1、11.1.1空间几何体与斜二测画法 一、空间几何体 1.思考 我们以前接触过的几何体有哪些? 提示:正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球. 2.填空 提示: 3.做一做 (1)观察如下各图,将每个图形中可抽象出的几何体画出来. (2)观察如下图所示的物体,说出几何体的名称. 提示:球,长方体 二、斜二测画法 1.思考 (1)在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角吗? 提示:为了直观,不一定. (2)正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么?为什 么? 提示:平行四边形、椭圆形,为增加直观性. (3)这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗? 提示:不相同.
2、2.填空 (1)立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图 形的直观图. (2)一般地,用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,步骤 如下: 建系在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直 观图时,把它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使 xOy=45(或135),它们确定的平面表示水平面 平行 不变已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平 行于x轴或y轴的线段 (3)一般地,用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下: 与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应 的是z轴. 直观图中平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示竖直
3、平 面. 已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性 和长度都不变. 成图后,去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线. 长度 规则已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变, 平行于y轴的线段,长度为原来的一半 3.做一做 (1)判断正误. 相等的角,在直观图中仍相等. ( ) 长度相等的线段,在直观图中长度仍相等. ( ) 若两条直线垂直,在直观图中对应的直线也互相垂直. ( ) 解析:根据斜二测画法的意义及作图知,均错. 答案: (2)(多选题)关于“斜二测画法”,下列说法正确的是() A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x轴,长度不变 B.原图形中平行于
4、y轴的线段,其对应线段平行于y轴,长度变为原 来的 C.在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy必须是45 D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 解析:在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy可以是45,也可 以是135.C不正确. 答案:ABD (3)长方形的直观图可能为下图的哪一个() A.仅B.C.仅D. 解析:斜二测画法中,平行性保持不变,平行于x轴的长度不变,平行 于y轴的长度折半.因此长方形的直观图为. 答案:C (4)在用斜二测画法画水平放置的ABC时,A的两边平行于x轴、 y轴,则在直观图中,A=. 解析:由斜二测画法可知,A=45或A=135. 答案
5、:45或135 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 水平放置的平面图形的直观图水平放置的平面图形的直观图 例1按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:画法: (1)在图中作AGx轴于G,作DHx轴于H. (2)在图中画相应的x轴与y轴,两轴相交于点O,使xOy=45. (4)连接AB,AE,ED,DC,并擦去辅助线GA,HD,x轴与y轴,便得 到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE（如图）. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标 系是关键,一般要使得平面多边形尽可能
6、多的顶点在坐标轴上,以 便于画点. 2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变), 与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端 点,然后连接成线段. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练1如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构 成的平面图形,请画出它的直观图. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:画法: (1)以AB边所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,两轴相交于点O（如 图）,画相应的x轴和y轴,两轴相交于点O,使xOy=45（如图 ); (3)连接ED,DC,CE,并擦去辅助线x轴和y轴,便得到平面图形 ABCDE水平放置的直观图A
7、BC-DE(如图). 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 空间几何体的直观图空间几何体的直观图 例2用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-ABCD的直观图. 解:画法:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使 xOy=45,xOz=90. (2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上 取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作 x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方 体的底面ABCD. (3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分 别截取2 cm长的
8、线段AA,BB,CC,DD. (4)成图.顺次连接A,B,C,D, 并加以整理(去掉辅助线,将被遮 挡的部分改为虚线),就得到正方 体的直观图(如图). 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对 应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使xOy=45(或135),它们确定 的平面表示水平面,再作z轴与平面xOy垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段 并且长度不变. (3)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段,且线段长度画成原来 的二分之一. (4)平行于z轴的线段画成平行于z
9、轴的线段并且长度不变. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练2如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直 观图. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:(1)画轴.如下图,画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90. (2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一 个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD, 在z轴上截取OO,使OO等于三视图中相应的高度,过O作Ox的平行 线Ox,Oy的平行线Oy,利用Ox与Oy画出上底面ABCD. (3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO等于三视图中相应的高 度. (4)成图.连接PA,PB,
10、PC,PD,AA,BB,CC,DD,整理得到三视图表示 的几何体的直观图,如下图. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 直观图的还原与计算直观图的还原与计算 例3如图所示,一个水平放置的平面图形为斜二测直观图是一个底 角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形,求这个平面图形的面积. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:因为ADBC,所以ADBC. 因为ABC=45,所以ABC=90, 所以ABBC.所以四边形ABCD是直角梯形,如图所示. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 延伸探究1例3中的条件改为:如图所示的直角梯形 中,ABC=45,AB=AD=1,CDBC,求原平面图形的面积. 探究一
11、探究二探究三思维辨析当堂检测 解:在斜二测直观图形,作AHx轴交于H. AB=AD=1,DCBC,ABC=45. 从而在原平面图形ABCD中(如图所示), 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 延伸探究2若将例3的条件改为:已知正ABC的边长为1,那么 ABC的平面直观图ABC的面积为. 解析:图、图分别为实际图形和直观图. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟由原图形的面积求直观图的面积,关键是确定直观图的形 状,作出直观图后,求出其边长和高,进而求出面积;若由直观图求原 图形的面积,则根据斜二测画法将直观图还原为原图形,再求边长 和高,进而求面积.直观图的面积是原图形面积 探究一探究
12、二探究三思维辨析当堂检测 解答平面图形直观图还原问题的易错点 典例一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OABC 的面积为 ,则原梯形的面积为() 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解析:方法一:如图,由斜二测画法原理知, 原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,不一样的是 两个梯形的高. 故选D. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 答案:D 易错防范1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的 长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC的长度的2倍,OC长度 是直观图中梯形的高的 倍,此处易出错. 2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积 探究一
13、探究二探究三思维辨析当堂检测 1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是 ( ) A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B.平行四边形的直观图仍是平行四边形 C.两条相交直线的直观图可能是平行直线 D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解析: 答案:B A.模块 B.模块 C.模块 D.模块 解析:观察所给模块图形,可知选A. 答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 2.如题图,模块均由4个棱长为1的小正方体构成,模块由15 个棱长为1的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块 上,使得模块成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中
14、,能 够完成任务的为 () 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 3.如图,水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC,已知 AC=6,BC=4,则AB边的实际长度是. 答案:10 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 4.如图RtOAB是一平面图形的直观图,直角边OB=1,则这个平 面图形的面积是. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 5.如图,ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复 成原图形. 解:画法: (1)如图,画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=OA,即CA=CA; (2)在图中,过B作BDy轴,交x轴于点D,在图中,在x轴上取 OD=OD,过D作DBy轴,并使DB=2DB. (3)连接AB,BC,则ABC即ABC的原图形,如图.
