1、1 2.6.2双曲线的几何性质双曲线的几何性质 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若双曲线 x2-? 2 ? =1 的一条渐近线的斜率是-2,则实数 k 的值为() A.4B.1 4 C.-4D.-1 4 解析双曲线 x2-? 2 ? =1 的一条渐近线的斜率是-2, 可得 ?=2,解得 k=4. 答案 A 2.双曲线 C:? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为 50,则 C 的离心率为( ) A.2sin 40B.2cos 40 C. 1 sin50 D. 1 cos50 解析双曲线 C:? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0)的渐近线方程为 y= ? ?x
2、,由双曲线的一条渐近线的倾斜角为 50, 得? ?=tan 50= sin50 cos50, 则? 2 ?2 ? ?2-?2 ?2 =e2-1=sin 250 cos250, 得 e2=1+sin 250 cos250 ? 1 cos250,e= 1 cos50. 答案 D 2 3.已知双曲线 C:? 2 ?2 ? ?2 ?2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则双曲线 C 的方程为( ) A.? 2 20 ? ?2 5 =1B.? 2 5 ? ?2 20=1 C.? 2 80 ? ?2 20=1 D.? 2 20 ? ?2 80=1 解析双曲线 C 的渐近线方程为? 2
3、 ?2 ? ?2 ?2=0,点 P(2,1)在渐近线上, 4 ?2 ? 1 ?2=0,即 a 2=4b2, 又 a2+b2=c2=25,解得 b2=5,a2=20,故选 A. 答案 A 4.(多选)已知双曲线 C:x2-? 2 4 =1,则下列说法正确的有() A.双曲线 C 的离心率等于半焦距的长 B.双曲线 y2-? 2 4 =1 与双曲线 C 有相同的渐近线 C.直线 x= 5 5 被圆 x2+y2=1 截得的弦长为4 5 5 D.直线 y=kx+b(k,bR)与双曲线 C 的公共点个数只可能为 0,1,2 解析双曲线 C:x2-? 2 4 =1,可得 a=1,b=2,c= 5, 所以双
4、曲线的离心率为 e= 5=c,所以 A正确; 双曲线 C:x2-? 2 4 =1 的渐近线方程为 y=2x,双曲线 y2-? 2 4 =1 的渐近线方程为 y=1 2x,所以 B不正 确; 直线 x= 5 5 被圆 x2+y2=1 截得的弦长为 2 1- 1 5 ? 4 5 5 ,所以 C 正确; 3 直线 y=kx+b(k,bR),当 b=0 时,直线与双曲线的交点可能是 0 个,也可能是 2 个;当直线与双曲 线的渐近线平行时,直线与双曲线的交点是 1 个.所以直线与双曲线 C 的公共点个数只可能为 0,1,2, 所以 D正确. 答案 ACD 5.我们把方程分别为? 2 ?2 ? ?2 ?
5、2=1 和 ?2 ?2 ? ?2 ?2=1 的双曲线称为共轭双曲线,则共轭双曲线有相同的( ) A.离心率B.渐近线 C.焦点D.顶点 解析共轭双曲线? 2 ?2 ? ?2 ?2=1 和 ?2 ?2 ? ?2 ?2=1 的 c= ? 2+ ?2,设 a0,b0, 可得它们的焦点分别为(c,0),(0,c), 渐近线方程均为 y=? ?x,离心率分别为 ? ?和 ? ?, 它们的顶点分别为(a,0),(0,b). 答案 B 6.过双曲线 x2-? 2 3 =1 的左焦点 F1作倾斜角为 6的弦 AB,则|AB|= . 解析易得双曲线的左焦点 F1(-2,0), 直线 AB 的方程为 y= 3 3
6、 (x+2), 与双曲线方程联立,得 8x2-4x-13=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=1 2,x1x2=- 13 8 , |AB|= 1 + ?2 (?1+ ?2)2-4?1?2 4 = 1 + 1 3 ? 1 2 2-4 ? -13 8 =3. 答案 3 7.双曲线 C:? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0)的左、右焦点为 F1,F2,以坐标原点 O 为圆心,以 c 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C的一个交点为 P,若三角形 F1PF2的面积为 a2,则 C 的离心率为. 解析不妨设 P 为右支上一点,设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线
7、的定义可得 m-n=2a, 由题意可得PF1F2为直角三角形,且F1PF2=90,可得 m2+n2=4c2,且1 2mn=a 2, 由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2, 即为 c= 2a,可得 e=? ? ?2. 答案 2 8.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是 6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分; (2)渐近线方程为 2x3y=0,且两顶点间的距离是 6. 解(1)由两顶点间的距离是 6,得 2a=6,即 a=3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得 2c=4a=12,即 c=6, 于是有 b2=c2-a2=62-32=27. 由于焦
8、点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为? 2 9 ? ?2 27=1 或 ?2 9 ? ?2 27=1. (2)设双曲线方程为 4x2-9y2=(0), 5 即? 2 ? 4 ? ?2 ? 9 =1(0),由题意得 a=3. 当0 时,? 4=9,=36, 双曲线方程为? 2 9 ? ?2 4 =1; 当0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐 标为 2a,求 C 的离心率. 解如图所示,与渐近线平行的直线 l 的斜率为? ?, 又直线 l 过右焦点 F(c,0),则直线 l 的方程为 y=? ?(x-c). 因为点 P 的横坐标为 2a,代入双
9、曲线方程得4? 2 ?2 ? ?2 ?2=1, 化简得 y=- 3b 或 y= 3b(点 P 在 x 轴下方,故舍去),故点 P的坐标为(2a,- 3b), 代入直线方程得- 3b=? ?(2a-c),化简可得离心率 e= ? ?=2+ 3. 6 能力提升练 1.如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若 M,O,N 将椭圆的长轴 四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是() A.3B.2C. 3D. 2 解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为? 2 ?2 + ?2 ?2=1(ab0), ?2 ?2 ? ?2 ?2=1(m0,n0), 因为它们共焦点,所以设它们的半
10、焦距均为 c, 所以椭圆与双曲线的离心率分别为 e1=? ?,e2= ? ?, 由点 M,O,N将椭圆长轴四等分可知 m=a-m,即 2m=a,所以?2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?=2. 答案 B 2.(2019 全国,理 10)双曲线 C:? 2 4 ? ?2 2 =1 的右焦点为 F,点 P 在 C 的一条渐近线上,O为坐标原点.若 |PO|=|PF|,则PFO 的面积为() A.3 2 4 B.3 2 2 C.2 2D.3 2 解析由已知可得 a=2,b= 2, 则 c= ?2+ ?2?6,F( 6,0). |PO|=|PF|,xP= 6 2 . 又 P 在 C的一条渐近线上,
11、不妨设在渐近线 y= 2 2 x 上,yP= 2 2 ? 6 2 ? 3 2 . 7 SPFO=1 2|OF|yP|= 1 2 ?6 ? 3 2 ? 3 2 4 .故选 A. 答案 A 3.(多选)已知双曲线 C 过点(3, 2)且渐近线方程为 y= 3 3 x,则下列结论正确的是() A.C 的方程为? 2 3 -y2=1 B.C 的离心率为 3 C.曲线 y=ex-2-1 经过 C 的一个焦点 D.直线 x- 2y-1=0 与 C有两个公共点 解析若焦点在 x 轴上,可设双曲线 C 的方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1,根据条件可知 ? ? ? 3 3 ,所以方程可化为 ?2 3?2
12、? ?2 ?2=1,将点(3, 2)代入得 b 2=1,所以 a2=3,所以双曲线 C 的方程为?2 3 -y2=1;若焦点在 y 轴上,可设 双曲线 C 的方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1,根据条件可知 ? ? ? 3 3 ,所以方程可化为? 2 ?2 ? ?2 3?2=1,将点(3, 2)代入得 a 2=- 1(舍去).综上 C 的方程为? 2 3 -y2=1,故 A 正确; 离心率 e=? ? ? ?2+?2 ?2 ? 3+1 3 ? 2 3 3 ,故 B 错误; 双曲线 C 的焦点为(2,0),(-2,0),将 x=2 代入得 y=e0-1=0,所以 C 正确; 联立 ?2 3
13、-?2? 1, ?- 2?-1 ? 0, 整理得 y2-2 2y+2=0,则=8-8=0,故只有一个公共点,故 D错误. 答案 AC 4.设双曲线? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线分别交双曲线的左、右两支 于 M,N.若以 MN 为直径的圆经过右焦点 F2,且|MF2|=|NF2|,则双曲线的离心率为() A. 6B. 5C. 3 D. 2 8 解析若以 MN 为直径的圆经过右焦点 F2, 则?2 ?2?=0,又|MF2|=|NF2|, 可得MNF2为等腰直角三角形, 设|MF2|=|NF2|=m,则|MN|= 2m, 由|MF2|-|
14、MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a, 两式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a, 即有 m=2 2a. 过 F2作 MN 的垂线交于点 H,则|F2H|=2a. 在直角三角形 HF1F2中可得 4c2=4a2+(2a+2 2a-2a)2, 化为 c2=3a2,即 e=? ? ?3. 答案 C 5.已知双曲线? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点. 设 A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程 为. 解析由题意可得图像如图,CD 所在直线是双曲线的
15、一条渐近线 y=? ?x, 即 bx-ay=0,F(c,0),过右焦点 F 向直线 y=? ?x 作垂线交于点 E. 则有 ACCD,BDCD,FECD,四边形 ACDB 是梯形,EF 是梯形的中位线,|EF|=?1+?2 2 =3, 9 又|EF|= ? ?2+?2=b,b=3, 双曲线? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0)的离心率为 2,可得 ? ?=2,即 ?2+?2 ?2 =4,解得 a= 3. 双曲线的方程为? 2 3 ? ?2 9 =1. 答案? 2 3 ? ?2 9 =1 6.已知双曲线 C:? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过
16、 F1的直线与 C 的两条渐近线分别 交于 A,B 两点,若?1? ? ? ?t ? ?,?1t?2t?=0,则双曲线 C 的渐近线方程为 . 解析如图, ?1? ? ? ?t ? ?,?1t?2t?=0,OA 为 RtF1F2B 的中位线,OAF1B. 又OA 所在直线斜率为-? ?,F1B 所在直线方程为 y= ? ?(x+c), 联立 ? ? ? ? (? + ?), ? ? ? ?, 解得 B ?2? ?2-?2 , ? ?2-?2 , 则|OB|2= ?4?2 (?2-?2)2 + ?2?2?2 (?2-?2)2=c 2, 整理得 b2=3a2,? ? ?3, 双曲线 C的渐近线方程
17、为 y=3x. 答案 y=3x 10 7.已知双曲线 C 的焦点 F( 3,0),双曲线 C 上一点 P到 F 的最短距离为 3 ?2. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程; (2)已知点 M(0,1),设 P 是双曲线 C 上的点,Q 是 P 关于原点的对称点.设=?t ?t?,求的取值范围. 解(1)双曲线 C的焦点 F( 3,0),双曲线 C 上一点 P 到 F的最短距离为 3 ?2, 可设双曲线的方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1, c= 3,c-a= 3 ?2,a= 2, b2=c2-a2=( 3)2-( 2)2=1, 则双曲线的方程为? 2 2 -y2=1, 令? 2 2 -
18、y2=0,则 y= 2 2 x, 即渐近线方程为 y= 2 2 x. (2)设 P 的坐标为(x0,y0), 则 Q 的坐标为(-x0,-y0), =?t ?t?=(x0,y0-1)(-x0,-y0-1)=-?0 2 ? ?0 2+1=-3 2?0 2+2. |x0| 2,的取值范围是(-,-1. 素养培优练 求适合下列条件的双曲线的离心率: (1)双曲线的渐近线方程为 y=3 2x; (2)双曲线? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(0ab)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线 l的距离为 3 4 c. 11 解(1)若焦点在 x 轴上,则? ? ? 3 2, 故 e= ?2 ?2 + 1 ? 13 2 . 若焦点在 y轴上,则? ? ? 3 2,即 ? ? ? 2 3, 故 e= ?2 ?2 + 1 ? 13 3 . 综上所述,双曲线的离心率为 13 2 或 13 3 . (2)依题意,得直线 l:bx+ay-ab=0.由原点到 l的距离为 3 4 c,得 ? ?2+?2 ? 3 4 c,即 ab= 3 4 c2, 16a2b2=3(a2+b2)2, 即 3b4-10a2b2+3a4=0, 3 ?2 ?2 2 -10? 2 ?2+3=0. 解得? 2 ?2 ? 1 3或 ?2 ?2=3. 0ab,? 2 ?2=3.e= 1 + ?2 ?2=2.
