1、第十一章第十一章 立体几何初步立体几何初步 11.1.5 11.1.5 旋转体旋转体 问题1：圆柱，圆锥和圆台是否可以由平面图形得 到？如果可以，它们是由平面图形如何得到呢？ 圆柱圆柱可以看 成以矩形的 一边所在直 线为旋转轴， 将矩形旋转 一周而形成 的曲面所围 成的几何体； 圆锥圆锥可看成以直角三角形一直角边 所在直线为旋转轴，将直角三角形 旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体； 圆台圆台可看成以直 角梯形垂直于底 边的腰所在直线 为旋转轴，将直 角梯形旋转一周 而形成的曲面所 围成的几何体 尝试与发现 问题2：任意平面多边形以一条边所在直线为旋转轴，其他边 旋转一周而形成的曲面围城的几何
2、体可以统一称为什么呢？ 旋转体. 旋转轴称为旋转体的轴； 在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的高； 垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面； 不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面； 不垂直于轴的边都称为母线； 在旋转体中，通过轴的平面所得到的的截面通常简称为轴截面. 圆柱的结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围 成的旋转体叫做圆柱。 圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而 成的圆面叫做圆柱的底面。 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的 曲面叫做圆的侧面。 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直 于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用
3、表示它的轴的字母表示.如：圆柱OO 注：棱柱与圆柱统称为柱体 B A A O B O 轴 底面 侧 面 母 线 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形 成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 圆锥的结构特征 S 顶点 A B O 底面 轴 侧面 母 线 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。 底面：另外一条直角边旋转形成的圆 面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲 面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边 的交点 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形 的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 问题3：圆台是否可以看成
4、平面截圆锥得到的几何体？如果 可以，那么任意一个平面都可以截圆锥得到圆台吗？ 圆台的上下底面之间的数量关系是什么？ 尝试与发现 答：圆台可以看成平行于圆锥底面的 平面截圆锥所得到的几何体. 圆台圆台上下底面相似上下底面相似 O O A B 圆台的轴，底面，侧面， 母线与圆锥相似 注：棱台与圆台统称为台体。 圆柱圆锥圆台的侧面展开图是平面图形吗？如果是平面 图形，那么是什么图形呢？求它们的面积需要旋转体的 那么条件呢？ 尝试与发现 圆柱的侧面展开图是矩形矩形，矩形的长 是圆柱的底面周长，高是圆柱的高(即 母线长)，所以圆柱的侧面积为圆柱的侧面积为S= =2rl 圆锥的侧面展开图为扇形，扇形半径为
5、圆 锥的母线，扇形的弧为圆锥的底面周长， 所以圆锥的侧面积为S=rl 圆台的底面是一个圆，侧面展开图是一个扇状环形 2 rS 上底 2 rS 下底 lrrS)( 侧 )( 22 rllrrrS 表 教材P81 练习A （1）写出圆柱中任意两条母线的位置关系，任意一条母线 与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系？ （2）写出圆锥中任意两条母线的位置关系，任意一条母线 与底面的位置关系？ （3）写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线 与底面的位置关系？ 解：由圆柱、圆锥和圆台的定义可知 （1）圆柱中任意两条母线平行，母线与底面相交，两底面平行； （2）圆锥中任意两条母线相交，任意一条母线
6、与底面相交； （3）圆台中任意两条母线相交，任意一条母线与底面相交. 教材P81练习A5 分别求出底面半径为1cm,高为3cm的圆柱和圆锥的表面积. 教材P51练习B 1 一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为30，求圆锥的高. 教材81页练习A 4 一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,求圆柱轴截面的面积. 答案：20 310答案： 能力提升：教材P81 练习B 5 一个圆台的母线长为5,两底面直径分别为2和8,求圆台的高. 8 8 2 2 答案：4 日常生活中的很多物体都可以抽象成球面，如图。 （1）从数学的角度应该怎样来刻画球面？圆可以看成平面 上到定点的距离等于定长的点的集合，球面上的
7、点是 否有类似的性质？ （2）球面可以通过什么图形旋转得到？球体怎样描述？ 尝试与发现 （1 1）回答）回答：球面球面可以看成一个半圆 绕着它的直径所在的直线旋转一周所 形成的曲面；球面围成的几何体，称 为球球.球也是一个旋转体. （2 2）回答：）回答：由球面的形成过程可看 出，球面可以看成空间中到一个定点 的距离等于定长的点的集合. （2）球面可以通过什么图形旋转得到？ （1）从数学的角度应该怎样来刻画球面？ 尝试与发现 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形 成的几何体叫做球体球体。 球心：球心：半圆的圆心叫做球的球心。 半径：半径：半圆的半径叫做球的半径。 直径：直径：半圆的
8、直径叫做球的直径。 球的表示：用球心字母表示。如：球O O A B C 直径球心 半 径 球的有关概念球的有关概念 球面可以看成空间 中到定点的距离等 于定长的点的集合. 当用刀去切一个球形的西瓜时，所 得到的截面是什么形状？一般地， 一个平面与一个球面相截，所得交 线的形状是怎样的? 尝试与发现 O 【性质3】 到球心距离相等的截面面积 . 球的性质 【性质1】 用任意平面截球所得的截面是一个 ， 球心和截面圆心的连线 222 rRd 【性质2】 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半 径r有下面关系： 圆面 垂直于截面 相同 如果平面过球心，则d=0， 此时截面是半径 等于球的半径的一个
9、圆面(圆及其内部). RdR 22 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆大圆，被不经 过球心的平面截得的圆称为球的小圆小圆. 【性质4】球的直径等于球的内接长方体的. 体对角线长 知识拓展 经线经线：当我们把地球看成一个球时，经线就是球面上 从北极到南极的半个大圆，经度取值区间为 180,0 纬线纬线：赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆，纬度取 值区间为 90,0 尝试与发现 2 4 RS 我们知道，如果一个圆的半径为r,那么它的周长为2R， 它的面积为R2. 如果球的半径为R,你能猜出球的表面积与 R, R2, R3中的哪一个成正比吗？ 球的表面积与半径的平方成正比. 教材P80例3 已
10、知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱 长为3，4，5，求球的表面积. 分析分析: :你能画出合适的图形来表示题目中的 关系吗？已知一个长方体，你能在空间找 一点，使它到长方体的8个顶点的距离都相 等吗？ 与球有关的切，接问题 与球有关的切，接问题 教材P81练习A3 已知一个球的半径为3，求这个球的表面积. 答案：432=36 教材P81 练习B 4 判断下列命题的真假. (1) 球面上任意一点与球心的连线都是球的半径； (2) 球面上任意两点连成的线段都是球的直径； (3) 用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面. 真 假 真 教材P81 练习B 2 已知A,B都是球O对应的球面上的点，过A,B两点可以 做几个大圆？ 答案：若AB是球的直径，可做无数个大圆； 若AB不是球的直径，可做一个大圆. 教材P81练习B3 一条直线被一个半径为5的球截得的线段长为8，求球心到 直线的距离. 答案:3 即球面上两点间的最短距离最短距离，是指经过这两点和球心的大大 圆的劣弧的长度圆的劣弧的长度. 球面距离 大圆劣弧的圆心角为弧度， 半径为R，则弧长为L=R 课堂小结： 谢谢观看
