1、第十章第十章 复数复数 10.2.1复数的加法与减法 任意两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结 合律,即a,b,c?R时，必定有 a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c). 思考：复数中的加法应该如何规定,才能使得类似的交换律 与结合律都成立呢？ 设 z1= 1 + i, z2= 2 -2i, z3=-2 +3i.你认为 z1+z2与(z1+z2)+z3 的值应该等于多少？由此尝试给出任意两个复数相加的运算规则. 由实数加减法原则类比猜想复数加法运算 z1+z2 =（1+i）+(2-2i)=(1+2)+(i-2i)=3-i (z1+z2)+z3 =(1+i+2-2i
2、)-2+3i=(1+2-2)+(i-2i+3i)=1+2i 把 i 看成一个字母， 按照多项式相加 一般地，设z1 =a+bi , z2 =c+di (a,b,c,d?R), 称z1 +z2为z1 与z2 的和， 并规定 z1 +z2 =(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d) i 实部相加得实部 虚部相加得虚部 两个复数的和 仍然是复数。 复数中的加法满足交换律与结合律. 证明：设z1 =a1+b1 i , z2 =a2+b2 i z=a3 +b3 i, (a n,bn,cn,dn?R,n?1,2,3 z1 +z2 =(a1 +a2 )+(b1 +b2) i z2 +z1 =( a
3、2+a1 )+( b2+b1 ) i z1 +z2 = z2+z1 (z1 +z2) +z3 =(a1 +a2 )+(b1 +b2) i+(a 3+b 3i)=(a1+a2+a3 )+(b 1+b 2+b 3) i z1 +(z2 +z3 )=(a1 + b1 ) i +(a2+a3)+(b2+b3) i=(a1+a2+a3 )+(b 1+b 2+b 3) i 从而对尝试与发现中 的猜想是正确的。 两个共轭复数的和一定是实数. 思考：两个共轭复数的和是怎么样的数？ .),(biazRbabiaz则设 .2Rabiabiazz 3.3.3.3. , 2, 2. 1 DiCiBA zzzzzzz
4、）虚部为（ 的则复数的共轭复数，是其中满足已知复数 D ., ,.,1,. 2 21 2121 zz izzibabiziaz 求复数 若为虚数单位是实数，已知复数 解：z1+z2=a+i+1+bi=(a+1)+(b+1) i = i a+1=0 且 b+1=1 解得a=-1, b=0. z1 =-1+i , z2=1 解：设z=a+bi,由已知得a=1, a2+b2=4 ,所以b2=3 .31,3izb 设z1=2 + 2i , z2= - 1-4i.求出z1 +z2 ，并在复平面 内分别作出z1 ,z2 ,z1 +z2 所对应的向量,猜想并归纳 复数加法的几何意义. 由复数与向量之间的对应
5、关系可以得出复数加法的几何 意义：如果复数z1，z2 所对应的向量分别为 与 则当 与 不共线 时，以 和 为 两条邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，则z1 +z2 所对应的向量 就是 ,如图所示。 2 OZ 1 OZ 1 OZ 1 OZ 2 OZ 2 OZ OZ 思考：如何正确理解复数加法的几何意义？ 提示：复数加法的几何意义，就是向量加法 的平行四边形法则. 复数加法的几何意义的具体解释： 由复数加法的几何意义还可以得出 |z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|. 等号成立的条件： 当|z1+z2|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线； 当|z1+z2|z1|-|z2|时
6、，z1，z2所对应的向量反向共线. 三角形两边之和大 于第三边，两边之 差小于第三边。 例如.因为3的相反数为一3,因此8 3=8 +(3=5. 思考：在实数集集中，减法的几何意义是什么？ 思考：在复数中是否可以用类似方法来定义两个复数的减法呢？ 设z1=5 + 8i , z2=5-3i , 猜测z2的相反数以及z,-z2的值. 由实数减法原则类比猜想复数减法运算 答：实数的减法是加法的逆运算，减去一个数，等于加 上这个数的相反数. -z2=-（5-3i）=-5-（-3i）=-5+3i z,-z2 =z1+(-z2)=5+8i+(-5+3i)=11i 一般地,复数z=a+bi (a, b?R)
7、的相反数记作一z，并规定 一z= （a +bi）=一a一b i. 复数z1 ,减去z2的差记作z1一z2,我，并规定 z1 z2 =z1+ (一z2) z1 z2 =(a+ bi) (c+di) = (a c) + (b d)i. 两个复数的差 仍然是复数。 同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即 一般来说，z1-z2 z2-z1 . 实部与实部相减 一般地，如果 z1=a+b i, z2=c+d i (a , b, c, d?R),则 虚部和虚部相减 思考：两个实数的差是实数，两个虚数的差一定是虚 数吗？ 提示：不一定是虚数，例如 （1+2i）-2i=1.是实数 2i-i=i
8、 是虚数 由复数与向量之间的对应关系同样可以得出复数减法 的几何意义：如果复数z1 ,z2 所对应的向量分别为 与 。设点Z满足 则z1一z2所对应的向量就是 ，如图所示。 1 OZ 2 OZ OZ 12Z ZOZ 复数减法的几何意义的具体解释： 任何向量所对的复数，总 是这个向量的终点所对复 数减去始点所对复数所得 的差，即zB 一zA 所对 AB 如何理解复数减法的几何意义？ 1.复数减法的几何意义就是平面向量减法的三角形法则. 2.在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减” 的方法确定. 由复数减法的几何意义可以得出 |z1|-|z2|z1-z2|z1|+|z2|. 等号
9、成立的条件： 当|z1-z2|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线； 当|z1-z2|z1|-|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线. 因为复数相加、相减之后的结果都还是复 数，所以当然可 以进行冇限个夏数的加滅运 算.也可以进行加、减法的混合运算. 例1 计算 （2-5i）+(3+7i)-(5+4i) 解：根据定义 （2-5i）+(3+7i)-(5+4i)=（2+3-5）+（-5+7-4）i 例2 判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假.并说 明理由. 解：这是假命题，理由如下. 设z=a+bi（a,b?R），则 biaz bibiabiazz2)(从而有 .00，
10、这不是存虚数时，当zzb 类比实数的运算，若有括号， 则先计算括号内的；若没有括 号，则可从左到右依次计算. 已知 z1 =3 + 2i, z2 = 1 4i,计算 z1+ z2 ,z1z2 . 计算下列各式的值 (1) (5-4i)+0 ; (2)3+(4 + 2i)； (3)5i+(3+7i) 计算下列各式的值. (1) 5-(3 + 2i) ；(2) (4 + 5i)-3i (3)0-(4-5i). 已知z是复数,判断下列等式是否成立. (1) 0+z=z ; (2) z -0 =z. 1. (1)成立；(2)成立. 2. z1+z2=42i, z1-z2=2+6i. 3. (1) 5-
11、4i； (2) 7+2i； (3) 3+12i. 求证：两个共轭复数的和是实数 4.(1) 22i (2) 1+5i； (3) 一4+5i 计算下列各式的值. (1) (-3 + 2i)-(5-i)+(4 + 7i)； (2) (1 + i)-(1-i)-(5-4i)+(-3 + 7i). 如果复数z1，z2的和z1+z2是实数，那么z1与z2一定互为共轭复数 吗？为什么？ 1. (1) 一4+10i； (2) -8+13i 答. 2不一定.若复数 z1=a+bi , z2=c bi(a, b, c?R),则 z1+z2=a+c 是实数，但a和 c不一定相等， 故z1 , z2 不一定互为共轭
12、复数. 已知复数6 + 5i与-3+4i对应的向量分别为向量OA，向量OB， 求 与 方所对应的复数. 如果不相等的两个复数z1 ,z2 ,在复平面内所时应的点分别为 Z1与Z2且Z为线段Z1Z2的中点，用z1 ,z2 表示点Z对应的复数. 2 Z 21 zz 对应的复数为点 iiOBOA9OBOA93对应的复数为，对应的复数为 OBOA OBOA 【探索与研究】 根据z1-z2的几何意义讨论下列各式的几何意义. （1）|z-（1+i）|2； （2）|z+1|+|z-1|2. 提示： （1）复数z表示的点的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为2的圆； （2）数轴上表示z的点到表示-1，1的点的距离
13、之和为2，所以 复数z表示的点的轨迹是两点-1，1之间的线段. 【拓展】复平面内点的轨迹 （1）|z|表示复数z对应的点到原点的距离，|z1-z2|表示复平面内 两点间的距离. （2）|z-z0|a（aR）表示以点Z0为圆心，半径为a的圆的方程. （3）|z-z1|z-z2|表示线段Z1Z2的垂直平分线的方程. 已知zC，且|z34i|1，求|z|的最大值与最小值 解由于|z34i|z(3 4i)|1，所以在复平面上，复数z对应的 点Z与复数34i对应的点C之间的距 离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是 以C(3,4)为圆心，半径等于1的圆而 |z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离， 又|O
14、C|5，所以点Z到原点O的最大距 离为516，最小距离为514.即 |z|最大值6，|z|最小值4. 1.(1)运算法则 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)， 则z1z2 （a+c）+(b+d)i ，z1z2 (a-c)+(b-d)i . 两个共轭复数的和一定是实数 (2)加法运算律 设z1，z2，z3C，有z1z2 z2+z1 ， (z1z2)z3 z1+(z2+z3) 课堂小结 3. |z1|-|z2|z1 z2|z1|+|z2|. 课堂小结 z1 +z2 =(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d) i z1 -z2 =(a+ bi) - (c+di) = (a - c) + (b - d)i. |z1|-|z2|z1 z2|z1|+|z2|. 复数中的加法满足交换律与结合律. 复数减法的几何意义，就是平面向量减法的三角形法则 复数加法的几何意义，就是向量加法的平行四边形法则. 下课了
