1、10.3复数的三角形式及其运算 一、复数的三角形式 1.思考 提示:有,三角表示. 提示: a=rcos ,b=rsin . 所以z=a+bi=rcos +(rsin )i=r(cos +isin ). 一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos +isin )的形式. 其中,r是复数z的模;是复数z=a+bi的辐角.r(cos +isin )叫做复数 z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开 来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式. 规定在0,2)范围内的辐角的值为辐角主值.通常记作arg z,即 0arg z2. 3.做一做 (1)写出下列复数的辐角
2、主值: 答案:BCD 其中,是三角形式的个数为() A.1B.2C.3D.4 解析:中,不满足模r0;中,满足复数三角形式的特征;中,不 满足同一个角;中,不满足i与sin 相乘;中,不满足cos 与isin 之间用加号连接.综上可知,只有是复数的三角形式.故选A. 答案:A 二、复数的三角形式与代数形式的互化 1.思考 (1)把一个复数表示成三角形式时,辐角不一定取主值吗? (2)每一个复数都有唯一的模与辐角主值吗? 提示: 不一定,复数0的辐角主值有无数个,每一个不等于零的复数 才有唯一的模与辐角主值. 2.填空 (1)复数的三角形式z=r(cos +isin )化为复数的代数形式 z=a
3、+bi(a,bR),只要计算出三角函数值(应用a=rcos ,b=rsin )即 可. (2)复数的代数形式z=a+bi(a,bR)化为复数的三角形式一般步骤 是: 写出复数的三角形式. (3)每一个不等于零的复数都有唯一的模与辐角主值,并且由它的模 与辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模 与辐角主值分别相等,即 3.做一做 (1)两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:当两个复数z1,z2的模与辐角分别相等时,一定可以推出z1=z2, 充分性成立;但当z1=z2时
4、,不一定非要z1,z2的辐角相等,它们可以相 差2的整数倍,故必要性不成立,综上,两个复数z1,z2的模与辐角分别 相等,是z1=z2成立的充分不必要条件.故选A. 答案:A 三、复数三角形式的乘法及运算律 1.思考 (1)使用复数的三角形式进行运算的条件是什么,辐角要求一定是主 值吗? 提示:使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式 的标准式,辐角不要求一定是主值. (2)两个复数的积仍然是一个复数吗?任意多个复数的积呢? 提示: 两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意多个复数,任意 多个复数的积仍然是一个复数. 2.(1)复数乘法运算的三角表示 若z1=r1(cos 1+is
5、in 1),z2=r2(cos 2+isin 2), 则z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2). 这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等 于各复数的辐角的和.简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为: 模数相乘,辅角相加. (2)复数乘法运算的几何意义 (3)复数的三角形式乘法法则有如下推论 有限个复数相乘,结论亦成立,即 z1z2zn=r1(cos 1+isin 1)r2(cos 2+isin 2)rn(cos n+isin n) =r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n) 当z1=z2=zn=z, 即r1=r2=rn=r,1=2=n=时,
6、 zn=r(cos +isin )n=rncos(n)+isin(n). 这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辅角n倍. 在复数三角形式的乘方法则中, 当r=1时,则有(cos +isin )n=cos n+isin n. 这个公式叫做棣莫弗公式. 3.做一做 计算下列各式,并把结果化为代数形式. 四、复数代数形式的除法 1.思考 (1)如果非零复数z=r(cos +isin ),那么, 的三角表示是什么? (2)两个复数的商仍然是一个复数吗?任意多个复数的商呢? 提示: 两个复数的商仍然是一个复数,可推广到任意多个复数的商 仍然是一个复数. 这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的
7、模除以除数的模所 得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简 单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模相除,辅角相减. (2)复数除法运算的几何意义 2.(1)复数除法运算 的三角表示若z1=r1(cos 1+isin 1), z2=r2(cos 2+isin 2), 3.做一做 (1)计算下列各式: 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 复数的模与复数的模与辐角辐角 答案:A 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 答案:C 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 答案:B 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 复数的三角
8、形式与代数形式的互化复数的三角形式与代数形式的互化 例2将下列复数化为三角形式: 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 答案:B 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 答案:B 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 答案:C 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 复数乘、除运算的综合复数乘、除运算的综合应用应用 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 反思感悟在计算复数的模和辐角时,最容易出错的是辐角范围的 确定.本题中仅有-1tan 1是不够的,还应当注意到=1+(a-1)i 的实部为1、虚
9、部a-1在-1,1内,所以所对的终边只能在第一、四 象限和x轴正半轴上. 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 答案:B 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 复数代数形式与三角形式转化出错 典例下列各式是不是三角形式,若不是,化为三角形式: (1)z1=-2(cos +isin ); (2)z2=cos -isin ; (3)z3=-sin +icos ; (4)z4=-sin -icos ; (5)z5=cos 60+isin 30. 正解(1)由“模非负”知,不是三角形式. z1=2(-cos -isin )=2cos(+)+isin(+
10、). (2)由“加号连”知,不是三角形式. z2=cos -isin =cos(-)+isin(-)或z2=cos -isin =cos(2- )+isin(2-). 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 防错有术1.是不是三角形式要看是否符合z=cos +isin ; 2.如果不符合即利用诱导公式转化为三角形式. 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 答案:C 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 答案:D 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 3.8i2(cos 45+isin 45)=. 解析:8i2(cos 45+isin 45) =8(cos 90+isin 90)2(cos 45+isin 45) =4cos(90-45)+isin(90-45) =4(cos 45+isin 45) 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测 探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测
