1、第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理 利用如图91-6(1)所示的现代测量工具，可以方便地 測出3点之冋的一些距离和角.从而可得到未如的距离与 角. 情境与问题情境与问题 例如，如图9-1-6(2)所示，A, B分别是两个山峰 的顶点，在山脚下任意选择一 点C.然后使用测量仪 得出AC，BC以及 ACB的大小.你能根据这3个量求出 AB 吗？ 把实际问题抽象成数学模型 已知a，b和角C,如何求c? 向量法向量法：,CACCBCAaCBb如图所示， ,cos,cosCabCBCACACBCACB所以 因此而且,CACBAB ,cos22 22 2222 bCabaCACACBCBCACBAB
2、因此又因为, cAB .cos2 222 Cabbac 同理可证 .cos2 222 Abccba .cos2 222 Bcaacb 以A为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系 如图，可知点A（0,0），C（b,0）. 由三角函数的定义得点B的坐标为 （ccosA,csinA） 根据两点间距离公式得 22 )0sin()cos(AcbAcBCa Abccbacos2 222 即 .cos2 222 Bcaacb .cos2 222 Cabbac 同理可证 (A) c a 坐标法 三角形任意一边的平方，等于其他两边的平 方和减去这两边与它们夹角余弦积的2倍. .cos2 222 Cabbac
3、.cos2 222 Abccba .cos2 222 Bcaacb 又余弦定理可以看出，已知三角形两边及其夹角， 可以求出该三角形的第三边. 余弦定理 语言表述： 符号语言： 适用范围： 任意三角形 我们已经学习过正弦定理，那么现在探讨一下能否 用正弦定理证明余弦定理呢？如果能证写出证明过 程，如果不能，说明理由. 能 证明： 则有设,2 sinsinsin R C c B b A a .sin2,sin2,sin2CRcBRbARa 因此ARARa 22 2 2 sin4sin2CBR 22 sin4 CBCBCBCBRcoscossinsin2sincoscossin4 22222 CBC
4、BCBCBCBRsinsincossinsin2sinsin1sin1sin4 22222 CBCBRCRBRcossinsin8sin4sin4 22222 ACRBRcb 180cossin2sin22 22 .cos2 222 Abccba .sin sinsin , , CB CBA CBA CBA 例1 在ABC中，已知a=3,b=6,C=60,求c. 解：由余弦定理可知 .cos2 222 Cabbac ,2760cos63263 22 . 33c因此 已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定. 这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS 一致. 已知三角形的两边及其中一边的对
5、角，这个三角形能唯一确定吗？ 事实上，当角为较长边所对的角时，三角形唯一确定. 余弦定理的应用已知三角形两边及其夹角，求第三边 提示：不能唯一确定。 这与初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一致. 例2 在ABC中，已知a=6,b=4,c= ,求C. 解：由余弦定理可知 .cos2 222 Cabbac .60,1800 CC所以又因为 已知三角形的3条边时，可求出该三角形的三个角， 而且该三角形也唯一确定. 这与初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致. 72 ,cos4624672 22 2 C . 2 1 cosC可解得 余弦定理的应用已知三角形三边求角 余弦定理变形 bc ac
6、b A 2 cos 222 ca bac B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 已知三边求任意角 教材P11练习A 2.已知ABC中，a=10,b=5,C=120,求c. 75c 教材P11练习A 3.已知ABC中，a=6,b=4,c= ,求C.72 C=60 教材P11练习A 4.已知ABC中，a=3,b=2,c= ,求角C以及三角形面积.19 C=120 . 2 33 ABC S 教材P12练习B 4.在ABC中，分别根据下列条件c. (1)a=4,b=2,A=60; (2)a=4,b=3,A=45. 2 4623 21311 cc 例3 在ABC中，已知acosA
7、=bcosB是判断这个三角形的形状. 解：由余弦定理可知 ac bca b bc acb a 22 222222 22222222 bcabacba , 0 442222 bacbca即 , 0 2222222 babacba , 0 22222 bacba所以 . 00 22222 bacba或因此 是等腰三角形；此时时，当ABCbaba,0 22 .,0 222222 是直角三角形此时时，当ABCcbabac 故ABC是等腰三角形或直角三角形. 法一 余弦定理的应用判断三角形形状 余弦定理 角化边 法二：利用正弦定理 例3 在ABC中，已知acosA=bcosB是判断这个三角形的形状. 则
8、有因为,2 sinsinsin R C c B b A a .sin2,sin2,sin2CRcBRbARa 所以 2RsinAcosA=2RsinBcosB, 即2sinAcosA=2sinBcosB, 从而sin2A=sin2B, 从而A=B 或 A+B= 2 故ABC是等腰三角形或直角三角形. 2A 2B 余弦定理的应用判断三角形形状 正弦定理 边化角 因此2A=2B+2k2A+2B=2k+,其中k?Z 余弦定理的应用判断三角形形状 判断三角形形状的方法： （1）锐角三角形： （2）直角三角形： （3）钝角三角形： . 0 , 0 , 0 222 222 222 acb bca cba
9、222 222 222 acb bca cba 222 222 222 acb bca cba 0 2 cos 222 bc acb A 0 2 cos 222 ca bac B 0 2 cos 222 ab cba C 判断角B是什么角 判断角A是什么角 判断角C是什么角 勾股定理是余弦 定理的特殊形式 判断三角形形状方法： 一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ） A、3，4，5 B、2，3，4 C、1，2，3 D、4，5，6 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角， 即该角的余弦值小于0。 A中3，4，5是一组勾股数，所以这三边组成的是直角三角形显然不满
10、足。 0 4 1 322 432 cos 222 CB中 最大边对应的角为钝角，满足条件。 0 8 1 542 654 cos 222 CD中 最大边对应的角为锐角，不满足条件。 C中由1，2，3这组数为边长够不成三角形。显然不满足。 构成三角形的条件： 两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边。 大边对大角，小边对小角，大角对大边，小角对小边。 例4 如图所示平行四边形ABCD中，已知B+D=180,AB=2,BC= AD= ,求四边形ABCD面积. 24 52 解：连接点A，C，如图所示. 在ABC与ADC中分别使用余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB, AC2=AD2
11、+CD2-2ADCDcosD. 又因为B+D=180，所以cosD=cos(180-B)=-cosB, 因此.cos4522452cos2422242 2 22 2 BB 解得cosB=0,因此cosD=0,则B=D=90 从而可知四边形的面积为 .524524 2 1 242 2 1 平面多边形问题转 化为三角形问题。 例5 求证：a=bcosC+ccosB. 证明：如图所示 ,ABCACB因此 .CBABCBCACBABCACBCB 又由图可知,cABbCAaCB ,cos,cosBcaCBABCbaCBCA 所以 a2=bacosC+cacosB, 即 a=bcosC+ccosB. .,
12、coscos上的投影的数量之和在是CBABCABcCb a=bcosC+ccosB能否用向量的几何意义解释？ 同理可得 b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA. 三角形的 射影定理 利用这个结论可以快速解决有关的选择题和填空题。 教材P12习题9-1B 6.已知 ABC 中,a=bcosC + csin B. (1) 求角B； (2) 若b =2,求ABC面积的最大值. 解： （1）由已知和正弦定理得 sinA=sinBcosC+sinCsinB, 又 A=-(B+C),所以sinA=sin-(B+C) =sin(B+C), 又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+c
13、osBsinC, 由和C?(0,),得sinB=cosB. . 4 ,0 BB又 （2）ABC的面积为acBacS 4 2 sin 2 1 . 4 cos24 22 acca由已知及余弦定理得 . 22 4 ,2 22 时，等号成立当且仅当又caacacca . 12 面积的最大值为ABC 已知平行四边形ABCD,求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2). 证明： 设AD=a,AB=b,BAD=. 在ABC中，由余弦定理可知 BD2=a2+b2-2abcos. 在ACD中， AC2=a2+b2-2abcos(-). AB C D 两式相加可得 AC2+BD2=2(a2+b2). 即 AC2+
14、BD2=2(AB2+AD2). 1. 已知ABC 中，M 为BC 中点，求证；4AM2+BC2 = 2(AB2+AC2). 2. 作CN必AB,与AM的延长线交于 N. 由第1题结论可知ANZ+BCZ=2(AB2H- ACZ). 因为 AN，=4AM 所以 4AMz+BC2=2(ABz+AC2). 在ABC中，若2BAC，b2ac，试判断ABC的形状为 _ 解：2BAC，又ABC180，B60. 又b2ac，由余弦定理可得 b2a2c22accos B a2c22accos 60 a2c2ac， a2c2acac，从而(ac)20， ac，又B60，所以ABC为等边三角形 课堂小结 余弦定理 余弦定理变形 bc acb A 2 cos 222 ca bac B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 .cos2 222 Bcaacb .cos2 222 Cabbac .cos2 222 Abccba 余弦定理应用 （1）已知两边及其夹角，求第三边及另两个角。（SAS） （2）已知三边，求三个角。 （3）判断三角形形状。 谢谢
