1、2.2.2直线的方程 学 习 目 标核 心 素 养 1会求直线的点斜式、斜截式、两点式 和一般式的方程(重点) 2掌握确定直线位置的几何要素，掌握 直线方程的几种基本形式及它们之间的 关系(重点) 3 灵活选用恰当的方式求直线方程 (难 点) 1通过直线方程的几种形式的学习， 培养数学抽象的核心素养 2通过直线方程的几种形式适用范围 的学习，提升逻辑推理、数学运算的 核心素养 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为 x 轴， 桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系， 那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的 直线怎样表示直线的方程呢？ 1直线的点斜式方程与斜截式方程 在平面直角坐
2、标系中，如果已知 P0(x0，y0)是直线 l 上一点及 l 的斜率信息， 就可以写出直线 l 的方程 (1)如果直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 xx0 (2)直线的点斜式方程： 若直线 l 的斜率存在且为 k，P(x，y)为直线 l 上不同于 P0的点，则直线 l 的 方程为 yy0k(xx0)由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式 方程 思考 1：直线的点斜式方程应用范围是什么？ 提示直线 l 的斜率 k 存在 (3)直线的斜截式方程 当直线 l 既不是 x 轴也不是 y 轴时，若直线 l 与 x 轴的交点为(a,0)，则称 l 在 x 轴上的截距为 a，与 y 轴
3、的交点为(0，b)，则称 l 在 y 轴上的截距为 b如果 已知直线的斜率为 k，截距为 b，则直线 l 的方程为 ykxb由直线的斜率和 截距确定，通常称为直线斜截式方程 思考 2：直线的斜截式方程应用范围是什么？ 提示直线既不与 x 轴重合也不与 y 轴重合 2直线的两点式方程与截距式方程 (1)直线 l 上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当 x2x1，y2y1时，则 yy1 y2y1 xx1 x2x1 称为直线的两点式方程 (2)若直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a，b，且 ab0，则方程x a y b1 称为直线的截距式方程 思考 3：直线的两点式方程和截距式方程
4、的应用范围分别是什么？ 提示两点式表示的直线 l 不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线 l 不与坐标轴平行或重合，且不过原点 3直线的一般式方程 直线的一般式方程为 AxByC0(A2B20) 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线 y3m(x1)恒过定点(1,3)() (2)直线 y2x3 在 y 轴上的截距为 3() (3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示() (4)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2 x1)(xx1)(y2y1)表示() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)由点斜式方程的形式知正确 (
5、2)由斜截式方程的形式知正确 (3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误 (4)正确 2已知直线的方程是 y2x1，则() A直线经过点(1,2)，斜率为1 B直线经过点(2，1)，斜率为1 C直线经过点(1，2)，斜率为1 D直线经过点(2，1)，斜率为 1 C方程变形为 y2(x1)， 直线过点(1，2)，斜率为1 3过点(1,2)和(3,5)的直线方程为 3x2y10由直线的两点式方程，得y2 52 x1 31，化简得 3x2y1 0 4经过点 P(2,1)，且斜率为1 的直线方程为 xy10由题意知，直线方程为 y1(x2)，即 xy10 求直线的点斜式方程 【例 1】写出
6、下列直线的点斜式方程 (1)经过点(2,5)，倾斜角为 45； (2)直线 yx1 绕着其上一点 P(3,4)逆时针旋转 90后得直线 l，求直线 l 的 点斜式方程； (3)经过点 C(1，1)，且与 x 轴平行； (4)经过点 D(1,1)，且与 x 轴垂直 解(1)因为倾斜角为 45， 所以斜率 ktan 451， 所以直线的方程为 y5x2 (2)直线 yx1 的斜率 k1，所以倾斜角为 45 由题意知，直线 l 的倾斜角为 135， 所以直线 l 的斜率 ktan 1351 所以直线的方程为 y4(x3) (3)由题意知，直线的斜率 ktan 00， 所以直线的点斜式方程为 y(1)
7、0，即 y1 (4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为 x1，该直线没有点 斜式方程 1求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率 k写出方程 yy0 k(xx0) 2点斜式方程 yy0k(xx0)可表示过点 P(x0，y0)的所有直线，但 xx0 除外 跟进训练 1求满足下列条件的直线的点斜式方程 (1)过点 P(4,3)，斜率 k3； (2)过点 P(3，4)，且与 x 轴平行； (3)过 P(2,3)，Q(5，4)两点 解(1)直线过点 P(4,3)，斜率 k3，由直线方程的点斜式得直线方 程为 y33(x4) (2)与 x 轴平行的直线，其斜率 k0，由直线方程的点斜
8、式可得直线方程为 y (4)0(x3)，即 y40 (3)过点 P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率 kPQ 43 52 7 7 1 又直线过点 P(2,3)， 直线的点斜式方程为 y3(x2) 求直线的斜截式方程 【例 2】根据条件写出下列直线的斜截式方程 (1)斜率是 3，在 y 轴上的截距是3 (2)倾斜角是 60，在 y 轴上的截距是 5 (3)过点 A(1，2)，B(2,3) 思路探究先求直线的斜率，结合 y 轴上的截距可用斜截式方程求解 解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为 y3x3 (2)倾斜角是 60，斜率 ktan 60 3，由斜截式可得方程 y 3x5
9、(3)斜率为 k 32 215，由点斜式得 y35(x2)，化为斜截式 y 5x7 1用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截 距和距离的区别 2直线的斜截式方程 ykxb 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的 斜率，b 是直线在 y 轴上的截距，只要确定了 k 和 b 的值，直线的图象就一目了 然因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用 k，b 的几何意义进行判断 跟进训练 2(1)写出直线斜率为1，在 y 轴上截距为2 的直线的斜截式方程； (2)求过点 A(6，4)，斜率为4 3的直线的斜截式方程； (3)已知直线 l 的方程为 2xy
10、10，求直线的斜率，在 y 轴上的截距以及 与 y 轴交点的坐标 解(1)易知 k1，b2， 故直线的斜截式方程为 yx2 (2)由于直线的斜率 k4 3，且过点 A(6，4)，根据直线的点斜式方程得直 线方程为 y44 3(x6)，化成斜截式为 y 4 3x4 (3)直线方程 2xy10 可化为 y2x1，由直线的斜截式方程知：直 线的斜率 k2，在 y 轴上的截距 b1，直线与 y 轴交点的坐标为(0,1) 直线的两点式方程 【例 3】在ABC 中，A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)， (1)求 BC 所在直线的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程 思路探究(1)由两点式
11、直接求 BC 所在直线的方程； (2)先求出 BC 的中点，再由两点式求直线方程 解(1)BC 边过两点 B(5，4)，C(0，2)， 由两点式得 y4 24 x5 05， 即 2x5y100 故 BC 所在直线的方程为 2x5y100 (2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)， 则 x050 2 5 2， y042 2 3M 5 2，3， 又 BC 边上的中线经过点 A(3,2) 由两点式得 y2 32 x3 5 23 ， 即 10 x11y80 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10 x11y80 1由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标 (2)根据题中的条件，找到有
12、关方程，解出点的坐标 (3)由直线的两点式方程写出直线的方程 2求直线的两点式方程的策略以及注意点 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方 程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程 跟进训练 3(1)若直线 l 经过点 A(2，1)，B(2,7)，则直线 l 的方程为； (2)若点 P(3，m)在过点 A(2，1)，B(3,4)的直线上，则 m (1)x2(2)2(1)由于点 A 与点 B 的横坐标相等，所以直线 l 没有两点 式方程，所求的直线方程为 x2 (2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为y1 41 x2 32，即 x
13、y1 0 又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3m10，得 m2 直线的一般式方程 探究问题 1平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程 表示吗？为什么？ 提示都可以，原因如下： (1)直线和 y 轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角 2，直线的斜率 k 存在直 线可表示成 ykxb，可转化为 kx(1)yb0，这是关于 x，y 的二元一次 方程 (2)直线和 y 轴平行(包含重合)时：此时倾斜角 2，直线的斜率 k 不存在， 不能用 ykxb 表示，而只能表示成 xa0，它可以认为是关于 x，y 的二元 一次方程，此时方程中 y 的系数为 0 2每一个关于 x
14、，y 的二元一次方程 AxByC0(A，B 不同时为零)都能 表示一条直线吗？为什么？ 提示能表示一条直线，原因如下：当 B0 时，方程 AxByC0 可变 形为 yA Bx C B，它表示过点 0，C B ，斜率为A B的直线 当 B0 时，方程 AxByC0 变成 AxC0 即 xC A，它表示与 y 轴平行或重合的一条直线 【例 4】设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR)若直线 l 不过第 三象限，则 a 的取值范围为 思路探究含有参数的一般式直线方程问题化为直线方程的相应形式， 根据实际情况求解 1，)把直线 l 化成斜截式，得 y(1a)xa2，因为直线 l 不过第 三象限，
15、故该直线的斜率小于等于零，且直线在 y 轴上的截距大于等于零即 1a0， a20， 解得 a1所以 a 的取值范围为1，) 1本例中若将方程改为“x(a1)y2a0(aR)”，其他条件不变， 又如何求解？ 解(1)当 a10，即 a1 时，直线为 x3，该直线不过第三象限，符 合 (2)当 a10，即 a1 时，直线化为斜截式方程为 y 1 1ax 2a 1a，因为 直线 l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在 y 轴上的截距大于 等于零 即 1 1a0， 2a 1a0， 解得 a1由(1)(2)可知 a1 2若本例中的方程不变，当 a 取何值时，直线不过第二象限？ 解把直线 l
16、 化成斜截式， 得 y(1a)xa2， 因为直线 l 不过第二象限， 故该直线的斜率大于等于零，且直线在 y 轴上的截距小于等于零即 1a0， a20， 解得 a2所以 a 的取值范围为(，2 当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时， 可将一般式方 程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制， 注意分类讨论)， 直接研究 ykxb： k0，b0，经过第一、二、三象限；k0，b0，经过第一、三、四象限； k0，经过第一、二、四象限；k0，b0，经过第二、三、四象限 1本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方 程并能在几种形式间相互转化 2本节课要重点掌握的规律方法
17、 (1)求点斜式方程与斜截式方程的方法 (2)求截距式方程与两点式方程的方法 (3)求一般式方程的方法 3本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况 1过点(3,2)，倾斜角为 60的直线方程为() Ay2 3(x3)By2 3 3 (x3) Cy2 3(x3)Dy2 3 3 (x3) C因为直线的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan 60 3，由直线方程的 点斜式，可得方程为 y2 3(x3) 2直线 y2 3(x1)的倾斜角及在 y 轴上的截距分别为() A60，2B60，2 3 C120，2 5D120，2 B由 y2 3(x1)的可知斜率 k 3，故倾斜角 60， 令
18、x0 可得在 y 轴上的截距 2 3 3直线 ykxb 通过第一、三、四象限，则有() Ak0，b0Bk0，b0 Ck0，b0Dk0，b0 B直线经过一、三、四象限，由图知，k0，b0 4已知直线 l 过点 P(2,1)，且斜率为1，则 l 的点斜式方程为 y1(x2)直线 l 的斜率 k1，又过点 P(2,1)，所以 l 点斜式方程 为 y1(x2) 5直线 l 经过点 P(3,4)，它的倾斜角是直线 y 3x 3的倾斜角的 2 倍， 求直线 l 的点斜式方程 解直线 y 3x 3的斜率 k 3，则其倾斜角60， 直线 l 的倾斜角为 120 直线 l 的斜率为 ktan 120 3 直线 l 的点斜式方程为 y4 3(x3)
