1、2021 年高考真题数学试卷-新高考 II 卷一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2、若全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D.3、若抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）A. B. C. D.4、卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为 半径为 的球，其上点 的纬度是指 与赤道所在平面所成角的度数，地球表
2、面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为 ，该卫星信号覆盖的地球表面积 （ 表示地球半径，单位： ）则 占地球表面积的百分比为（ ）A. B. C. D.5、正四棱台的上、下底面的边长分别为 、 ，侧棱长为 ，则四棱台的体积为（ ）A. B. C. D.第1页（共24页）6、某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是（ ）A. 越小，该物理量一次测量结果落在 内概率越大B. 越小，该物理量一次测量结果大于 的概率为C. 越小，该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概率相等D. 越小，该物理量一次测量结果落在 内的概率与落在 内的概率相等7、若 ， ， ，
3、则（ ）A. B. C. D.8、设函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，则（ ）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有错误答案得 0 分）9、下列统计量中可用于度量样本 ， ， ， 离散程度的有（ ）A. ， ， ， 的标准差 B. ， ， ， 中位数C. ， ， ， 极差 D. ， ， ， 平均数第2页（共24页）10、如图，下列各正方体中， 为下底的中点， ， 为顶点， 为所在棱的中点，则满足的是（ ）A. B.C. D.11、已知直线 ： 与圆
4、 ： ，点 ，则下列说法正确的是（ ）A. 若点 在圆 上，则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内，则直线 与圆 相离C. 若点 在圆 外，则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上，则直线 与圆 相切12、设正整数 ，其中 ，记则（ ）A. B.C. D.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13、已知双曲线 （ ， ），离心率 ，则双曲线 的渐近线方程为 14、写出一个同时具有下列性质的幂函数 ；当 时， ； 是奇函数第3页（共24页）15、已知向量 ， ， ，则16、已知函数 ， ， ，函数 的图象在点 和点的两条切线互相垂直，且分别交 轴于 、 两点，则 的取值
5、范围是 四、解答题（本题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、设 是公差不为 的等差数列 的前 项和，若 ， (1) 求数列 的通项公式 (2) 求使 成立的 的最小值第4页（共24页）18、在 中，角 ， ， 所对的边长为 ， ， ， ， (1) 若 ，求 的面积(2) 是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形？若存在，求 ；若不存在，说明理由19、在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ， ， (1) 求证：平面 平面 (2) 求二面角 的平面角的余弦值第5页（共24页）20、已知椭圆 的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 (1) 求椭圆 的方程(2) 设 ， 是椭圆
6、 上的两点，直线 与曲线 ： 相切证明： ， ，三点共线的充要条件是 21、一种微生物群体可以经过自繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 代，经过一次繁殖后为第 代，再经过一次繁殖后为第 代该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 表示 个微生物个体繁殖下一代的个数， （ ， ， ， ）(1) 已知 ， ， ， ，求 (2) 设 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率， 是关于 的方程：的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， (3) 根据你的理解说明（ ）问结论的实际含义第6页（共24页）22、已知函数 (1) 讨论 的单调性(2) 从下面两个条件中选一个，证明： 有
7、一个零点 ， ； ， 第7页（共24页）答案解析1 、【答案】 A;【解析】方法一 : ，则 在复平面内对应的点是 ，它位于第一象限故选 方法二 : 设 的一个辐角是 ， 的一个辐角是 ， ， ，则 的一个辐角是 ， ， ，故 在复平面内对应的点位于第一象限故选 2 、【答案】 B;【解析】由题意知： ，则 故选 3 、【答案】 B;【解析】抛物线 的焦点是 ，它到直线 （即 ）的距离 ，则 ，解得： 或 ，而 ，故 故选 第8页（共24页）4 、【答案】 C;【解析】如图，同步卫星位于 点， 与球 交于点 ，当点 位于能直接观测到同步卫星的最大纬度时， 与球 相切， 在赤道平面内的射影在直线
8、 上，此时 ， ，已知 ， ，则 ，地球表面积 ，则 ，故 占地球表面积的百分比约为 故选 5 、【答案】 D;【解析】如图：在正四棱台 中，设 与 分别为上下底面的中心， 分别为 ， 的中点， ， ，第9页（共24页）， ， ， ， ， 且 ， 延长 与 交于点 ， ，故选 6 、【答案】 D;【解析】记该物理量一次测量结果为 ，由题设知 ，故 ， ，的分布密度曲线关于直线 对称，越小， 的分布越集中于均值 附近， 越大，故 正确；由对称性知 ， ，故 ， 正确；，第10页（共24页）由图象可看出 ，故 ，故错误；更严谨的判断 选项的方法：由对称性知 ，（其中 是标准正态分布函数， ， ，显
9、然 在 上单调递增）越小 越大 越大 越大 越大，故 正确故选 7 、【答案】 C;【解析】因为 ， ，故 故选 8 、【答案】 B;【解析】选项 ： 为偶函数， 为奇函数 ， ，故 ， ，故 正确；设 ，则满足“ 为偶函数， 为奇函数”，此时 ， ， ，故 错误故选 9 、【答案】 A;C;【解析】反映离散程度：极差，方差，标准差；反映集中趋势：平均数，中位数，众数故选 第11页（共24页）10 、【答案】 B;C;【解析】设各正方体的棱长均为 （ ），建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， 不垂直于 ； ， ， ； ， ， ； ， ， 不垂直于 第12页（共24页）故选 11 、【答
10、案】 A;B;D;【解析】圆 的圆心是 ，半径是 ，圆 的圆心到直线 的距离 ，选项：若点 在圆 上，则 直线 与圆 相切，故 正确；选项：若点 在圆 内，则 直线 与圆 相离，故 正确；选项：若点 在圆 外，则 直线 与圆 相交，故 错误；选项：若点 在直线 上，则 直线 与圆 相切，故正确故选 12 、【答案】 A;C;D;【解析】方法一 : 选项：，故 正确；选项： ，当 时， ，故 错误；选项：，第13页（共24页），故 正确；选项：，故 正确；故选 方法二 : 说明： 表示一个二进制数，它的各位数字从左向右依次是 ， ， ，其中 ，表示二进制数 中 的个数，请记住 ，其中 选项： ，
11、故 ，故 正确；选项： ，当 时， ，此时 ，故 错误；，此时 ，故 错误；选项： ，故 ，故 ，故 正确；选项： ，故 ，故 正确；故选 13 、【答案】 ;【解析】双曲线 的渐近线方程是 ，第14页（共24页）故双曲线 的渐近线方程是 故答案为： 14 、【答案】 ;【解析】幂函数满足条件，可设 ， 当 时， 在 上单调递增，此时满足；当 为偶数时， 是奇函数，此时满足；综上所述， ， ，满足题目所有条件故可取 15 、【答案】 ;【解析】由 得16 、【答案】 ;【解析】当 时， ， ，当 时， ， ，的图象在点 处的切线斜率 第15页（共24页）在点 处的切线斜率 ，因为 的图象在点
12、和点 处的切线互相垂直，故， ，由弦长公式得 ，当 时， ，故 的取值范围是 17 、【答案】 (1) (2) 【解析】 (1) 设 的公差是 ，则 ， ， ， ， ， ， ，由题设知 ，故 ， ， (2) ，或 ，而 ，故 的最小值是 18 、【答案】 (1) (2) 存在， 第16页（共24页）【解析】 (1) 由 和正弦定理得 ，而 ，故 ，得 ，则 ， ， ，(2) 由题意得 ，所以当且仅当 时， 为钝角三角形，而 ，故 ， ，当 时， ， ，则 ，不满足 ，（三角形任意两边之和大于第三边）当 时， ， ，满足 ，故存在 ，使得 为钝角三角形19 、【答案】 (1) 证明见解析(2)
13、【解析】 (1) 取 的中点 ，连接 ， 由 得 ， ，在正方形 中， ， ，故 ，第17页（共24页）而 ， ，故 ，而 ， ， 平面 ，故 平面 ，而 平面 ，故平面 平面 (2)向量法：因为 平面 ， ，故以 为原点， ， ， 方向分别为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ，设 是平面 的法向量，则 ，取 ，由 平面 得 ，而 ， ，故 平面 ，故 是平面 的法向量，设二面角 的平面角是 ，则 ，第18页（共24页）几何法：由 平面 得 ，而 ， ，故 平面 ，在平面 内作 于点 ，连接 ，由三垂线定理得 ，故 是二面角 的平面角，由 平面 得 ，则 ，即二面角 的平
14、面角的余弦值是 20 、【答案】 (1) (2) 证明见解析【解析】 (1) 由 知椭圆 的半焦距 ，离心率 ，故椭圆 的方程是 (2) 曲线 ： 是圆心为 ，半径为 的圆在 轴右侧的部分，由题设知直线 与曲线 相切，第19页（共24页）所以直线 的斜率不为 ，设直线 ： （即 ），显然直线 与 轴正半轴相交，即 ，曲线 所在圆的圆心到 的距离，判别式，设 ， ，由韦达定理得， ，由弦长公式得 ，（ ）若 ， ， 三点共线，即直线 经过点 ，则 ，故 ，故 是 ， ， 三点共线的必要条件（ ）若 ，则故直线 经过点 ，即 ， ， 三点共线，故 是 ， ， 三点共线的充分条件，综上所述， ， ，
15、 三点共线的充要条件是 第20页（共24页）21 、【答案】 (1)(2) 证明见解析(3) 若 个微生物个体繁殖下一代的个数的均值小于等于 ，那么繁殖多代后这种微生物临近灭绝，若 个微生物个体繁殖下一代的个数的均值大于 ，那么繁殖多代后这种微生物有继续繁殖的可能【解析】 (1) (2) ， ， ， ， ，设 ，则 ，由 得 ，图象的对称轴是 ，而 ，故 在 上单调递增， ，注意到 ，（ ）当 时， ，当 时， ，故 ，故 在 上单调递减，故当 时， ，故 （ ）当 时， ，故 在 有且仅有一个零点 ，当 时 ，当 时 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，而 ， ，第21页（共24页）故 在
16、 有且仅有一个零点 ，故 ，综上所述，当 时 ，当 时 (3) 若 个微生物个体繁殖下一代的个数的均值小于等于 ，那么繁殖多代后这种微生物临近灭绝，若 个微生物个体繁殖下一代的个数的均值大于 ，那么繁殖多代后这种微生物有继续繁殖的可能22 、【答案】 (1) 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减;当 时， 在 上单调递增;当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减(2) 证明见解析【解析】 (1) 的定义域是 ，注意到当 时， ，令 得 ，当 上单调递减，在 上单调递增，当 时，令 得 ， ；（ ）当 时， ，当 时 ，当 时 ，故 在 ，
17、上单调递增，在 上单调递减；（ ）当 时， ，此时 ，仅当 时， ，故 在 上单调递增；（ ）当 时， ，当 时 ，当 时 ，第22页（共24页）故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减(2)当 时，由（ ）知 在 ， 上单调递增，在上单调递减，设 ，设 ，则 ，当 ， 时， 由 得 ，故 ，故当 时， ，设 ，则 ， ， ，故 ，故 在 仅有一个零点，综上所述， 仅有一个零点当 时，由（ ）知 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，设 ，设 ，则 ，当 ， 时， ，由 得 ，故 ，故当 时， ，由 得 ，故 ，故当 时 ，以下用两种方法证明 在 仅有一个零点方法一：设 ，则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，故当 时， ，即 ，故当 时， ，第23页（共24页）设 且 ，则 ，而 ，故 在 仅有一个零点方法二：设 ，则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，故当 时， ，即 ，故当 时， 由 ， 得 ，设 且 ，则 ，而 ，故当 时， 在 仅有一个零点，综上所述， 仅有一个零点第24页（共24页）
