1、章末综合测评(一)空间向量与立体几何 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 A，B，C，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是() AB 2BC 2CD DC ； 2AB 2BC 3CD 3DA AC ； AB CA BD ； AB CB CD AD AB CD C中，原式AB 2BD DC AB BD BD DC AD BC ，不符合 题意； 中， 原式2(AB BC CD DA )(AC CD DA )0； 中， 原式CD ， 不符合题意；中，原式(AB AD
2、 )(CD CB )0故选 C 2若 a(2,2,0)，b(1,3，z)， a，b 3，则 z 等于( ) A 22B 22 C 22D 42 Ccosa，b ab |a|b| 21230z 8 10z2 1 2，可得 z 22 3 已知向量 a(2,1,3)， b(1,2,1)， 若 a(ab)， 则实数的值为() A2B14 3 C14 5 D2 Da(ab)， a(ab)|a|2ab0，|a|2ab， 14(223)7， 解得2故选 D 4已知正四面体 ABCD 的棱长为 1，且AE 2EB，AF2FD ，则EF DC () A2 3 B1 3 C2 3 D1 3 D由正四面体 ABCD
3、 的棱长为 1，且AE 2EB，AF2FD ，得EF 2 3BD ， 则EF DC 2 3BD DC 2 311cos 120 1 3，故选 D 5已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若 a，b，c 三向量 共面，则实数等于() A62 7 B63 7 C60 7 D65 7 D由题意得 ctab(2t，t4，3t2)， 72t， 5t4， 3t2. t33 7 ， 17 7 ， 65 7 . 6如图所示，已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD，M，G 分别是 BC， CD 的中点，则AB 1 2BC 1 2BD 等于() AAD BGA CAG DMG CM， G 分
4、别是 BC，CD 的中点， 1 2BC BM ， 1 2BD MG ， AB 1 2BC 1 2BD AB BM MG AM MG AG 7已知四面体 OABC 的各棱长均为 1，D 是棱 OA 的中点，则异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为() A 3 3 B1 4 C 3 6 D 2 8 CBD OD OB 1 2OA OB ，AC OC OA ，于是|BD | 3 2 ，|AC |1， 且BD AC 1 2OA OB (OC OA )1 4，于是 cosBD ， AC BD AC |BD |AC | 1 4 3 2 1 3 6 ，故异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为 3 6
5、 8在三棱锥 PABC 中，PC底面 ABC，BAC90，ABAC4，PBC 60，则点 C 到平面 PAB 的距离是() A3 42 7 B4 42 7 C5 42 7 D6 42 7 B在三棱锥 PABC 中，PC底面 ABC，BAC90，ABAC4， PBC60， 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 C(0,4,0)，P(0,4,4 6)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，AC (0,4,0)，AB (4,0,0)，AP (0,4,4 6)， 设平面 PAB 的法向量 n(x，y，z)， 则 nAP
6、4y4 6z0， nAB 4x0， 取 z1，得 n(0， 6，1)， 点 C 到平面 PAB 的距离 d|AC n| |n| 4 6 7 4 42 7 故选 B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分 5 分，部分选对的得 3 分，有选 错的得 0 分 9已知 v1，v2分别为直线 l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为 平面，的法向量(，不重合)，则下列说法中，正确的是() Av1v2l1l2Bv1v2l1l2 Cn1n2Dn1n2 ABCDv1，v2分别为直线 l1，l2的方向向量(l1
7、，l2不重合)，v1v2 l1l2，v1v2l1l2；n1，n2分别为平面，的法向量(，不重合)，n1n2 ，n1n2，故全部正确 10已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB (2，1， 4)，AD (4,2,0)，AP (1,2，1)对于结论： APAB；APAD；AP 是平面 ABCD 的法向量；APBD 其中正 确的是() ABCD ABCAB AP0，AD AP 0， ABAP，ADAP，则 AB 正确 又AB 与AD 不平行， AP 是平面 ABCD 的法向量，则 C 正确 由于BD AD AB (2,3,4)，AP(1,2，1)， BD 与AP 不平行，故
8、D 错误 11.在以下命题中，不正确的命题有() A|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件 B若 ab，则存在唯一的实数，使 ab C对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP 2OA 2OB OC ， 则 P，A，B，C 四点共面 D若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一 个基底 ABCA.|a|b|ab|a 与 b 共线，但 a 与 b 共线时|a|b|ab|不一 定成立，故不正确；B.b 需为非零向量，故不正确；C.因为 2211，由共面 向量定理知，不正确；D.由基底的定义知正确 12将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有
9、如下四个结论： ACBD； ACD 是等边三角形； AB 与平面 BCD 所成的角为 60； AB 与 CD 所成的角为 60 其中正确的结论是() ABCD ABD如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，设正方形 ABCD 边长为 2， 则 D(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0,1)，A(0,1,0)，所以AC (0，1,1)，BD (2,0,0)， AC BD 0，故 ACBD正确 又|AC | 2，|CD | 2，|AD | 2， 所以ACD 为等边三角形正确 对于，OA 为平面 BCD 的一个法向量， cosAB ， OA AB OA |AB |OA | 1，1，00，1，0
10、 2 1 1 2 2 2 因为直线与平面所成的角0，90， 所以 AB 与平面 BCD 所成角为 45 故错误 又 cosAB ， CD AB CD |AB |CD | 1，1，01，0，1 2 2 1 2 因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以 AB 与 CD 所成角为 60故正确 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线 上 13已知向量AB (2,4,5)，CD (3，x，y)，若AB CD ，则 xy_ 45AB CD ，存在实数 k 使得AB kCD 23k， 4kx， 5ky， 则 xy20 k2 20 2 3 245 14 已知 A(2， 5
11、,1)， B(2， 4,2)， C(1， 4,1)， 则AB 与AC 的夹角为_ 60由题意得AB (0,1,1)， AC (1,1,0)， cos AB ， AC AB AC |AB |AC | 1 2 2 1 2，所以AB 与AC 的夹角为 60 15已知矩形 ABCD 中，AB1，BC 3，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折 起，使平面 ABC 与平面 ACD 垂直，则 B 与 D 之间的距离为_ 10 2 如图，过 B，D 分别向 AC 作垂线，垂足分别为 M，N 则可求得 AM1 2，BM 3 2 ，CN1 2，DN 3 2 ，MN1 由于BD BM MN ND ， 所以|BD |
12、2(BM MN ND )2|BM |2|MN |2|ND |22(BM MN MN ND BM ND ) 3 2 2 12 3 2 2 2(000)5 2，故|BD | 10 2 16在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB1，D 在棱 BB1上，且 BD1， 则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角的正弦值为_，平面 ACD 与 ABC 所成二 面角的余弦值为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 6 4 21 7 取 AC 中点 E，连接 BE，则 BEAC， 如图所示，建立空间直角坐标系 Bxyz， 则 A 3 2 ，1 2，0，D(0,0,1)，C 3 2 ，1 2，0， DC
13、3 2 ，1 2，1， DA 3 2 ，1 2，1 设平面 ACD 的法向量为 n(x，y，z)， DC n0， DA n0， 3 2 x1 2yz0， 3 2 x1 2yz0， 令 x2 3，z3，y0， n(2 3，0,3)， 又BD 为平面 ABC 的法向量，BD (0,0,1)， cosnBD 3 2 329 21 7 平面 ACD 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 21 7 平面 ABC平面 AA1C1C， 平面 ABC平面 AA1C1CAC，BEAC， BE平面 AA1C1C， BE 3 2 ，0，0 为平面 AA1C1C 的一个法向量， 又AD 3 2 ，1 2，1， cos
14、AD ， BE 6 4 ， 设 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为， 则 sin |cosAD ， BE |6 4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 17(本小题满分 10 分)如图所示，在四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 是边 长为 2 的正方形，侧棱 AM 的长为 3，且 AM 和 AB，AD 的夹角都是 60，N 是 CM 的中点，设 aAB ，bAD ，cAM ，试以 a，b，c 为基向量表示出向量BN ， 并求 BN 的长 解BN BC CN AD 1 2CM AD 1 2(AM AC )AD 1 2AM (AD AB )
15、 1 2AB 1 2AD 1 2AM ， BN 1 2a 1 2b 1 2c |BN |2BN 21 2a 1 2b 1 2c 2 1 4(a 2b2c22ab2ac2bc)17 4 ， |BN | 17 2 ， 即 BN 的长为 17 2 18(本小题满分 12 分)已知向量 a(1，3,2)，b(2,1,1)，点 A(3， 1,4)，B(2，2,2) (1)求|2ab|； (2)在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得OE b？(O 为原点) 解(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)， 故|2ab| 0252525 2 (2)OE OA AE OA tAB (3，1,4)
16、t(1，1，2)(3t，1t,42t)， 若OE b，则OE b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得 t9 5， 因此在直线 AB 上存在点 E，使得OE b，此时点 E 的坐标为 E 6 5， 14 5 ，2 5 19(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 2，D 是 棱 AC 的中点，且 ABBCBB12 (1)求证：AB1平面 BC1D； (2)求异面直线 AB1与 BC1所成的角 解(1)证明：如图，连接 B1C 交 BC1于点 O，连接 OD 因为 O 为 B1C 的中点，D 为 AC 的中点，所以 ODAB1 因为 AB1平面 BC1D，OD
17、平面 BC1D， 所以 AB1平面 BC1D (2)建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz， 则 B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)， 因此AB1 (0，2,2)，BC1 (2,0,2) 所以 cosAB1 ， BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 004 2 22 2 1 2， 设异面直线 AB1与 BC1所成的角为，则 cos 1 2，由于 0， 2 ，故 3 20(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 在棱 A1B1 上，E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AEA1B1，AA1ABAC2 (1)证明：DF
18、AE； (2)当 D 为 A1B1的中点时， 求平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 解(1)证明：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，有 AA1A1B1， 又因为 AEA1B1，所以 A1B1平面 AA1C1C， 因为 A1C1平面 AA1C1C，所以 A1B1A1C1 所以 ABAC，ABAA1，ACAA1， 如图， 分别以 AC， AA1， AB 所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 Axyz， 则 C(2,0,0)，B(0,0,2)，A(0，0,0)，A1(0,2,0)，F(1,0,1)，E(2,1,0) 设 D(0,2，t)(0t2)，则FD (1,2，t1)
19、，AE (2,1,0)，FD AE (1,2， t1)(2,1,0)0， 所以 DFAE (2)当 D 为 A1B1的中点时，D(0,2,1)，EF (1，1,1)，FD (1,2,0)， 设平面 DEF 的法向量为 n(x，y，z)，则 nEF 0， nDF 0， 即 xyz0， x2y0， 令 y1 得，n(2,1,3)， 容易知平面 ABC 的法向量为 n0(0,1,0)， 所以 cosn，n0 nn0 |n|n0| 1 221232 14 14 ， 即平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 14 14 21(本小题满分 12 分)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F
20、分别为 AD， BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF (1)证明：平面 PEF平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 解(1)证明：由已知可得，BFPF，BFEF， 又 PF平面 PEF，EF平面 PEF，且 PFEFF， 所以 BF平面 PEF 又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD (2)作 PHEF，垂足为 H由(1)得，PH平面 ABFD 以 H 为坐标原点，HF 的方向为 y 轴正方向，|BF |为单位长，建立如图所示 的空间直角坐标系 Hxyz 由(1)可得，DEPE又 DP2，DE1，
21、所以 PE 3又 PF1，EF2， PF2PE2EF2，故 PEPF 可得 PH 3 2 ，EH3 2 则 H(0,0,0)，P 0，0， 3 2，D 1，3 2，0，DP 1，3 2， 3 2，HP 0，0， 3 2 为平面 ABFD 的法向量 设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则 sin | HP DP |HP |DP | 3 4 3 3 4 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 3 4 22 (本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABCA1B1C1中， ACB90， A1BAC1， ACAA14，BC2 (1)求证：平面 A1ACC1平面 ABC； (2)若A1AC60，在线
22、段 AC 上是否存在一点 P，使二面角 BA1PC 的平 面角的余弦值为 3 4 ？若存在，确定点 P 的位置；若不存在，说明理由 解(1)证明：ACAA1，四边形 AA1C1C 为菱形， 连接 A1C，则 A1CAC1，又 A1BAC1，且 A1CA1BA1， AC1平面 A1CB，则 AC1BC， 又ACB90，即 BCAC，BC平面 A1ACC1， 而 BC平面 ABC，平面 A1ACC1平面 ABC (2)以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB 所在直线为 x，y 轴，面 A1ACC1内过 点 C 且垂直于 AC 的直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ACAA14，BC2，A
23、1AC60， C(0,0,0)，B(0,2,0)，A(4,0,0)，A1(2,0,2 3) 设在线段 AC 上存在一点 P，满足AP AC (01)，使得二面角 BA1PC 的余弦值为 3 4 则AP (4，0,0) BP BAAP(4，2,0)(4，0,0)(44，2，0)，A 1P A1A AP (24，0，2 3)，CA1 (2,0,2 3) 设平面 BA1P 的一个法向量为 m(x1，y1，z1)， 由 mBP 44x 12y10， mA1P 24x12 3z10， 取 x11，得 m 1，22，12 3， 平面 A1PC 的一个法向量为 n(0,1,0) 由|cosm，n|mn| |m|n| |22| 122212 2 3 1 3 4 ， 解得4 3或 3 4 因为 01，所以3 4 故在线段 AC 上存在一点 P，满足AP 3 4AC ，使二面角 BA1PC 的余弦值为 3 4
