1、1 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算空间向量及其运算 课后篇巩固提升 基础达标练 1.下列命题中为真命题的是() A.向量? ? ?与? ?的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 答案 A 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,下列选项中化简后为零向量的是() A.? ? ? ? ?1?1 ? ? ?1?1 ? B.? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? C.? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? D.? ? ? ? ?1 ?
2、答案 A 3.已知 e1,e2为单位向量,且 e1e2,若 a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数 k 的值为() A.-6B.6C.3D.-3 2 解析由题意可得 ab=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=1, 所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0, 所以 2k-12=0, 所以 k=6.故选 B. 答案 B 4.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则? ? ?t? ?的 值为() A.a2B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 解析 ? ? ?t? ? =1 2(? ? ? ? ? ? ?
3、)1 2? ? ? =1 4(? ? ? ? ? ? ? ? ?) =1 4 aa1 2+aa 1 2 =1 4a 2. 答案 C 5.(多选)已知四边形 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD 连接 AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量 积为零的是() A.? ? ?与? ? B.? ? ?与? ? C.? ? ?与? ? D.? ? ?与? ? 3 解析 ? ? ? ?=(? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)(? ? ? ? ? ?) =? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=-(? ?)2+(?
4、 ?)20. 因为 PA平面 ABCD,所以 PACD, 即? ? ? ?=0, 又因为 ADAB,ADPA,所以 AD平面 PAB,所以 ADPB,所以? ? ? ?=0,同理? ? ?=0,因此 B,C,D 中的数量积均为 0.故选 B,C,D. 答案 BCD 6.化简:(? ? ? ? ? ? ?)-(? ? ? ? ? ?)= . 答案 0 7.化简:1 2(a+2b-3c)+5 2 3?- 1 2? ? 2 3 ? -3(a-2b+c)=. 答案5 6a+ 9 2b- 7 6c 8.如图,平行六面体 ABCD-ABCD中,AB=AD=1,AA=2,BAD=BAA=DAA=60,则 A
5、C的长 为. 解析|? ? ?|2=|? ? ? ? ? ? ? ? ? ?|2 =? ? ?2? ? ?2? ? ?2+2? ? ?+2? ? ?+2? ? ? =12+12+22+211cos 60+212cos 60+212cos 60=11, 则|? ? ?|= 11. 答案 11 9.在四面体 ABCD 中,E,F 分别为棱 AC,BD 的中点,求证:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=4?t? ?. 4 证明左边=(? ? ? ? ? ? ?)+(? ? ? ? ? ?) =2?t ? ?+2?t? ?=2(?t? ? ? ?t ? ?)=4?t? ?=右边
6、,得证. 10.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是 C1D1,D1D 的中点,正方体的棱长为 1. (1)求的余弦值; (2)求证:?1 ? ?t ? ?. (1)解 ?t ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? ? 1 2?1 ?,? ? ? ?1 ? ? ?1? ? ? ?1 ? ? 1 2? ? ? ? ?1 ? ? 1 2? ? ?. 因为? ? ? ?=0,? ?1?=0,? ?1?=0, 所以? ? ?t? ?= ?1? ? 1 2? ? ? ? ? ? ? 1 2?1 ? =1 2. 又|?t ? ?|=|? ?|= 5 2 ,所以 c
7、os=2 5. (2)证明 ?1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ?,?t? ? ? ?1 ? ? ?1t ?=-1 2(? ? ? ? ?1 ?), 所以?1 ?t? ?=0,所以?1? ?t ? ?. 能力提升练 1.设点 M 是 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,? ? ?2=16,|? ? ? ? ? ?|=|? ? ? ? ? ?|,则|?|=( ) A.8B.4C.2D.1 解析由|? ? ? ? ? ? ?|=|? ? ? ? ? ?|=|? ?|=|? ?|=4, 又 M 为 BC 的中点, 所以|? ?|=1 2? ? ? ?
8、 ? ? ?|=2. 5 答案 C 2.设平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知(? ? ? ? ? ? ?-2? ?)(? ? ? ? ? ?)=0,则ABC 是( ) A.直角三角形B.等腰三角形 C.钝角三角形D.锐角三角形 解析因为? ? ? ? ? ? ?-2? ?=(? ? ? ? ? ?)+(? ? ? ? ? ?)=? ? ? ? ? ?,所以(? ? ? ? ? ?)(? ? ? ? ? ?)=|? ?|2-|? ?|2=0, 所以|? ? ?|=|? ?|,即ABC 是等腰三角形. 答案 B 3.如图,已知 PA平面 ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则 P
9、C 等于() A.6 2B.6C.12 D.144 解析因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 ? ? ? 2 ? ? ? ?2? ? ?2? ? ?2+2? ? ?+2? ? ?+2? ? ?=36+36+36+236cos 60=144,所以 PC=12. 答案 C 4.给出下列几个命题: 方向相反的两个向量是相反向量; 若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; 对于任意向量 a,b,必有|a+b|a|+|b|. 其中正确命题的序号为. 解析对于,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故错误;对于,若|a|=|b|,则 a 与 b 的长度 相等,但方向没
10、有任何联系,故不正确;只有正确. 答案 6 5.等边ABC 中,P 在线段 AB 上,且? ? ?=? ?,若? ? ? ? ? ? ? ?,则实数的值为 . 解析设|? ? ?|=a(a0), 由题知,01.如图, ? ? ?=-? ? ? ? ? ? =-? ? ?+? ?, 故? ? ? ?=(? ? ? ? ? ?)? ? =|? ? ?|2-|? ?|? ?|cos A=a2-1 2a 2, ? ? ? ?=(-? ?)(1-)? ? =(-1)|? ? ?|2=(-1)a2, 则 a2-1 2a 2=(-1)a2, 解得=1- 2 2 =1+ 2 2 舍 . 答案 1- 2 2 6
11、.如图,平面平面,ACAB,BDAB,且 AB=4,AC=6,BD=8,用? ? ?,? ?,? ?表示 ? ? ?= ,|? ? ?|= . 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? ?2=(? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)2 7 =? ? ?2? ? ?2? ? ?2-2? ? ?+2? ? ?-2? ? ?=16+36+64=116, |? ? ?|=2 29. 答案 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 29 7.已知 ABCD - ABCD是平行六面体,AA的中点为 E,点 F 为 DC
12、上一点,且 DF=2 3DC. (1)化简:1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 ? ? ?; (2)设 M 是底面 ABCD 的中心,N 是侧面 BCCB对角线 BC上的3 4分点,设?t ?=? ?+? ?+? ?,试求 ,的值. 解(1)由 AA的中点为 E,得1 2? ? ? ? ? ? ?, 又? ? ? ? ? ?,DF=2 3DC, 因此2 3? ? ? ? 2 3? ? ? ?t ?. 从而1 2? ? ? ? ? ? ? ? 2 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ?t ? ?. (2)?t ? ? ? ? ? ?t ? ? ? 1 2 ?
13、? ? ? 3 4 ? ? ? ? 1 2 (? ? ? ? ? ? ?)+3 4(? ? ? ? ? ? ?)=1 2(- ? ? ? ? ? ? ?)+3 4(? ? ? ? ? ? ?)=1 2? ? ? ? 1 4? ? ? ? 3 4 ? ? ?,因此=1 2,= 1 4,= 3 4. 8.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,M,N 分别是 A1B,B1C1上的点,且 BM=2A1M,C1N=2B1N.设 ? ? ?=a,? ?=b,?1?=c. (1)试用 a,b,c 表示向量?t ?; 8 (2)若BAC=90,BAA1=CAA1=60,AB=AC=AA1=1,求 MN 的长
14、. 解(1)?t ? ? ?1 ? ? ?1?1 ? ? ?1t ? =1 3?1 ? ? ? ? ? ? 1 3?1?1 ? =1 3(c-a)+a+ 1 3(b-a) =1 3a+ 1 3b+ 1 3c. (2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1+1+1+0+2111 2+211 1 2=5, 所以|a+b+c|= 5, 所以|?t ?|=1 3|a+b+c|= 5 3 ,即 MN= 5 3 . 素养培优练 1. 如图所示,已知线段 AB 在平面内,线段 AC,线段 BDAB,且 AB=7,AC=BD=24,线段 BD 与所成 的角为 30,求 CD 的长.
15、 解由 AC,可知 ACAB, 过点 D作 DD1, D1为垂足,连接 BD1, 9 则DBD1为 BD 与所成的角, 即DBD1=30, 所以BDD1=60, 因为 AC,DD1,所以 ACDD1, 所以=60,所以=120. 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 所以|? ? ?|2=(? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)2 =|? ? ?|2+|? ?|2+|? ?|2+2? ? ?+2? ? ?+2? ? ?. 因为 BDAB,ACAB, 所以? ? ? ?=0,? ? ?=0. 故|? ? ?|2=|? ?|2+|? ?|2+|? ?|2+2? ? ?
16、=242+72+242+22424cos 120=625, 所以|? ? ?|=25,即 CD 的长是 25. 2.如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA平面 ABCD(点 P 位于平面 ABCD 的上方),则边 BC 上 是否存在点 Q,使? ? ? ? ? ? 解假设存在点 Q(点 Q在边 BC 上),使? ? ? ? ? ?, 连接 AQ,因为 PA平面 ABCD,所以 PAQD. 10 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=0. 又? ? ? ?=0,所以? ? ?=0,所以? ? ? ? ?. 即点 Q在以边 AD 为直径的圆上,圆的半径为? 2. 又 AB=1, 所以当? 2=1,即 a=2 时,该圆与边 BC 相切,存在 1 个点 Q 满足题意; 当? 21,即 a2 时,该圆与边 BC 相交,存在 2 个点 Q 满足题意; 当? 21,即 a2 时,该圆与边 BC 相离,不存在点 Q 满足题意. 综上所述,当 a2 时,存在点 Q,使? ? ? ? ? ?; 当 0a2 时,不存在点 Q,使? ? ? ? ? ?.
