1、1 2.3.4圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 课后篇巩固提升 基础达标练 1.设 r0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆 x2+y2=16 的位置关系不可能是() A.内切B.相交 C.内切或内含D.外切或外离 解析两圆的圆心距为 d= (1-0)2+ (-3-0)2?10,两圆的半径之和为 r+4,因为 10r+4, 所以两圆不可能外切或外离,故选 D. 答案 D 2.圆(x-2)2+(y+3)2=13 和圆(x-3)2+y2=9 交于 A,B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是() A.x+y+3=0B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0 解析由题意圆(
2、x-2)2+(y+3)2=13 和圆(x-3)2+y2=9 交于 A,B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程,就是两个 圆的圆心的连线方程,圆:(x-2)2+(y+3)2=13 的圆心(2,-3)和圆:(x-3)2+y2=9 的圆心(3,0),所以所求直线方 程为?+3 3 ? ?-2 3-2,即 3x-y-9=0. 答案 C 3.设两圆 C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于() A.4B.4 2C.8D.8 2 解析两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), 两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等. 2 设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(
3、b,b), 则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2, 即 a,b 为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根, 整理得 x2-10 x+17=0, a+b=10,ab=17. (a-b)2=(a+b)2-4ab=100-417=32, |C1C2|= (?-?)2+ (?-?)2?32 2=8. 答案 C 4.过点 M(2,-2)以及圆 x2+y2-5x=0 与圆 x2+y2=2 交点的圆的方程是() A.x2+y2-15 4 x-1 2=0 B.x2+y2-15 4 x+1 2=0 C.x2+y2+15 4 x-1 2=0 D.x2+y2+15 4 x+1
4、 2=0 解析设经过圆 x2+y2-5x=0 与圆 x2+y2=2 交点的圆的方程是 x2+y2-5x+(x2+y2-2)=0, 再把点 M(2,-2)代入可得 4+4-10+(4+4-2)=0,求得=1 3, 故要求的圆的方程为 x2+y2-15 4 x-1 2=0. 答案 A 5.若圆 x2+y2=r2与圆 x2+y2+2x-4y+4=0 有公共点,则 r满足的条件是() A.r 5+1 C.|r- 5|1D.|r- 5|3+2 2. 答案 a2+b23+2 2 8.若O1:x2+y2=5 与O2:(x-m)2+y2=20(mR)相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线
5、 段 AB 的长度是. 解析由题知 O1(0,0),O2(m,0),半径分别为 5,2 5,根据两圆相交,可得圆心距大于两圆的半径之差而小 于半径之和,即 5m0,xR),若(m+1) 2+(n+1)2=2,则?(?) ?(?)的取值范围是( ) A.- 3,2B. 3,2+ 3 C.2- 3, 3D.2- 3,2+ 3 解析 ?(?) ?(?) ? ?-?2-1 4 ?-?2-1 4 ? ?- ?+ 1 4? ?- ?+ 1 4? , 可以看作点(m,n)与点 ? + 1 4? ,? + 1 4? 连线的斜率,点(m,n)在圆(x+1)2+(y+1)2=2 上, 点 ? + 1 4?,? +
6、 1 4? 在直线 y=x(x1)上,结合图形分析可得, 6 当过点(1,1)作圆(x+1)2+(y+1)2=2 的切线,此时两条切线的斜率分别是?(?) ?(?)的最大值和最小值. 两条切线与圆心(-1,-1)、点(1,1)所在直线的夹角均为 6,两条切线的倾斜角分别为 12, 5 12, 故所求直线的斜率的范围为2- 3,2+ 3. 答案 D 3.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦长为 2 3,则 a=. 解析 x2+y2+2ay=6,x2+y2=4,两式相减得 y=1 ?. 圆 x2+y2=4 的圆心坐标为(0,0),半径为 2,则圆心到公共弦所在直线
7、的距离为1 ?,则有 2 2- 1 ? 2 ? 3,解得 a=1. 答案 1 4.已知点 P(t,t-1),tR,点 E 是圆 x2+y2=1 4上的动点,点 F 是圆(x-3) 2+(y+1)2=9 4上的动点,则|PF|-|PE|的 最大值为. 解析P(t,t-1),P 点在直线 y=x-1 上, 7 作 E 关于直线 y=x-1 的对称点 E,且圆 O:x2+y2=1 4关于直线 y=x-1 对称的圆 O1的方程为(x- 1)2+(y+1)2=1 4,所以 E在圆 O1上,|PE|=|PE|, 设圆(x-3)2+(y+1)2=9 4的圆心为 O2, |PE|PO1|-|EO1|,|PF|
8、PO2|+|FO2|, |PF|-|PE|=|PF|-|PE|(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|EO1|)=|PO2|-|PO1|+2|O1O2|+2=4,当 P,E,F,O1,O2五点共线,E在线段 PO1上,O2在线段 PF 上时等号成立. 因此,|PF|-|PE|的最大值为 4. 答案 4 5.与圆 C1:(x-1)2+y2=1,圆 C2:(x-4)2+(y+4)2=4 均外切的圆中,面积最小的圆的方程是. 解析当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小. 设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为 d= (1-4)2+ (0 + 4)2=5,所以所求圆半 径为 1
9、.由已知可知?-1 4-1 ? 2 5,所以 a= 11 5 , ?-0 -4-0 ? 2 5,所以 b=- 8 5, 所以所求圆的方程为 ?- 11 5 2 + ? + 8 5 2 =1. 答案 ?- 11 5 2 + ? + 8 5 2 =1 6.已知圆 C1:x2+y2=5 与圆 C2:x2+y2-4x+3=0 相交于 A,B 两点. (1)求过圆 C1的圆心与圆 C2相切的直线方程; (2)求圆 C1与圆 C2的公共弦长|AB|. 解(1)已知圆 C1:x2+y2=5 的圆心坐标为(0,0),半径为 5,圆 C2:x2+y2-4x+3=0 的圆心坐标为(2,0),半径为 1. 8 若过
10、圆 C1的圆心(0,0)与圆 C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为 y=kx, 则圆心(2,0)到直线 kx-y=0 的距离 d= |2?| 1+?2=1, 整理得 3k2=1,解得 k= 3 3 , 所以直线方程为 y= 3 3 x. 若直线斜率不存在,直线不与圆 C2相切. 综上所述,直线方程为 y= 3 3 x. (2)圆 C1:x2+y2=5 与圆 C2:x2+y2-4x+3=0 相交于 A,B 两点,则过点 A 和 B的直线方程为 4x-3=5,即 x=2.所以(0,0)到直线 x=2 的距离 d=2, 所以弦|AB|=2 ( 5)2-22=2. 7.如图所示,圆 O1与圆 O2
11、的半径都是 1,|O1O2|=4,过动点 P分别作圆 O1,圆 O2的切线 PM,PN(M,N 分 别为切点),使得|PM|= 2|PN|.试建立适当的坐标系,求动点 P 的轨迹方程. 解如图所示,以直线 O1O2为 x 轴,线段 O1O2的垂直平分线为 y轴,建立平面直角坐标系,则 O1(- 2,0),O2(2,0). 设动点 P(x,y). 由题意得|PM|2=|O1P|2-|O1M|2=(x+2)2+y2-1. 同理,可得|PN|2=(x-2)2+y2-1. 9 因为|PM|= 2|PN|,所以|PM|2=2|PN|2. 所以(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1, 即 x2+
12、y2-12x+3=0. 所以动点 P的轨迹方程是 x2+y2-12x+3=0. 素养培优练 1.已知圆方程 C1:f(x,y)=0,点 P1(x1,y1)在圆 C1上,点 P2(x2,y2)不在圆 C1上,则方程 f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0 表示的圆 C2与圆 C1的关系是() A.与圆 C1重合 B.与圆 C1同心圆 C.过 P1且与圆 C1圆心相同的圆 D.过 P2且与圆 C1圆心相同的圆 解析由题意,圆方程 C1:f(x,y)=0,点 P1(x1,y1)在圆 C1上,点 P2(x2,y2)不在圆 C1上, f(x1,y1)=0,f(x2,y2)0, 由 f(x,
13、y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,得 f(x,y)=f(x2,y2)0,它表示过 P2且与圆 C1圆心相同的圆. 答案 D 2.(多选)设有一组圆 Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(kN*).下列四个命题中是真命题的有() A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 解析根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线 y=3(x+1)上,故存在直线 y=3(x+1)与所有圆都相交,选项 B 正确; 10 考虑两圆的位置关系, 圆 Ck:圆心(k-1,3k),半径为 r= 2k2,
14、 圆 Ck+1:圆心(k-1+1,3(k+1), 即(k,3k+3),半径为 R= 2(k+1)2, 两圆的圆心距 d= (?-? + 1)2+ (3? + 3-3?)2?10,两圆的半径之差 R-r= 2(k+1)2- 2k2=2 2k+ 2,任取 k=1 或 2 时,(R-rd),Ck含于 Ck+1之中,选项 A 错误; 若 k 取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项 C 错误; 将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4, 即 10k2-2k+1=2k4(kN*), 因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在 k 使上式成立,即所有圆均不过原点,选项 D 正确. 答案
15、BD 3.已知圆 O1:x2+y2=25,点 P 在圆 O2:x2+y2=r2(0r5)上,过点 P作圆 O2的切线交圆 O1于点 M,N 两点, 且 r,|OM|,|MN|成等差数列. (1)求 r; (2)若点 P 的坐标为 - 16 5 , 12 5 ,与直线 MN 平行的直线 l 与圆 O2交于 A,B 两点,则使AOB 的面积为 4 3 的直线 l 有几条?并说明理由. 解(1)显然圆 O1和圆 O2是圆心在原点的同心圆. 连接 OP,则 OPMN,|OM|=5,|OP|=r, 在直角三角形 MOP 中,|MP|= 52-?2, 所以|MN|=2 52-?2. 由 r,|OM|,|M
16、N|成等差数列,得 2|OM|=r+|MN|,即 25=r+2 25-?2,解得 r=4. (2)满足题意的直线 l 有 4 条.理由如下, 11 因为点 P 的坐标为 - 16 5 , 12 5 , 所以 kOP=-3 4,所以直线 l 的斜率 k= 4 3, 设直线 l 的方程为 y=4 3x+b,即 4x-3y+3b=0. 设圆心到该直线的距离为 d,则 d=|3?| 5 , 则|AB|=2 42-?2, 所以 SAOB=1 2|AB|d= 4 2-?2d=4 3, 整理得 d4-16d2+48=0,(d2-4)(d2-12)=0, 解得 d=2 或 d=2 3, 因为 d=|3?| 5 ,从而对应的 b 有 4 个解,b=10 3 或 b=10 3 3 ,检验知均符合题意,故使AOB 的面积为 4 3的直线 l 有 4 条.
