1、第十一章 立体几何初步 11.1.2 平面的基本事实与推论 在初中几何中，学习了如下的点与直线的基本事实： (1) 连接两点的线中，线段最短； （2)过两点有一条直线，并且只有一条直线. 事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线； 通过指定的三个点，不一定能作一条直线. (2)也可简单地 说成“两点确 定一条直线” 观察如图11-2-1的凳子，把凳面看成一个平面， (1) 如果要把一个平面固定在空间中，至少需 要固定几 个点？ (2) 有多少个平面能通过空间中指定的一点？ 有多少个平面能通过空间中指定的两点？ 尝试与发现尝试与发现 问题：（教材95页3题）一边有固定在门框上的两个合页，另 一边
2、有锁。当不上锁时，门可以自由转动；当上锁后，门就 被固定住了。如果将门看作一个平面的一部分，为什么上锁 后门就被固定住了。这说明了什么？ 基本事实基本事实1 1 经过经过不在一条直线上不在一条直线上的的3 3个点，个点，有有且且只有一个只有一个平面平面。 简单地说成“不共线的不共线的3 3点点确定确定一个平面” “有有”说明对象存在说明对象存在 “只有一个”说 明对象是唯一的 用于确定一用于确定一 个平面个平面 .,CBA 问题：问题：我们班级后面挂帽子都要在墙上钉上一个长排挂钩， 在挂着个挂钩时，我们只需钉几个钉子？ 思考：对直线上至少几个点在某一平面内，就能确保直 线在该平面内？ 基本事实
3、基本事实2 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那如果一条直线上的两个点在一个平面内，那 么这条直线在这个平面内。么这条直线在这个平面内。 平面基本事实2判定：如果一个平面内的任意两点所确定的直 线都在这个平面，那么这个面就是平面 否则，就不是平面（如球面）. .,ABBA，那么直线如果 思考：当用裁纸刀裁纸时，可以认为 刀锋是在一个平面 内运动的. （1）两个平面个不可以只有一个交点？ （2）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？ （3）两个平面相交时，公共点具有什么特点？ 基本事实基本事实3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点
4、的公共直线。它们有且只有一条过该点的公共直线。 1.事实3的作用-判定两个平面相交的依据。 -证明（公共）点在（公共）线上的依据。 -证明线共点的依据。 2.绘图时，注意两个平面被遮挡的部分，画虚线或不画。 .,aaA 练习如图中的ABC，若AB、BC 在平面内， 判断AC是否在平面内？ 解： AB在平面内， A点一定在平面内，又BC在平面内， C点一定在平面内， 因点A、点C都在平面内， 由基本事实2知，直线AC 在平面内 【小结结】要判断或证明直线在平面内，只需要判断或证明直线在平面内，只需 要直线上的两点在平面内即可要直线上的两点在平面内即可 练习如图，正方体AC1中，对角线A1C和平面
5、BDC1交于O， AC与BD交于点M，求证：点C1、O、M共线 证明：C1、O、M面BDC1， 又C1、O、M面A1ACC1， 由基本性质3知， 点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上， C1、O、M三点共线 【小结结】证明点共线问题常用方法：证明点共线问题常用方法： (1)(1)先找出先找出两个平面两个平面，再证明这三个，再证明这三个 点都是这两个平面的点都是这两个平面的公共点公共点，根据，根据 基本性质基本性质3 3从而判定他们都从而判定他们都在交线上在交线上； (2)(2)选择选择两点确定一条直线两点确定一条直线，再证，再证另另 一点在这条直线上一点在这条直线上 补充例题
6、：已知ABC在平面外，他的三边所在的直线分 别交平面于P、Q、R.求证：P、Q、R三点共线. 证明： 设ABC所在的平面为，则 P、Q、R为平面与平面的公共点， 所以P、Q、R三点共线. R B A C P Q 【小结】在立体几何中证明点共线、线共点等问 题时经常要用到公理3. 问题：确定平面确定平面的方法是什么？除了不共线的三点外，还 有没有其他的方法？ 问题：如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个 平面吗？为什么？ 答：能确定一个平面，因为点A与直线BC上的 两点B，C不共线，根据基本事实1（公理1）， A，B，C三点确定一个平面ABC. 推论推论1 1经过一条直线和直线外一点，有
7、且只有一个平面经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 简记为：“直线与直线外一点确定一个平面”. A B C 问题：如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？ 答：能确定一个平面，因为直线AB， AC相交于点A，不共线的三点A，B， C确定的平面就是直线AB和AC确定的 平面由平面事实1（公理1）可证得。 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面 简记为：“两相交直线确定一个平面”. 注：三角形是平面图形，因此三角形的性质及解三 角形等结论可以在空间中继续应用. 问题：如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？ 为什么？ 答：能确定一个平面，因为两条平行 线中含有不共线的三点A、B、C，
8、由基本事实1（公理1）可知，这 个平面是确定的. 推论推论3 3经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面 注：平行四边形，梯形是平面图形，因此平行四边形， 梯形的性质及判定等结论在空间中仍然成立. 简记为：“两条平行直线确定一个平面”. 思考：怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一 平面内？根据是什么？ 答：连接对角的两个腿，如果两条线段相交就 说明在一个平面内。否则，就不在一个平 面内。（依据：推论2） 推论推论3 3经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论推论1 1经过一条直线和直线外
9、一点，有且只有一个平面经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 简记为：“两相交直线确定一个平面”. 简记为：“两条平行直线确定一个平面”. 简记为：“直线与直线外一点确定一个平面”. 例1 两两相交且不过同一点的3条直线必在同一平面内. 证明： 设直线AB，BC，AC两两相交，交点 分别为A，B，C.显然，A,B,C 3点不 共线，因此它们能确定一个平面. .,ABBA那么因为 .,BCAC那么同理 即直线AB,BC,AC都在平面内. 教材 P93 教材 P93 例2 如图11-2-9所示正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上一 点.试说明D1，A, E 3点确
10、定的平面与平面ABCD相交，并画出 这两个平面的交线. 图 11-2-911-2-9 图 11-2-1011-2-10 .ABCDAED ,ABCDAED , 1 1 1 相交与面即面 面所以面 面面因为 ABCDAAEDA解： 延长D1E与DC,设它们相交于F，如 图11-2-10所示，则 ，面，直线直线 ，面，直线直线 ABCDDCDCF AEDEDEDF 111 .ABCDAEDAF ABCDAEDF 1 1 的交线与面为面从而 ，面面则 补充例题： 空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点， 已知EF和GH相交于点M，求证：点B、D、M共线 A B C D
11、 E F G H M 证明：连接BD，则直线BD=面ABD面BCD, EAB,FAD, EF 面ABD,又MEF,MABD, 同理可证HG面CBD,M面BCD, 由可得到M面ABD面BCD=BD. 故点B、D、M在同一直线上（或者点B、D、M共线）. 【变式】若求证：直线EF、GH、BD三线共点呢？ 提示：证明线共点问题常用方法： (1)先找出两条直线交于一点 (2)再证这一点也在第三条直线上 练习：求证：一条直线与三条平行直线都相交，则四线共面. 证明：如图，易证a、b、d在同一平面内， b、c、d在同一平面内， 与有公共的相交直线b、d 与重合 a、b、c、d四线共面 练习：三条直线两两相
12、交，可确定平面的个数为 （ ） A、1 B、2 C、3 D、1或3 D 【解析】 如图（1）所示的三条两两相交直线确定一个平 面；如图（2）所示的三条两两相交直线确定三个平面. 图（1） 图（2） 三条直线两两平行可确定平面的个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、1或3 D D 练习：一个平面把空间分成 部分，两个平面把空间分成 _ 部分，三个平面把空间分成 _ _ 个部分。 2 3或4 4、6、7、8 课堂小结 基本事实基本事实1 1 经过不在一条直线上的经过不在一条直线上的3 3个点，个点，有有且且只有一个只有一个平面平面。 基本事实基本事实2 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，
13、那么这条直线如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线 在这个平面内。在这个平面内。 基本事实基本事实3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。么它们有且只有一条过该点的公共直线。 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论推论1 1经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 简记为：“两相交直线确定一个平面”. 简记为：“两条平行直线确定一个平面”. 简记为：“直线与直线外一点确定一个平面”. 推论推论3 3经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面 谢谢观看
