1、第九章第九章 解三角形解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用正弦定理与余弦定理的应用 在测量工作中.经常会遇到不方便宜接测量的 精形.例如，如图所示故宫角楼的高度.因为顶 端和底部都不便到达，所以不能直 接测量. 假设给你米尺和測量角度的工具，你能在故 宫角楼对面的岸边得 出角楼的高度吗？如果能. 写出你的方案.并给出有关的计算方法；如果不 能，说明理由. 图中角楼的高度问题可以转化为：用米尺与测量 角度的仪器来怎样得到不便到达的两点之间的距离？ 思考？思考？ 如何把上述实际问题转化为数学模型， 同学们讨论，设计出合理的测量AB高度的方案。 如图（1）所示，设线段AB表示不便到达的两点之间
2、的距离.在能 到 达的地方选定位置C进行测量。用测量角度的仪器可以测量出 ACB的大小 ,但是因为点A, B都不便到达，所以ABC的3条边都 无法用米尺测量. 角楼的高度 （1） 如图（2）所示，在可到达的地方再选定一点D,并使得CD的长m 能用米尺测量。用测量角度的仪器测出 BCD=，BDC=，ACD=，ADC=. 然后，利用，以及m即可求出AB的长. （2） 在 BCD中，因为CBD=-，所以由正弦定理可得 , sinsin BCm ; sin sin sin sin mm BC因此 在 ACD中，因为CBD=-，所以由正弦定理可得 , sinsin ACm ; sin sin sin s
3、in mm AC因此 在 ABC中，由余弦定理可得 cos2 222 ACBCACBCAB AC，BC，都已求出，是已知的。从而能求出AB的长。 如图所示，沿着BC方向走一段距离到达D点，用米尺测量出 CD的长度为m.用测量角度的仪器测量出ACB=, ADC=. 在ADC中，CAD=-,由正弦定理得 , sinsin ACm . sin sin m AC因此 在 RtABC中可得AB=ACsin sin sinsinm AB即 A 高度测量问题有以下两个关注点. (1) 空间向平面的转化. 髙度测量问题往往是空间中的问题.为了方便观察，减小 误差，需要 将空间问题转化为平面问题. (2) 解直
4、角三角形与解斜三角形结合。 全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 选取合理的方案。 3. 方位角与方向角 （1）从正北方向顺时针转到目标方向线的最小角叫方位角（取值范围： 0360）.如图（1），目标A的方位角为135. （2）从指定方向线到目标方向线所成的小于90的角叫方向角. 如图 （2），目标A的方向角为北偏东30，目标B的方向角为南偏东45. 1.基线 : 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 2.铅锤平面：与地面垂直的平面 4. 仰角与俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角叫仰角. 视线在水平线下方时与水平线的夹角叫俯角（如图(1)所示）. 5.坡角与坡度
5、 坡面与水平面的夹角叫坡角， 坡面的铅直高度与水平宽度 之比叫坡度(如图(2)，坡度 (2) (1) 例1 如图所示.A， B是某沼泽地上不便到达的两点，C， D是可到达 的两点.已知A，B，C，D 4点都在水平面上，而且已经测得ACB = 45, BCD= 30. CDA =45. BDA = 15， CD = 100 m.求 AB 的长. 因为A. B, C, D 4点都在水平面上，所以 BDC =BDA + CDA = 15 + 45 = 60, 因此 CBD =180-30-60 = 90,所以在 RtBCD中 BC = 100cos 30 = (m).350 在ACD 中.因为CAD
6、 = 180-45-30c-45 = 60,所以由 正弦定理可知 , 60sin 100 45sin AC 因此AC = m 3 6100 在ABC中.由余弦定理可知 , 3 12500 45cos350 3 6100 2350 3 6100 2 2 2 AB . 3 350 mAB 从而 例2 如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测.目前台风中心 位于城市A的东偏南60方向、距城市A 300 km的海面点P 处. 并以20 km/h的速 度向西偏北30方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域.半 径为 km,将问题涉及范围内的地球表面看成平面,判断城市A是否会
7、受到上 述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由. 3100 解：如图所示，设台风的中心xh后到达位置Q.且此时AQ = km.3100 在AQP 中，有 P =6030 = 30,且AP = 300 km, PQ = 20 x km. 因此由正弦定理可得 . sin 20 sin 300 30sin 3100 A x Q , 2 3 3100 30sin300 sin Q从而可解得 所以Q=60或Q=120. 当Q=60时，A=180-30-60=90 ; 310, 30sin 90sin3100 20 xx 因此 当Q=120时，A=180-30-120=30， ; 35
8、, 30sin 30sin3100 20 xx 因此 城市A在 h后会受到影响，持续的时间为 35 h3535310 60 30 A Q 法 一 用正弦定理求解 法 二 用余弦定理求解 解：设台风的中心 x h后到达位置Q.且此时AQ = km.3100 在AQP 中，有 P =6030 = 30,且AP = 300 km, PQ = 20 x km. 因此由余弦定理可得 AQ2=AP2+PQ2-2APPQcosP. 代入化简得 受到台风影响时，城市当.A3100kmAQ , 0150315 2 xx . 31035 x解得 城市A会受到影响，持续的时间为 h3535310 60 30 A Q
9、 例2 运用正，余弦定理解决实际问题的基本步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图。 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽 量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形 的数学模型。 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求 得数学模型的解。 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际，从而得出实际 问题的解。 教材P15习题9-2A 1.如图.设A, B两点在河的两岸.测量者在与A同侧的河 岸边选取点C ，测得AC的距离是50 m. BAC=45. ACB=75,求A，B两点间的距离。 B B 解：由 A+B+C=180,得ABC=1804575=
10、60 又因为 sin 75=sin(30 + 45) =sin 30cos 45 +cos 30sin 45= 4 62 由正弦定理可得 . 60sin 50 75sin , sinsin AB ABC AC ACB AB 即 . 3 275625 ABm 所以 模型1：测量一条河两侧两点之间的距离，设A（可达）， B（不可达）是地面上两点，测量者在A点的附近选定一 点C，测出AC的距离为a m，A，C.求A，B两 点间的距离. 解：在ABC中，由正弦定理，得 , sinsinB AC C AB . sin sin 180sin sin sin sin aa B CAC AB 教材P16习题9
11、-2B 4.为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在 A, B两点进行测量. 已知A, B,M, N在同一个铅垂平面内（如图所示）.飞 机能够测量的数据有俯角和A, B间的距离.请设计一个方案，包括 （1）指出需要测量的教据（用字母表示，并在图中标出）； （2）用文字和公式写出计算M, N间距离的步骤. 解：(1) 需要测量的数据有：A点到M, N的俯角1，1； B点到M, N的俯角2 ，2 ；A，B两点之间的距离d. (2)计算M, N间距离的步骤如下 第三步：计算MN.在AMN中，由余弦定理得 第一步:计算AM.在ABM中，由正弦定理得 ； 21 2 sin sin d AM 第二步
12、:计算AN.在ABN中，由正弦定理得 ； 12 2 sin sin d AN .cos2 11 22 ANAMANAMMN 设计方案问题 方案设计问题的解题思路 1.依据测量目标和实际情境及测量工具等实际设计合理的方案； 2.决定收集和测量哪些信息及数据； 3.对所设计的方案进行推理运算和改进. 注意事项： 1.实际测量往往受地形、地貌、测量工具等条件的制约，因此 设计的方案要切实可行； 2.测量要符合题目与实际要求； 3.计算要做到算法简捷，计算准确. 模型2：在河的一侧测量河的另一侧的两点之间的距离，或者利 用两个观测点测量航行中的两艘轮船之间的距离等. 设A，B是两点（可视不可达），测量
13、者选定两点C，D（可 达），测出CD的距离a及ACD，BCD，BDC，ADC.求 A，B两点间的距离. 在ACD中，利用正弦定理求AC； 在DBC中，利用正弦定理求BC； 在ABC中，利用余弦定理求AB. 教材P15习题9-2A 4.如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A作 直线往复运动.设连杆AB长为 340mm,曲柄CB长 85mm.求曲 柄CB从初始位置CB0按顺时针方向旋转 60时，活塞A移动的 距离AA0. 解：在ABC 中，由余弦定理，得 AB2= AC2 + BC2 - 2ACBCcosC 即 3402=AC2+ 852-85AC, 解得 (舍去负值) 2 618585 AC 所以
14、活塞A移动的距离为 AA0=340+85AC50.56 (mm) . B A C A0 B0 模型3：测量的两个点A，B之间不可视也不可达，求AB， 如隧道问题等. 另选一点C， 测得ACb，BCa及C度数， 则由余弦定理得AB Cabbacos2 22 教材P15习题9-2A 2.如图,勘探人员朝一座山行进时，前后两次测得山 顶的仰角分别为30和45, 两个观测点C,D之间的距离为200 m.求此山的 高度AB（测量仪器的高度忽略不计,A, B,C, D都在同一平面内.ABC是一 个直角三南形）. 解： 在 RtABD 中，因为ADB =45, 所以ADB=DAB=45,因此 AB=BD.
15、在RtABC中，由锐角三角函数的定义得 tanACB = BC AB 解得 AB = 10073+100 (m) 即 ， 3 3 200 AB AB 模型1 A C B D 教材P16习题9-2B 3.如图.测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底8在同 一水平面内的两个测 点C与D.现测得BCD=, BDC=, CD = s,并在点 C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB. C D 解：BCD中，CBD=180-， 由正弦定理得 , sinsinBDC CD CDB BC , sin sin sin sin s CBD BDCCD BC 在RtABC中，,tan BC AB ACB , sin tan
16、sin tan s ACBBCAB因此 . sin tansin s AB为即塔高 模型2 在军事、航空、天文、地理测量以及日常生活中，经常需要测量一些 底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度，这些物体的高度一般不能 直接用解直角三角形的方法解决，常常用正弦定理或余弦定理计算出建筑 物等物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角 三角形的问题. 2.两个基本模型及解法： （模型1） 点B与C，D共线（求AB）. 测得CDa及C与ADB的度数.先用正弦 定理求出AC与AD，再解直角三角形得AB的值. （模型2）点B与C，D不共线（求AB）. 测得CDa及BCD，BDC，ACB的度数.在 BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得 AB的值. 模型2 模型1 课堂小结 本节课内容不做拓展要求。 1测量距离问题包括两种情况 (1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离 (2)测量两个不可到达点之间的距离 2. 测量高度问题包括两种情况 (1)点B与C，D共线（求AB） (2)点B与C，D不共线（求AB） 3.设方案计问题 下课了
