1、1 1.2.5空间中的距离空间中的距离 课后篇巩固提升 基础达标练 1.如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1= 2,E,F 分别是平面 A1B1C1D1,平面 BCC1B1 的中心,则 E,F 两点间的距离为() A.1B. 5 2 C. 6 2 D.3 2 解析以点 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点 E(1,1, 2),F 2,1, 2 2 ,所以 |EF|= (1-2)2+ (1-1)2+ ( 2- 2 2 ) 2 ? 6 2 ,故选 C. 答案 C 2.已知平面的一个法向量 n=(-2,-2,1),点 A(-1,3,0)在平面内,则点 P
2、(-2,1,4)到的距离为() A.10B.3C.8 3 D.10 3 解析由已知得? ? ?=(1,2,-4),故点 P 到平面的距离 d=|? ? ?| |?| ? |-2-4-4| 3 ? 10 3 . 2 答案 D 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,点 E 是 A1B1的中点,则点 A 到直线 BE 的距离是() A.6 5 5 B.4 5 5 C.2 5 5 D. 5 5 解析建立空间直角坐标系如图所示,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2), 则? ? ?=(0,2,0),?t? ?=(0,1,2), 设ABE=,则 cos = |? ? ?t?
3、 ?| |? ? ?|?t? ? | ? 2 2 5 ? 5 5 , sin = 1-?t?2? ? 2 5 5 . 故 A 到直线 BE 的距离 d=|AB ? ?|sin =22 5 5 ? 4 5 5 . 答案 B 4.如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线 B1C1到平面 A1BCD1的距离是() A.5 B.8 C.60 13 3 D.13 3 解析方法一以 D 为坐标原点,? ? ?,? ?,?1?的方向分别为 x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角 坐标系, 则 C(0,12,0),D1(0,0,5). 设 B(x,12,0),B1(x,
4、12,5)(x0),? ? ?=(-x,0,0),?1?=(0,-12,5),?1?=(0,0,-5). 设平面 A1BCD1的法向量为 n=(a,b,c),由 n? ? ?,n?1?,得 n? ?=(a,b,c)(-x,0,0)=- ax=0,n?1 ?=(a,b,c)(0,-12,5)=-12b+5c=0, 所以 a=0,b= 5 12c,所以可取 n=(0,5,12). 又?1? ?=(0,0,-5),所以点 B1到平面 A1BCD1的距离为|?1? ?| |?| ? 60 13. 因为 B1C1平面 A1BCD1,所以 B1C1到平面 A1BCD1的距离为60 13. 方法二因为 B1
5、C1BC,所以 B1C1平面 A1BCD1,从而点 B1到平面 A1BCD1的距离即为所求. 如图,过点 B1作 B1EA1B 于点 E. 因为 BC平面 A1ABB1,且 B1E平面 A1ABB1, 所以 BCB1E. 又 BCA1B=B,所以 B1E平面 A1BCD1,B1E 的长即为点 B1到平面 A1BCD1的距离. 4 在 RtA1B1B 中,B1E=?1?1?1? ?1? ? 125 52+122 ? 60 13,所以直线 B1C1到平面 A1BCD1的距离为 60 13. 答案 C 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,O 是 A1C1的中点,则 O到平面 ABC1
6、D1的距离为() A. 3 2 B. 2 4 C.1 2 D. 3 3 解析以? ? ?,? ?,?1?为正交基底建立空间直角坐标系, 则 A1(1,0,1),C1(0,1,1),?1? ? ? 1 2?1?1 ?= 1 2,- 1 2,0 ,平面 ABC1D1的一个法向量?1 ?=(1,0,1),点 O 到平 面 ABC1D1的距离 d=|?1 ?1?| |?1 ? | ? 1 2 2 ? 2 4 .故选 B. 答案 B 6.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿 x 轴把直角坐标系折成 120的二面角,则 AB 的长度 为. 解析过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 A,B
7、, 则|? ? ?|=3,|?|=2,|?|=5, 又? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ?, |? ? ?|2=32+52+22+2321 2=44, |? ? ?|=2 11. 答案 2 11 5 7.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点 F,G 分别是 AB,CC1的中点,则点 D1到直线 GF 的距离为. 解析如图,以 D为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标 系, 则 D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有?t ? ?=(1,-1,-1),?1?=(0,-2,1),
8、 所以|?t ? ?1?| |?t ? ? | ? 2-1 3 ? 1 3,|GD1 ?|= 5,所以点 D1到直线 GF 的距离为 5-1 3 ? 42 3 . 答案 42 3 8.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,所有棱长均为 1,且 AA1底面 ABC,则点 B1到平面 ABC1的距离 为. 解析建立如图所示的空间直角坐标系, 6 则 A 3 2 , 1 2,0 ,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1), 则?1? ?= 3 2 , 1 2,-1 ,?1?1 ?=(0,1,0),?1?=(0,1,-1).设平面 ABC1的一个法向量为 n=(x,y,1), 则有
9、?1? ? ? 3 2 ? + 1 2?-1 ? 0, ?1? ? ? ?-1 ? 0, 解得 n= 3 3 ,1,1 ,则所求距离为|?1?1 ?| |?| ? 1 1 3+1+1 ? 21 7 . 答案 21 7 9.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BAC=90,M 为 BB1的中点,N 为 BC 的中点. (1)求点 M 到直线 AC1的距离; (2)求点 N 到平面 MA1C1的距离. 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线 AC1的一个单位方 向向量为 s0= 0, 2 2
10、 , 2 2 ,? ?=(2,0,1),故点 M 到直线 AC1的距离 d= |?|2-|?0|2? 5- 1 2 ? 3 2 2 . (2)设平面 MA1C1的法向量为 n=(x,y,z),?1?1 ?=(0,2,0),?1?=(2,0,-1),则 n?1?1?=0,且 n?1?=0,即 (x,y,z)(0,2,0)=0,且(x,y,z)(2,0,-1)=0,即 y=0,且 2x-z=0,取 x=1,得 z=2,故 n=(1,0,2)为平面 MA1C1的一 个法向量,因为 N(1,1,0),所以? ?=(-1,1,-1),故点 N 到平面 MA1C1的距离 d=|? ?| |?| ? |-1
11、-2| 12+22 ? 3 5 5 . 能力提升练 7 1.(多选)如图,在三棱锥 A-BCD 中,DA,DB,DC 两两垂直,且长度均为 1,E 为 BC 中点,则下列结论不正 确的是() A.AE= 3 2 B.EAD 为 AE 与平面 ABD 所成的角 C.DE 为点 D 到平面 ABC 的距离 D.AED 为二面角 A-BC-D 的平面角 解析由于 DA,DB,DC 两两垂直,且长度均为 1,则ABC 为边长是 2的等边三角形. 又 E 为 BC 中点, 则 AE= ?2-?t2?( 2)2-( 2 2 ) 2 ? 3 2 3 2 ,故 A 错; 由于 DE 与平面 ABD 不垂直,故
12、EAD 不是 AE 与平面 ABD 所成的角,故 B错;若 DE 为点 D 到 平面 ABC 的距离,则 DE平面 ABC,故AED 为直角,而在三角形 ADE 中,ADE 为直角,矛盾,故 C 错; 由于 E为 BC 中点,则 AEBC,DEBC,故AED 为二面角 A-BC-D 的平面角,故 D 正确. 答案 ABC 2.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为 2,侧棱长为 4,则点 B1到平面 AD1C 的距离为() A.8 3 B.2 2 3 C.4 2 3 D.4 3 解析如图,以 D为原点,DA,DC,DD1分别为 x轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0
13、,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),? ? ?=(-2,2,0),?1?=(-2,0,4),?1?1?=(-2,-2,0). 8 设平面 AD1C 的法向量为 n=(x,y,z), 则 ? ? ? ? 0, ?1 ? ? 0, 即 -2? + 2? ? 0, -2? + 4? ? 0,取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1),所以点 B1到平面 AD1C 的距离 为|?1?1 ?| |?| ? 8 3,故选 A. 答案 A 3.在底面是直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PA底面 ABCD,BCAD, ABC=90,PA=AB=BC=2,AD=1
14、,则 AD 到平面 PBC 的距离为. 解析 AD 到平面 PBC 的距离等于 A 到平面 PBC 的距离.由已知可知 AB,AD,AP 两两垂直.以 A 为坐标 原点,? ? ?,? ?,? ?的方向为 x 轴,y 轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略), 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2), 则? ? ?=(2,0,-2),? ?=(0,2,0). 设平面 PBC 的法向量为 n=(a,b,c),则 ? ? ? ?, ? ? ? ?, 即 2?-2? ? 0, ? ? 0, 取 a=1,得 n=(1,0,1).又? ? ?=(2,0,0),所以
15、d=|? ? ?| |?| ?2. 答案 2 4.在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,底面 ABC 为直角三角形,BAC= 2,AB=AC=AA1=1.已知 G与 E 分别为 A1B1和 CC1的中点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点).若 GDEF,则线段 DF 的长 度的最小值为. 9 解析以 A 为坐标原点,AB 为 x轴,AC 为 y 轴,AA1为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 F(t1,0,0)(0t11), D(0,t2,0)(0t21),E 0,1, 1 2 ,G 1 2,0,1 . tt ? ? ? ?1,-1,- 1 2 ,? ? ? ? -
16、1 2,?2,-1 . GDEF,t1+2t2=1,由此推出 0t20),可得t? ? ?=(2,2,-z0). 由|t? ? ?|=3,得 22+ 22+ (-?0)2=3, 解得 z0=1,则 F(0,0,1). 因为 ABDC,CD平面 EFCD,所以直线 AB 到平面 EFCD 的距离等于点 A 到平面 EFCD 的距 离. 设 A 点在平面 EFCD 上的射影为 G(x1,y1,z1), 则AG ? ?=(x1,y1,z1). 所以AG ? ?DF? ?=0,且AG? ?CD? ?=0, 而DF ? ?=(0,-2,1),CD? ?=(-2,0,0), 11 所以 -2y1+ z1?
17、 0, -2x1? 0, 解得 x1=0, 所以 G点在 yOz 平面上,故 G点在 FD 上,且GF ? ? DF ? ?.又GF? ?=(-x1,-y1,-z1+1), 故有y1 2 =-z1+1. 联立,解得 G 0,2 5, 4 5 . 所以|AG ? ?|为直线 AB 到平面 EFCD 的距离. 而AG ? ?= 0,2 5, 4 5 ,所以|AG ? ?|=2 5 5 , 即直线 AB 到平面 EFCD 的距离为2 5 5 . 素养培优练 1.已知二面角-l-为 60,动点 P,Q 分别在平面,内,点 P 到的距离为 3,点 Q到的距离为 2 3,则 P,Q 两点之间距离的最小值为
18、() A. 2B.2C.2 3 D.4 解析作 PM,QN,垂足分别为 M,N. 分别在平面,内作 PEl,QFl,垂足分别为 E,F,如图所示, 连接 ME,NF,则 MEl,PEM 为二面角-l-的平面角.PEM=60. 在 RtPME 中,|?t ? ?|= |? ?| sin60 ? 3 sin60=2, 同理|?t ? ?|=4.又? ? ? ?t ? ? + tt ? ? + t? ? ?, |? ? ?|2=4+|tt? ?|2+16+2?t? ?tt? ?+2?t? ?t? ?+2tt? ?t? ?=20+|tt? ?|2+224cos 120=12+|tt? ?|2. 12
19、当|tt ? ?|2取最小值 0 时,|? ?|2最小, 此时|? ? ?|=2 3. 答案 C 2.在直角梯形 ABCD 中,ADBC,BC=2AD=2AB=2 2,ABC=90,如图把ABD 沿 BD 翻折,使得 平面 ABD平面 BCD(如图). (1)求证:CDAB; (2)若点 M 为线段 BC 的中点,求点 M 到平面 ACD 的距离; (3)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成的角为 60?若存在,求出? ?的值;若不存在, 请说明理由. (1)证明由已知条件可得 BD=2,CD=2,CDBD.因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCD=B
20、D, 所以 CD平面 ABD,又因为 AB平面 ABD,所以 CDAB. (2)解以点 D为原点,DB 所在的直线为 x 轴,DC 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系,如图,由已知 可得 A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0), 所以? ? ?=(0,-2,0),? ?=(-1,0,-1),? ?=(-1,1,0). 设平面 ACD 的法向量为 n=(x,y,z), 则? ? ?n,? ?n,所以 ? ? 0, ? + ? ? 0,令 x=1,得平面 ACD 的一个法向量为 n=(1,0,-1),所以点 M 到平 面 ACD 的距离 d=|? ?| |?| ? 2 2 . 13 (3)解假设在线段 BC 上存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60,设? ? ?=? ?,01,则 N(2- 2,2,0),所以? ? ?=(1-2,2,-1),又因为平面 ACD 的一个法向量为 n=(1,0,-1),且直线 AN 与平面 ACD 所 成的角为 60,所以 sin 60=|? ?| |? ?|?| ? 3 2 ,可得 82+2-1=0,所以=1 4或=- 1 2(舍去). 综上,在线段 BC 上存在点 N,使 AN 与平面 ACD 所成角为 60,此时? ? ? 1 4.
