的方向向量分别为 v1(3,0,2)，v2(1,0，m)，若 l1l2，则 m 等于_ 2 3 因为 l1l2，所以存在实数，使 v1v2 即(3,0,2)(1,0，m)， 3， m2. m2 3 空间中点的位置确定 【例 1】 已知 O 是坐标原点， A， B， C 三点的坐标分别为 A(3， 4,0)， B(2,5,5)， C(0,3,5) (1)若OP 1 2(AB AC )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，求 P 点的坐标 思路探究(1)由条件先求出AB ，AC 的坐标，再利用向量的运算求
8、P 点的 坐标 (2)先把条件 APPB12 转化为向量关系，再运算 解(1)AB (1,1,5)，AC (3，1,5)， OP 1 2(AB AC )1 2(2,2,0)(1,1,0)， P 点的坐标为(1,1,0) (2)由 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12， 知AP 1 2PB 设点 P 的坐标为(x，y，z)， 则AP (x3，y4，z)，PB(2x,5y,5z)， 故(x3，y4，z)1 2(2x,5y,5z)， 即 x31 22x， y41 25y， z1 25z， 得 x8 3， y13 3 ， z5 3. 因此 P 点的坐标为 8 3， 13 3 ，5 3 此类问题
9、常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利 用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可. 跟进训练 1已知点 A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以AB 的方向为正方向，在直线 AB 上 建立一条数轴，P，Q 为轴上的两点，且分别满足条件： (1)APPB12； (2)AQQB21 求点 P 和点 Q 的坐标 解由已知，得PB 2AP， 即OB OP 2(OP OA )， OP 2 3OA 1 3OB 设点 P 坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得 (x，y，z)2 3(2,4,0) 1 3(1,3,3)， 即 x4 3 1 3 5 3，y 8 3 3
10、3 11 3 ， z011 因此，P 点的坐标是 5 3， 11 3 ，1 因为 AQQB21， 所以AQ 2QB ，OQ OA 2(OB OQ )，OQ OA 2OB ， 设点 Q 的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示， 得(x，y，z)(2,4,0)2(1,3,3)(0,2,6)， 即 x0，y2，z6 因此，Q 点的坐标是(0,2,6) 综上，P 点的坐标是 5 3， 11 3 ，1 ，Q 点的坐标是(0,2,6) 利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值) 【例 2】(1)若向量 a(x,4,5)，b(1，2,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值 为 2 6 ，则 x() A3B3C
11、11D3 或11 Aabx810 x2，|a| x241，|b| 1443 2 6 cosa，b ab |a|b| x2 3 x241 则 x20，即 x2， 则方程整理得 x28x330， 解得 x11 或 x3 x11 舍去， x3 (2)如图，BC2，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的坐标为 3 2 ，1 2，0，点 D 在平面 yOz 上，且BDC90，DCB30 求向量CD 的坐标； 求AD 与BC 的夹角的余弦值 解如图过 D 作 DEBC 于 E， 则 DECDsin 30 3 2 ， OEOBBDcos 6011 2 1 2， D 的坐标为 0，1 2， 3 2 ， 又C(
12、0,1,0)，CD 0，3 2， 3 2 依题设有 A 点坐标为 3 2 ，1 2，0， AD 3 2 ，1， 3 2 ，BC (0,2,0)， 则AD 与BC 的夹角的余弦值： cosAD ， BC AD BC |AD |BC | 10 5 利用向量求异面直线所成角的步骤 (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹 角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角 提醒：两异面直线夹角范围为 0， 2 ，时刻注意两异面直线夹角的范围是解 题的关键 跟进训练 2侧棱垂直底面的三棱柱 ABCA1B1
13、C1中，底面是边长为 2 的正三角形，侧 棱 AA12，点 O，M 分别是 BC，A1C1的中点，建立如图所示空间直角坐标系 (1)写出三棱柱各顶点及点 M 的坐标； (2)求异面直线 CM 与 BA1夹角的余弦值 解(1)根据图形可求得下列点的坐标： A( 3，0,0)，B(0，1,0)，C(0,1,0)，A1( 3，0,2)，B1(0，1,2)，C1(0,1,2)， M 3 2 ，1 2，2 (2)CM 3 2 ，1 2，2，BA1 ( 3，1,2)， CM BA1 5，|CM | 5，|BA1 |2 2， cosCM ， BA1 5 2 10 10 4 利用空间向量处理平行问题 探究问题
14、 1直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？ 提示(1)非零性：直线的方向向量是非零向量 (2)不唯一性： 直线 l 的方向向量有无数多个， 可以分为方向相同和相反两类， 它们都是共线向量 (3)给定空间中的任一点 A 和非零向量 a，就可以确定唯一一条过点 A 且平 行于向量 a 的直线 2两条平行直线的方向向量有什么关系？ 提示设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，则 lmabab 【例 3】(1)已知向量 a(2,4,10)，b(3，x,15)分别是直线 l1、l2的方向向 量，若 l1l2，则 x_ (2)如图所示，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F 分别是
15、BB1， DD1的中点，求证：FC1平面 ADE (1)6l1l2，存在实数 k 使得 bka， 32k， x4k， 1510k， 解得 x6 (2)证明如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0，0,0)，A(2,0,0)， C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1) 所以FC1 (0,2,1)，DA (2,0,0)，AE (0,2,1)， 因为 DA平面 ADE， AE平面 ADE， 且(0,2,1)0(2,0,0)1(0,2,1)， 即FC1 0DA 1AE ， 所以有 FC1平面 ADE 或 FC1平面 ADE， 又因为 FC1平面 ADE， 所
16、以 FC1平面 ADE 1(变问法)本例 3(2)中 G，H 分别为 AD，B1C1的中点，求证：EGFH 为平 行四边形 证明如图所示，建立空间直角坐标系 则 E(2,2,1)，G(1,0,0)，F(0,0,1)，H(1,2,2) 所以EG (1，2，1)，FH (1,2,1) 所以FH EG ，所以FH EG 显然 EG 与 FH 不重合，故 EGFH 又|EG | 122212 6， |FH | 122212 6，EGFH， 四边形 EGFH 为平行四边形 2(变问法)本例 3(2)条件不变，改为求平面 ADE平面 B1C1F 证明如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，D(
17、0，0,0)，B1(2,2,2)， C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， 得DE (2,2,1)，FB1 (2,2,1)， DA (2,0,0)，B1C1 (2,0,0)， 所以DE FB1 ，DA B1C1 ， 又相互不共面， 所以 DEFB1，DAB1C1， 又 DADED，FB1B1C1B1， 所以平面 ADE平面 B1C1F 1证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行 2用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量 是共线向量且直线不在平面内； 二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线 向量是共面向量且直线不在平面内 3利用向量证明面面平行
18、，可转化为证明线面平行 提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注 意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点 1空间中的点与直线可以利用空间坐标与直线的方向向量来研究，更进一 步研究空间几何中的平行、垂直关系 2在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解，也 可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择合适的基底都能解决问题 3利用空间坐标系可以研究异面直线问题，如异面直线所成的角、异面直 线的距离等 1若 A(1,0,1)，B(2,3,4)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是() A(1,3,3)B(1,3,3) C(3,3,5)D(2,4,
19、6) BAB (2,3,4)(1,0,1)(1,3,3) 2向量 a(x,1，2)，b(3，x,4)，ab，则 x() A8B4C2D0 C向量 a(x,1，2)，b(3，x,4)，ab， ab3xx80，解得 x2故选 C 3直线 l1与 l2不重合，直线 l1的方向向量为 v1(1,1,2)，直线 l2的方向 向量为 v2(2,0，1)，则直线 l1与 l2的位置关系为_ 垂直v1v21(2)102(1)0， v1v2 4已知向量 a(1,0，1)，向量 b( 2，0,0)，则a，b_ 45ab 2100(1)0 2，|a| 2，|b| 2， cosa，b ab |a|b| 2 2 又 0a，b180，a，b45 5在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的 中点，BCCACC1，求 BM 与 AN 所成角的余弦值 解以 C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设 BCCACC12，则 A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0，2,2)，AN (1,0，2)， BM (1，1，2)，|AN | 120222 5， |BM | 121222 6， cosAN ， BM AN BM |AN |BM | 14 5 6 3 30 30 10
