1、章末综合测评(二)平面解析几何 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于 P、Q， 且线段 PQ 的中点坐标为(1， 1)，则直线 l 的斜率为() A1 3 B1 3 C3D3 B设 P(a,1)，Q(7，b)，则有 a72， b12. a5， b3， 故直线 l 的斜率为31 75 1 3 2若直线 l1：ax2y60 与直线 l2：x(a1)y50 垂直，则实数 a 的值是() A2 3 B1 C1 2 D2 A直线 l1：ax2y60 与直线 l2：x(a1)y50
2、垂直， 则 a12(a1)0， 解得 a2 3 3 若方程 x2y2xy2m0 表示一个圆， 则实数 m 的取值范围是() A ，1 4B 1 4， C 1 4，D ，1 4 C根据题意，方程 x2y2xy2m0 表示一个圆， 则有 114(2m)0， 解的 m1 4，即 m 的取值范围为 1 4， 4过点 A(1,0)的直线 l 与圆(x1)2(y1)21 相交于 A，B 两点，若|AB| 2，则该直线的斜率为() A1B 2 C 3D2 A设直线 l 方程为 yk(x1)， 则圆心到直线 l 的距离为 |1| 1k2 1 1k2， 则弦|AB|21 1 1k2 2，解得 k1 5已知点 P
3、 为双曲线x 2 16 y2 9 1 右支上一点，点 F1，F2分别为双曲线的左、 右焦点，M 为PF1F2的内心若 SPMF1SPMF28，则MF1F2的面积为 () A2 7B10 C8D6 B由题意知，a4，b3，c5又由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a 8设PF1F2的内切圆的半径为 RSPMF1SPMF28，1 2(|PF 1| |PF2|)R8，即 4R8，R2，SMF1F21 22cR10故选 B 6焦点为(0，3)，且与双曲线x 2 2 y21 有相同的渐近线的双曲线方程是 () Ax 2 3 y 2 6 1By 2 3 x 2 6 1 Cy 2 6 x 2 3 1Dx
4、2 6 y 2 3 1 B双曲线x 2 2 y21 中，a22，b21，所以渐近线方程为 y 1 2x，所以 所求双曲线的方程中a b 1 2，c3，a 2b2c2，所以 a23，b26，则双曲线方 程为y 2 3 x 2 6 1，故选 B 7若圆 C1：(x1)2(y1)21 与圆 C2：(x2)2(y3)2r2外切，则正 数 r 的值是() A2B3 C4D6 C圆 C1：(x1)2(y1)21，圆 C2：(x2)2(y3)2r2， C1坐标为(1,1)，半径为 1，C2坐标为(2，3)，半径为 r， |C1C2|r1r2 122132r1r4 8已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0
5、)的左、右焦点分别为 F 1，F2，过 F2的直线 与椭圆交于 A，B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭 圆的离心率为() A 2 2 B2 3 C 52D 6 3 D设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以 A 为直角顶点的等腰直角三角 形，则|AB|AF1|m，|BF1| 2m 由椭圆的定义可得ABF1的周长为 4a，即有 4a2m 2m，即 m(4 2 2)a，则|AF2|2am(2 22)a 在 RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即 4c24(2 2)2a24( 21)2a2， 即 c2(96 2)a2，即 c( 6 3)a，
6、即 ec a 6 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分 5 分，部分选对的得 3 分，有选 错的得 0 分 9 已知平面上一点 M(5,0)， 若直线上存在点 P 使|PM|4， 则称该直线为“切 割型直线”下列直线中是“切割型直线”的是() Ayx1By2 Cy4 3x Dy2x1 BC对于 A，d1|501| 2 3 24；对于 B，d224，所以符合条件的有 BC 10实数 x，y 满足 x2y22x0，则下列关于 y x1的判断正确的是( ) A y x1的最大值为 3 B y x1的最小值为 3
7、C y x1的最大值为 3 3 D y x1的最小值为 3 3 CD由题意可得方程 x2y22x0 为圆心是 C(1,0)， 半径为 1 的圆， 由 y x1为圆上的点与定点 P(1,0)的斜率的值， 设过 P(1,0)点的直线为 yk(x1)，即 kxyk0， 圆心到直线的距离 dr，即 |2k| 1k21，整理可得 3k 21，解得 k 3 3 ， 所以 y x1 3 3 ， 3 3 ，即 y x1的最大值为 3 3 ，最小值为 3 3 11已知点 A 是直线 l：xy100 上一定点，点 P，Q 是圆 C：(x4)2 (y2)24 上的动点，若PAQ 的最大值为 60，则点 A 的坐标可
8、以是() A(4,6)B(2,8) C(6,4)D(8,2) AD点 A 是直线 l：xy100 上一定点，点 P，Q 是圆 C：(x4)2(y 2)24 上的动点， 如图：圆的半径为 2， 所以直线 l 上的 A 点到圆心的距离为 4， 结合图形，可知 A 的坐标(4,6)与(8,2)满足题意 12已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2 3 3 ，右顶点为 A， 以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点， 则有() A渐近线方程为 y 3x B渐近线方程为 y 3 3 x CMAN60 DMAN120 BC由题意
9、可得 ec a 2 3 3 ，可设 c2t，a 3t，t0， 则 b c2a2t，A( 3t,0)， 圆 A 的圆心为( 3t,0)，半径 r 为 t， 双曲线的渐近线方程为 yb ax，即 y 3 3 x， 圆心 A 到渐近线的距离为 d| 3 3 3t| 11 3 3 2 t， 弦长|MN|2 r2d22t23 4t 2tb， 可得三角形 MNA 为等边三角形， 即有MAN60 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线 上 13 圆x2y2ax2y10关于直线xy1对称的圆的方程为x2y21， 则实数 a 的值为 2圆的方程可化为 xa 2 2 (y1)
10、2a 2 4 ，表示以 A a 2，1为圆心，以| a 2| 为半径的圆， 关于直线xy1对称的圆x2y21的圆心为(0,0)， 故有10 a 20 1 1，得 a2 14已知直线 l 与直线 y1，xy70 分别相交于 P、Q 两点，线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，那么直线 l 的斜率为 2 3 设 P(a,1) ， Q(b ， b 7) ， 由 PQ 中 点 坐 标 为 (1 ， 1) 得 ab 2 1， 1b7 2 1， 解得 a2，b4 P(2,1)，Q(4，3) 直线 l 的斜率为31 42 2 3 15已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1
11、，F2，离心率 为 3 3 ，过 F2的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为 4 3，则椭圆 C 的方程为 x2 3 y 2 2 1由椭圆的定义，可知AF1B 的周长为|AF1|BF1|AB|AF1| |BF1|AF2|BF2|4a4 3，解得 a 3又离心率c a 3 3 ，所以 c1由 a2b2c2，得 b 2，所以椭圆 C 的方程为x 2 3 y 2 2 1 16双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则双曲线方 程为，离心率为(本题第一空
12、2 分，第二空 3 分) x2 4 y 2 4 12双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax， 由题意知两条渐 近线互相垂直，由双曲线的对称性可知b a1，又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c2 2，由 a2b2c2可得 2a2(2 2)2，解得 a2b2， 双曲线方程为x 2 4 y 2 4 1，离心率为 ec a 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 17(本小题满分 10 分)直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且 P(4,3)到直线 l 的距离为 3 2，求直线 l 的方程 解若 l 在两坐标轴上截距为 0，
13、 设 l：ykx，即 kxy0，则|4k3| 1k23 2 解得 k63 2 14 此时 l 的方程为 y 63 2 14 x； 若 l 在两坐标轴上截距不为 0， 设 l：x a y a1，即 xya0，则 |43a| 1212 3 2 解得 a1 或 13 此时 l 的方程为 xy10 或 xy130 综上，直线 l 的方程为 y 63 2 14 x 或 xy10 或 xy130 18(本小题满分 12 分)过原点 O 的圆 C，与 x 轴相交于点 A(4，0)，与 y 轴 相交于点 B(0,2) (1)求圆 C 的标准方程 (2)直线 l 过点 B 与圆 C 相切，求直线 l 的方程，并
14、化为一般式 解(1)设圆 C 的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 分别代入原点和 A(4,0)，B(0,2)，得 a2b2r2， 4a2b2r2， a22b2r2， 解得 a2， b1， r 5. 则圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)25 (2)由(1)得圆心 C(2,1)，半径 r 5， 由于直线 l 过点 B 与圆 C 相切， 则设直线 l：x0 或 ykx2， 当直线 l：x0 时，C 到 l 的距离为 2，不合题意，舍去； 当直线 l：ykx2 时，由直线与圆相切，得到圆心到直线距离 dr， 即有|2k12| k21 5， 解得 k2， 故直线 l：y2x2，即 2xy20 1
15、9(本小题满分 12 分)已知椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e 3 2 ，点 P 0，3 2 到椭圆上的点的最远距离是 7，求这个椭圆的方程 解设所求椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) b a a2c2 a2 1e21 2，a2b， 椭圆的方程为 x2 4b2 y2 b21 设椭圆上点 M(x，y)到点 P 0，3 2 的距离为 d， 则 d2x2 y3 2 2 4b2 1y 2 b2y23y9 4 3 y1 2 2 4b23，byb 记 f(y)3 y1 2 2 4b23，byb 当b1 2，即 b 1 2时，d 2 maxf 1 2 4b237， b1，椭圆
16、的方程为x 2 4 y21； 当1 2b，即 0b0) 由 y22px， xy10， 消去 y，得 x22(1p)x10 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22(1p)，x1x21 |AB|8 6 11 ， 即 112x1x224x1x28 6 11 ， 121p2242p480， 解得 p 2 11或 p 24 11(舍去)， 抛物线的方程为 y2 4 11x (2)设 AB 的中点为点 D，则 D 13 11， 2 11 假设在 x 轴上存在满足条件的点 C(x0,0)，连接 CD ABC 为正三角形， CDAB，即 0 2 11 x013 11 (1)1， 解得 x015
17、 11，C 15 11，0， |CD| 15 11 13 11 2 0 2 11 2 2 2 11 又|CD| 3 2 |AB|12 2 11 2 2 11 ，矛盾，不符合题目条件， 在 x 轴上不存在一点 C，使ABC 为正三角形 21 (本小题满分 12 分)已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上， 圆心的横坐标是 整数，且与直线 4x3y290 相切 (1)求圆的方程； (2)若直线 axy50(a0)与圆相交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得 过点 P(2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请 说明理由 解(1)设圆心坐标为 M(m,0)(m
18、Z)， 由于圆与直线 4x3y290 相切，且圆的半径为 5， 所以|4m29| 5 5，即|4m29|25， 即 4m2925 或 4m2925， 解得 m27 2 或 m1 因为 m 为整数，故 m1， 故所求的圆的方程为(x1)2y225 (2)设符合条件的实数 a 存在， 因为 a0，则直线 l 的斜率为1 a，所以直线 l 的方程为 y 1 a(x2)4， 即 xay24a0 由于直线 l 垂直平分弦 AB，故圆心 M(1,0)必在直线 l 上， 所以 1024a0，解得 a3 4 经检验，当 a3 4时，直线 axy50 与圆有两个交点， 故存在实数 a3 4，使得过点 P(2,4
19、)的直线 l 垂直平分弦 AB 22(本小题满分 12 分)设斜率不为 0 的直线 l 与抛物线 x24y 交于 A，B 两 点，与椭圆x 2 6 y 2 4 1 交于 C，D 两点，记直线 OA，OB，OC，OD 的斜率分别 为 k1，k2，k3，k4 (1)若直线 l 过(0,4)，证明：OAOB； (2)求证：k1k2 k3k4的值与直线 l 的斜率的大小无关 证明(1)设直线方程为 ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x214y1，x224y2，两式相乘可得(x1x2)216y1y2， 由 ykx4 x24y 可得 x24kx160， 则 x1x216，y1y216，x
20、1x2y1y20， 即OA OB 0，OAOB. (2)设直线 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， ykxm x24y 可得 x24kx4m0，x1x24k，x1x24m， k1k2y1 x1 y2 x2 x1 4 x2 4 k， 联立 ykxm 和椭圆 2x23y212，可得(23k2)x26kmx3m2120， 36k2m24(23k2)(3m212)0，即 46k2m2， x3x4 6km 23k2，x 3x43m 212 23k2 ， k3k4y3 x3 y4 x4 kx3m x3 kxm x4 2km 1 x3 1 x42kmx3x4 x3x4 2k 6km2 3m212 8k m24， 则k1k2 k3k4 m24 8 与直线 l 的斜率的大小无关
