1、2.6双曲线及其方程 2.6.1双曲线的标准方程 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握双曲线的定义，会用双曲线的 定义解决实际问题(重点) 2掌握用定义法和待定系数法求双曲 线的标准方程(重点) 3理解双曲线标准方程的推导过程， 并能运用标准方程解决相关问题(难 点) 1通过对双曲线的定义，标准方程的 学习，培养数学抽象素养 2借助于双曲线标准方程的推导过程， 提升逻辑推理、数学运算素养 前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率 e 有关，在现实生 活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中 很常见如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状
2、就是 本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成 这样的双曲线型冷却塔， 而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的 内容 1双曲线定义 一般地， 如果 F1， F2是平面内的两个定点， a 是一个正常数， 且 2a|F1F2| 则 平面上满足|PF1|PF2|2a 的动点 P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点 F1， F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以 通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线 思考 1：双曲线的定义中，若 2a|F1F2|，则点 P 的轨迹是什么？2a|F1F2| 呢？ 提示若
3、2a|F1F2|，点 P 的轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线；若 2a |F1F2|，点 P 的轨迹不存在 思考 2：定义中若常数为 0，则点 P 的轨迹是什么？ 提示此时 P 的轨迹为线段 F1F2的垂直平分线 2双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴x 轴y 轴 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 图形 焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c) a，b，c 的关系式c2a2b2 思考 3： 双曲线中 a，b， c 的关系如何？与椭圆中 a，b， c 的关系有何不同？ 提示双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b， 确定了双
4、曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里 b2c2a2，即 c2a2b2，其中 ca，cb，a 与 b 的大小关系不确定；而在椭圆中 b2a2c2，即 a2b2c2，其中 ab0，ac， c 与 b 的大小关系不确定 思考 4：如何确定双曲线标准方程的类型？ 提示焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程 的类型，若 x2的系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2的系数为正，则焦点在 y 轴 上 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是 双曲线() (2)在双曲线标准方程x 2 a2 y2 b21
5、中，a0，b0 且 ab () (3)双曲线标准方程中，a，b 的大小关系是 ab() 答案(1)(2)(3) 提示(1)差的绝对值是常数，且 02a|F1F2|才是双曲线 (2)当 ab 时，方程也表示双曲线，故该说法错误 (3)在双曲线中 a 与 b 的大小关系不确定 2双曲线x 2 15y 21 的焦距为( ) A4B8 C 14D2 14 Ba215，b21，c2a2b216，c4,2c8 3 若点 M 在双曲线x 2 16 y2 4 1 上， 双曲线的焦点为 F1， F2， 且|MF1|3|MF2|， 则|MF2|等于() A2B4 C8D12 B双曲线中a216， a4,2a8，
6、由双曲线定义知|MF1|MF2|8， 又|MF1| 3|MF2|， 所以 3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4 4点 P 到两定点 F1(2,0)，F2(2,0)的距离之差的绝对值为 2，则点 P 的轨 迹方程为 x2y 2 3 1因为|F1F2|42c，所以 c2 又 2a2，a1，故 b2c2a23，所以点 P 的轨迹方程为 x2y 2 3 1 双曲线定义的应用 探究问题 1双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？ 提示不加绝对值，图象只为双曲线的一支，设 F1、F2表示双曲线的左、 右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点 M 在右支上，若|MF2|MF1|2a，则点 M 在左支上 2若
7、点 M 在双曲线上，一定有|MF1|MF2|2a 吗？ 提示一定若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点 M 的轨迹为双 曲线，反之一定成立 【例 1】已知 F1，F2是双曲线x 2 9 y 2 161 的两个焦点，若 P 是双曲线左支 上的点，且|PF1|PF2|32试求F1PF2的面积 思路探究根据双曲线的定义及余弦定理求出F1PF2即可 解由x 2 9 y 2 161 得 a3，b4，c5 由双曲线定义及 P 是双曲线左支上的点得 |PF1|PF2|6， |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， 又|PF1|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100， 由余弦定
8、理得 cosF1PF2|PF1| 2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 0， F1PF290， SF1PF21 2|PF 1|PF2|16 1 (变换条件)若本例中的标准方程不变， 点 P 是双曲线上的一点， 且PF1 PF2 0，求PF1F2的面积 解因为PF1 PF2 0，所以PF1 PF2 ，不妨设点 P 在右支上， 所以有 |PF1 |2|PF2 |24c2100 |PF1 |PF2 |2a6， 解得|PF1 |PF2 |32， 所以 SPF1F21 2|PF 1 |PF2 |16 2(变换条件)若把本例条件“|PF1|PF2|32”换成“|PF1|PF2|25”， 其他
9、条件不变，试求F1PF2的面积 解由x 2 9 y 2 161 得 a3，b4，c5， 由|PF1|PF2|25， 可设|PF1|2k，|PF2|5k 由|PF2|PF1|6 可得 k2， |PF1|4，|PF2|10， 由余弦定理得 cosF1PF2|PF1| 2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 16100100 2410 1 5， sinF1PF22 6 5 ，SF1PF21 2|PF 1|PF2|sinF1PF21 2410 2 6 5 8 6 双曲线上的点 P 与其两个焦点 F1，F2连接而成的三角形 PF1F2称为焦点三 角形.令|PF1|r1，|PF2|r2，F1P
10、F2，因|F1F2|2c，所以有 1定义：|r1r2|2a. 2余弦公式： . 3面积公式： 一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决. 求双曲线的标准方程 【例 2】求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)一个焦点是(0，6)，经过点 A(5,6)； (2)经过点 P1 2，3 2 5 和 P2(4 3 7，4)两点 思路探究先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a、b 的方程组求解 解(1)由已知 c6，且焦点在 y 轴上，另一个焦点为(0,6)， 由双曲线定义 2a| 502662 502662|8， a4，b2c2a220 所以所求双曲线的标准方程为y 2 16 x
11、2 201 (2)法一：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b 0) P1，P2在双曲线上， 22 a2 3 2 5 2 b2 1， 4 3 7 2 a2 4 2 b21， 解得 1 a2 1 16 1 b2 1 9 ，(不合题意舍去) 当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0) 将 P1，P2的坐标代入上式得 3 2 5 2 a2 2 2 b2 1， 42 a2 4 3 7 2 b2 1， 解得 1 a2 1 9， 1 b2 1 16， 即 a29，b216 所求双曲线方程为y 2 9 x 2 161 法二：双曲线
12、的位置不确定， 设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) 4m45 4 n1， 16 9 7m16n1， 解得 m 1 16， n1 9， 所求双曲线的标准方程为y 2 9 x 2 161 1求双曲线标准方程的两个关注点 2待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤 (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能 (2)设方程：根据焦点位置，设其方程为x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0，b0)， 焦点位置不定时，亦可设为 mx2ny21(mn0) (3)寻关系：根据已知条件列出关于 a，b，c(m，n)的方程组 (4)得方程：解方程组，将 a，b(m
13、，n)代入所设方程即可得(求)标准方程 提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式 跟进训练 1根据条件求双曲线的标准方程 (1)a2 5，经过点 A(2，5)，焦点在 y 轴上； (2)与椭圆x 2 25 y2 5 1 共焦点且过点(3 2， 2) 解(1)双曲线的焦点在 y 轴上， 可设双曲线的标准方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)， 由题设知，a2 5，且点 A(2，5)在双曲线上， a2 5， 25 a2 4 b21， 解得 a220，b216， 所求双曲线的标准方程为y 2 20 x2 161 (2)椭圆x 2 25 y2 5 1 的焦点坐标为(2 5
14、，0)，(2 5，0)依题意，则所求双 曲线焦点在 x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，则 a 2 b220 又双曲线过点(3 2， 2)，18 a2 2 b21 a2202 10，b22 10 所求双曲线的标准方程为 x2 202 10 y2 2 101 与双曲线有关的轨迹问题 【例 3】在周长为 48 的 RtMPN 中，MPN90，tanPMN3 4，求 以 M，N 为焦点，且过点 P 的双曲线方程 解因为MPN 的周长为 48， 且 tanPMN3 4， 故设|PN|3k， |PM|4k 则|MN|5k，由 3k4k5k48 得 k4所以|PN|
15、12，|PM|16，|MN| 20 以 MN 所在的直线为 x 轴， 以 MN 的中点为原点建立直角坐标系， 如图所示 设所求双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 由|PM|PN|4 得 2a4， a2，a24，由|MN|20 得 2c20，c10，所以 b2c2a296 故所求双曲线方程为x 2 4 y 2 961(x2) 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系， 化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2) 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(
16、3)求出方程后要注意满足方 程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上 跟进训练 2如图所示，已知定圆 F1：(x5)2y21，定圆 F2：(x5)2y242，动 圆 M 与定圆 F1，F2都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程 解圆 F1：(x5)2y21，圆心 F1(5,0)，半径 r11； 圆 F2：(x5)2y242，圆心 F2(5,0)，半径 r24 设动圆 M 的半径为 R， 则有|MF1|R1，|MF2|R4， |MF2|MF1|310|F1F2| 点 M 的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线的左支，且 a3 2，c5，于是 b 2 c2a291 4 动圆圆心 M 的轨迹方程为x 2 9
17、4 y2 91 4 1 x3 2 1双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当 2a |F1F2|时表示两条射线 2在双曲线的标准方程中，ab 不一定成立要注意与椭圆中 a，b，c 的 区别在椭圆中 a2b2c2，在双曲线中 c2a2b2 3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出 标准方程后，由条件列出 a，b，c 的方程组 如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如 mx2ny2 1(mn0)的形式求解 1“ab0”是“方程 ax2by2c 表示双曲线”的() A必要不充分条件B充分不必要条件 C充要条件D既不充分也不必要
18、条件 A当方程表示双曲线时，一定有 ab0，反之，当 ab0 时，若 c0，则 方程不表示双曲线 2椭圆x 2 4 y 2 a21 与双曲线 x2 a y 2 2 1 有相同的焦点，则 a 的值为() A1 2 B1 或2 C1 或1 2 D1 D由于 a0,0a24，且 4a2a2，解得 a1 3若方程 x2 m1 y2 m243 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 m 的取值范围 是() A(1,2)B(2，) C(，2)D(2,2) C由题意，方程可化为 y2 m24 x2 1m3， m240， 1m0， 解得：m2 4已知双曲线的两个焦点分别为 F1( 5，0)，F2( 5，0)，P 是
19、双曲线上的 一点且 PF1PF2，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为 x2 4 y21设|PF1|m，|PF2|n(m0，n0)，在 RtPF1F2中，m2 n2(2c)220，mn2，由双曲线的定义知|mn|2m2n22mn164a2，所 以 a24，b2c2a21，双曲线的标准方程为x 2 4 y21 5已知动圆 M 与圆 C1：(x3)2y29 外切且与圆 C2：(x3)2y21 内 切，求动圆圆心 M 的轨迹方程 解设动圆 M 的半径为 r 因为动圆 M 与圆 C1外切且与圆 C2内切， 所以|MC1|r3，|MC2|r1 相减得|MC1|MC2|4 又因为 C1(3,0)，C2(3,0)， 并且|C1C2|64， 所以点 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的双曲线的右支， 且有 a2，c3所以 b25， 所求的轨迹方程为x 2 4 y 2 5 1(x2)
