1、2.3.2圆的一般方程 学 习 目 标核 心 素 养 1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程 求圆心和半径(重点) 2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能 用圆的一般方程解决简单问题(重点) 3灵活选取恰当的方法求圆的方程(难点) 1通过圆的一般方程的学习， 培养数学抽象的核心素养 2借助圆的一般方程的求解及 其应用，培养数学运算的数学核 心素养 在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确 定一条直线，那么什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示， 圆也能用一个方程表示吗？这就是本节课我们要探讨的问题 1圆的一般方程的概念 当 D2E24F0 时，二元二次方
2、程 x2y2DxEyF0 叫做圆的一般 方程 2圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为 D 2 ，E 2 ，半径长为1 2 D2E24F 3对方程 x2y2DxEyF0 的说明 方程条件图形 x2y2DxEy F0 D2E24F0不表示任何图形 D2E24F0 表示一个点 D 2 ，E 2 D2E24F0 表示以 D 2 ，E 2 为圆心， 以1 2 D2E24F 为半径的圆 思考 1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？ 提示圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显圆的标 准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显
3、思考 2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？ 提示只要求出一般方程中的 D、E、F 圆的方程就确定了 思考 3：所有二元二次方程均表示圆吗？ 提示不是，Ax2BxyCy2DxEyF0，只有在 AC0，B0 且 D2E24AF0 时才表示圆 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程() (2)圆的一般方程和标准方程可以互化() (3)方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆心为 a 2，a，半径为 1 2 3a24a4的圆 () (4)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0 F0() 答
4、案(1)(2)(3)(4) 提示(1)正确圆的方程都能写成一个二元二次方程 (2)正确圆的一般方程和标准方程是可以互化的 (3)错误当 a2(2a)24(2a2a1)0，即2aD2E 24F 4 ， 即 x20y20Dx0Ey0F0 2(教材 P104练习 A改编)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是() A(2,3)B(2,3) C(2，3)D(2，3) D圆的方程化为(x2)2(y3)213，圆心为(2，3) 3若方程 x2y2DxEyF0 表示以(2，4)为圆心，4 为半径的圆， 则 F 4以(2，4)为圆心，4 为半径的圆的方程为(x2)2(y4)216即 x2 y24x8y40，故
5、F4 4过 O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为 x2y23x4y0该圆的圆心为 3 2，2， 半径为5 2， 故其标准方程为 x3 2 2 (y2)225 4 化成一般方程为 x2y23x4y0 圆的一般方程的概念 【例 1】已知方程 x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)所表示 的图形是圆 (1)求 t 的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点 P(3,4t2)恒在所给圆内，求 t 的取值范围 解(1)已知方程可化为(xt3)2(y14t2)2(t3)2(14t2)216t4 97t26t1， 由 r27t26t10 得1 7t1
6、 (2)r 7t26t17 t3 7 2 16 7 ， 3 7 1 7，1， 当 t3 7时，圆的面积最大，r max4 7 7 所对应的圆的方程为 x24 7 2 y13 49 2 16 7 (3)当且仅当 32(4t2)22(t3)32(14t2)4t216t490，点 P 恒在 圆内，8t26t0，0t3 4 形如 x2y2DxEyF0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如 下两种方法： 1由圆的一般方程的定义令 D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆. 2将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2y2DxEyF0 这种标 准形式，若
7、不是，则要化为这种形式再求解. 跟进训练 1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径 (1)x2y2x10； (2)x2y22axa20(a0)； (3)2x22y22ax2ay0(a0) 解(1)D1，E0，F1， D2E24F1430， 方程不表示任何图形 (2)D2a，E0，Fa2， D2E24F4a24a20， 方程表示点(a,0) (3)两边同除以 2，得 x2y2axay0， Da，Ea，F0，a0，D2E24F2a20， 方程表示圆，它的圆心为 a 2， a 2 ， 半径 r1 2 D2E24F 2 2 |a| 求圆的一般方程 【例 2】已知ABC 的三个顶点坐标分别是
8、A(0,5)，B(1，2)，C(3， 4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标 思路探究用待定系数法设出圆的一般方程，然后将 A、B、C 三点坐标代 入，求出 D、E、F 即可 解设ABC 的外接圆方程为 x2y2DxEyF0 将 A、B、C 三点坐标代入上式得 5EF250， D2EF50， 3D4EF250， 解得 D6， E2， F15. ABC 外接圆的方程为 x2y26x2y150， 即(x3)2(y1)225， ABC 的外接圆圆心为(3,1) 应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列 方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定
9、系数法求出 a，b，r； (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再 用待定系数法求出常数 D，E，F 跟进训练 2已知 A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求三角形 ABC 的外接圆的方程 解设三角形 ABC 外接圆的方程为 x2y2DxEyF0， 由题意得 2D2EF80， 5D3EF340， 3DEF100， 解得 D8， E2， F12， 即三角形 ABC 的外接圆方程为 x2y28x2y120 求动点的轨迹方程 探究问题 1已知动点 M 到点(8,0)的距离等于点 M 到点(2,0)的距离的 2 倍，你能求出 点 M 的轨迹方程吗？ 提示设 M(x，y
10、)，则 x82y22 x22y2，整理可得点 M 的轨迹 方程为 x2y216 2已知直角ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点 C 的轨迹方程 提示设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性 质知，|CD|1 2|AB|2，由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，以 2 为半径长的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点) 设 C(x，y)，则直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(x3 且 x1) 【例 3】已知 M(2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶 点 P
11、的轨迹方程是() Ax2y24Bx2y24 Cx2y24(x2)Dx2y24(x2) 思路探究直角边垂直斜率相乘等于1转化为方程检验 C设 P(x， y)， 由条件知 PMPN， 且 PM， PN 的斜率肯定存在， 故 kMPkNP 1即 x2y24，又当 P，M，N 三点共线时，不能构成三角形，所以 x2， 即所求轨迹方程为 x2y24(x2) 过点 A(8,0)的直线与圆 x2y24 交于点 B，则 AB 中点 P 的轨迹方程 为 (x4)2y21设点 P 的坐标为(x，y)，点 B 为(x1，y1)，由题意，结合中 点坐标公式可得 x12x8，y12y，故(2x8)2(2y)24， 化简
12、得(x4)2y21，则 AB 中点 P 的轨迹方程为(x4)2y21 求与圆有关的轨迹的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法：利用圆的几何性质列方程； (4)代入法：若动点 P(x，y)依赖于某圆上的一个动点 Q(x1，y1)而运动，把 x1， y1用 x，y 表示，再将点 Q 的坐标代入到已知圆的方程中得点 P 的轨迹方程 1本节课要重点掌握的规律方法 (1)二元二次方程表示圆的判定方法 (2)应用待定系数法求圆的方程的方法 (3)代入法求轨迹方程的一般步骤 2本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件 1已知方程 x
13、2y22x2k30 表示圆，则 k 的取值范围为() A(，1)B(3，) C(，1)(3，)D 3 2， A方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即 k1 时才 能表示圆 2若直线 2xym0 过圆 x2y22x4y0 的圆心，则 m 的值为() A2B1 C2D0 D圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心坐标为(1，2)， 直线 2xym0 过 x2y22x4y0 的圆心 22m0 得 m0 3点 P(x0，y0)是圆 x2y216 上的动点，点 M 是 OP(O 为原点)的中点， 则动点 M 的轨迹方程为 x2y24设 M(x，y)，则 xx0 2 ， yy0 2 ， 即
14、 x02x， y02y. 又(x0，y0)在圆上，4x24y216，即 x2y24 4方程 x2y2axbyc0 表示圆心为(1,2)，半径为 1 的圆，则 abc 2根据题意， 方程 x2y2axbyc0 表示圆心为(1,2)， 半径为 1 的圆， 则 a 21， b 22， 1 4a 2b24c1， 解得 a2， b4， c4. abc2 5求经过三点 A(1，1)，B(1,4)，C(4，2)的圆的一般方程 解设圆的方程为 x2y2DxEyF0，将 A，B，C 三点的坐标代入 方程整理可得 DEF2， D4EF17， 4D2EF20， 解得 D7， E3， F2. 故所求圆的一般方程为 x2y27x3y20
