1、课时分层作业(六)直线与平面的夹角 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 AD 与平面 A1BC1所成角正弦值为 () A1 2 B 3 2 C 3 3 D 6 3 C如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，则平面 A1BC1的一个法向量为 n (1,1,1)，DA (1,0,0)， 设直线 AD 与平面 A1BC1所成角为， sin |cosn， DA | nDA |n|DA | 1 1 3| 3 3 2OA、OB、OC 是由点 O 出发的三条射线，两两夹角为 60，则
2、 OC 与平 面 OAB 所成角的余弦值为() A1 3 B 3 3 C1 2 D 3 2 B设 OC 与平面 OAB 所成的角为，则 cos 60cos cos 30，cos 3 3 3如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，若该长方体的体积为 8 2，则直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的角为() A30B45 C60D120 A在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，该长方体的体积为 8 2， 22AA18 2，解得 AA12 2， 以 D 为原点，DA、DC、DD1分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， A(2,0,0)，C1(0,2,2 2)，AC
3、1 (2,2,2 2)， 平面 BB1C1C 的法向量 n(0,1,0)， 设直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的角为， sin |nAC1 | |n|AC1 | 2 4 1 2，30， 直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30故选 A 4 在三棱锥 PABC 中， ABBC， ABBC1 2PA， 点 O 是 AC 的中点， OP 底面 ABC现以点 O 为原点，OA、OB、OP 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立 空间直角坐标系Oxyz， 如图所示 则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为() A 210 30 B 30 30 C 690 30 D 870 30 A因为 OP
4、平面 ABC，OAOC，ABBC，所以 OAOB，OAOP， OBOP 设 AB 2a， 则 PA2 2a， OP 7a， A(a,0,0)， B(0， a,0)， C(a,0,0)， P(0,0， 7a)PA (a,0， 7a)，PB(0，a， 7a)，BC (a，a,0) 设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)，则 nPB 0 nBC 0 ，即 ay 7az0 axay0 ， 令 x1，则 y1，z 7 7 ，所以平面 PBC 的一个法向量为 n 1，1， 7 7 ，所以 cosPA ，nPA n |PA |n| 210 30 ，所以 PA 与平面 PBC 所成 角的正弦值为 210
5、 30 5如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2 的正 三角形，侧棱长为 3，则 AA1与平面 AB1C1所成的角为() A 6 B 4 C 3 D 2 A以 C 为原点，在平面 ABC 中过 C 作 BC 的垂线为 x 轴，CB 为 y 轴， CC1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A( 3，1,0)，A1( 3，1,3)，B1(0,2,3)，C1(0,0,3)， AA1 (0,0,3)，AB1 ( 3，1,3)，AC1 ( 3，1,3)， 设平面 AB1C1的法向量 n(x，y，z)， 则 nAB1 3xy3z0， nAC1 3xy3z0， 取 x 3，
6、得 n( 3，0,1)， 设 AA1与平面 AB1C1所成的角， 则 sin |AA1 n| |AA1 |n| 3 3 4 1 2， 6 AA1与平面 AB1C1所成的角为 6故选 A 二、填空题 6等腰 RtABC 的斜边 AB 在平面内，若 AC 与成 30角，则斜边上的中 线 CM 与平面所成的角为_ 45作 CO，O 为垂足，连接 AO，MO， 则CAO30，CMO 为 CM 与所成的角在 RtAOC 中，设 CO1， 则 AC2 在等腰 RtABC 中， 由 AC2 得 CM 2 在 RtCMO 中， sinCMO CO CM 1 2 2 2 CMO45 7如图，在四棱柱 ABCDA
7、1B1C1D1中，平面 A1B1CD平面 ABCD，且四 边形 ABCD 和四边形 A1B1CD 都是正方形，则直线 BD1与平面 A1B1CD 所成角的 正切值是_ 2以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DA1为 z 轴，建立空间直角坐 标系，设 AB1，则 B(1,1,0)，D1(1，0,1)， BD1 (2，1,1)，平面 A1B1CD 的法向量 n(1,0,0)， 设直线 BD1与平面 A1B1CD 所成角为， 则 sin |BD1 n| |BD1 |n| 2 6， cos 1 2 6 2 2 6， 直线 BD1与平面 A1B1CD 所成角的正切值是 tan sin c
8、os 2 8已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的 射影为ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于_ 2 3 如图，设 A1在平面 ABC 内的射影为 O，以 O 为坐标原点，OA，OA1 分别为 x 轴、z 轴，过 O 作 OA 的垂线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图设 ABC 边长为 1，则 A 3 3 ，0，0 ，B1 3 2 ，1 2， 6 3 ， 所以AB1 5 3 6 ，1 2， 6 3 平面 ABC 的法向量 n(0,0,1)， 则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为 sin |cosAB1 ，n| 6 3 75
9、 36 1 4 6 9 2 3 三、解答题 9 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD底面 ABCD， PDDC，E、F 分别是 PC、AD 中点 (1)求证：DE平面 PFB； (2)求 PB 与平面 PCD 所成角的正切值 解(1)证明：取 PB 的中点 M，连接 EM，FM， E，M 分别是 PC，PB 的中点， EMBC，EM1 2BC， 四边形 ABCD 是正方形， F 是 AD 的中点， DFBC，DF1 2BC， 四边形 DEMF 是平行四边形，DEFM， 又 DE平面 PFB，FM平面 PFB， DE平面 PFB (2)PD平面 ABCD，B
10、C平面 ABCD， PDBC， 四边形 ABCD 是正方形， BCCD， 又 PD平面 PCD，CD平面 PCD，PDCDD， BC平面 PCD BPC 为直线 PB 与平面 PCD 所成的角， PDDCBC， PC 2CD 2BC， tanBPCBC PC 2 2 10 在如图所示的多面体 ABCDE， ABDE， ABAD， ACD 是正三角形 AD DE2AB2，EC2 2，F 是 CD 的中点 (1)求证：AF平面 BCE； (2)求直线 AD 与平面 BCE 所成角的正弦值 解(1)证明：以 A 为原点，在平面 ACD 中，过 A 作 AD 的垂线为 x 轴， AD 为 y 轴，AB
11、 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，C( 3，1,0)，D(0,2,0)，F 3 2 ，3 2，0， B(0,0,1)，E(0,2,2)， AF 3 2 ，3 2，0，BC ( 3，1，1)，BE (0,2,1)， 设平面 BCE 的法向量 n(x，y，z)， 则 nBC 3xyz0， nBE 2yz0， 取 y1，得 n( 3，1，2)， AF n0，AF平面 BCE， AF平面 BCE (2)AD (0,2,0)，平面 BCE 的法向量 n( 3，1，2)， 设直线 AD 与平面 BCE 所成角为， 则 sin |nAD | |n|AD | 2 2 8 2 4 直线
12、AD 与平面 BCE 所成角的正弦值为 2 4 11(多选题)已知四棱锥 PABCD 的四条侧棱都相等，底面是边长为 2 的正 方形，若其五个顶点都在一个表面积为81 4 的球面上，则 PA 与底面 ABCD 所成 角的正弦值为() A2 3 B1 3 C2 2 3 D 5 3 BC由已知可得，四棱锥 PABCD 为正四棱锥， 正四棱锥外接球的表面积为81 4 ， 正四棱锥外接球的半径 R9 4 如图，连接 AC，BD 交于 E，设球心为 O，连接 PO，BO， 则 E 在 PO(或其延长线)上，POBOR， BE1 2BD 1 22 2 2， 又 R9 4，OE R 2BE2 81 162
13、7 4 PEROE9 4 7 4 1 2或 PEROE 9 4 7 44 当 PE1 2时，PA 21 4 3 2， PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值为 1 2 3 2 1 3； 当 PE4 时，PA 1623 2， PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值为 4 3 2 2 2 3 PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值为1 3或 2 2 3 12在圆柱 OO1中，O 是上底面圆心，AB 是下底面圆的直径，点 C 在下底 面圆周上，若OAB 是正三角形，O1CAB，则 OC 与平面 OAB 所成角为() A150B30C45D60 B设 AB2a，则 OA2a，O1AO1BO1Ca， O
14、O1 4a2a2 3a，OC 3a2a22a， CO1AB，CO1OO1，ABOO1O1， CO1平面 AOB， COO1是 OC 与平面 OAB 所成角， sinCOO1CO1 CO 1 2，COO 130， OC 与平面 OAB 所成角为 30 13(一题两空)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 AB、BC 的中点， 则直线 CD1与 C1F 所成角的余弦值为_， 直线 CD1与平面 A1C1FE 所成角 的正弦值为_ 10 5 2 6 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间 直角坐标系， 设 AB2，则 C(0,2,0)，D1(0
15、,0,2)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)， CD1 (0，2,2)，EF (1,1,0)，EA 1 (0，1,2)，C1F (1,0，2)， cosCD1 ， C1F |CD1 C1F | |CD1 |C1F | 4 2222 1222 4 2 2 5 10 5 设平面 A1C1FE 的法向量 n(x，y，z)， 则 nEF xy0， nEA1 y2z0， 取 z1，得 n(2,2,1)， 设直线 CD1与平面 A1C1FE 所成角为， 则 sin |CD1 n| |CD1 |n| 2 8 9 2 6 直线 CD1与平面 A1C1FE 所成角的正弦
16、值为 2 6 14在空间四边形 PABC 中，PA平面 ABC，ACBC，ACBC2，PA 4则 PC 和平面 PAB 所成角的正切值为_ 1 3 取 AB 的中点为 O，连接 CO，PO， PA平面 ABC，PAOC， ACBC，O 是 AB 的中点， ABOC， 又 PAABA，CO平面 PAB， 则CPO 为 PC 和平面 PAB 所成的角ACBC2，ACBC， AB2 2，CO1 2AB 2， PO PA2OA23 2， tanCPOCO OP 1 3， PC 和平面 PAB 所成角的正切值为1 3 15如图，梯形 ABCD 中，ABCD，矩形 BFED 所在的平面与平面 ABCD 垂
17、直，且 ADDCCBBF1 2AB2 (1)求证：平面 ADE平面 BFED； (2)若 P 为线段 EF 上一点， 直线 AD 与平面 PAB 所成的角为， 求的最大值 解(1)证明：取 AB 的中点 G，连接 DG， 则 CD 1 2AB， CDBG， 四边形 BCDG 是平行四边形， DGBC1 2ABAGBG，ADBD， 又平面 ABCD平面 BFED， 且平面 ABCD平面 BFEDBD， AD平面 BFED， 又 AD平面 ADE， 平面 ADE平面 BFED (2)由于 BFED 是矩形， BDDE， 由(1)知 AD平面 BFED， 以 D 为坐标原点，DA，DB，DE 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2 3，0)，DA (2,0,0)， 设点 P(0，t,2)，AB (2,2 3，0)，AP(2，t,2)， 令平面 PAB 的法向量 m(x，y，z)， mAB 2x2 3y0， mAP 2xty2z0. 取 y2， 得平面 PAB 的一个法向量为 m(2 3，2,2 3t)， sin |DA m| |DA |m| 4 3 2 162 3t2， 当 t23时，(sin )max 3 2 ，max 3 的最大值为 3
