1、第二课时组合数的应用 课标阐释思维脉络 1.学会运用组合的概念,分 析简单的实际问题. 2.能够运用排列、组合知 识解决相关问题. 激趣诱思知识点拨 某校开展冬季校运会,招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号,2 号,19号,20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去 做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较 大的在另一组.那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取 方法有多少种? 激趣诱思知识点拨 应用组合知识解决实际问题的基本步骤 1.判断:判断实际问题是否是组合问题. 2.方法:选择利用直接法还是间接法解题. 3.计算:利用组合数公式结合两个计数原理解题.
2、 4.结论:根据计算结果写出方案个数. 名师点析 有限制条件的组合问题的求解策略 (1)解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法 (排除法)”.若用直接法求解,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则. 用间接法求解的原则是“正难则反”. (2)在具体计算组合数时,要注意灵活选择组合数的两个公式以及两 个性质. 激趣诱思知识点拨 微练习 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果 要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为() A.14B.24C.28 D.48 答案:A 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 无限制条件的组合问题无限制条件的组合问题 例1现有
3、10名学生,男生6人,女生4人. (1)要选2名男生去参加乒乓球赛,有多少种不同选法? (2)要选男、女生各2人参加乒乓球赛,有多少种不同选法? (3)要选2人去参加乒乓球赛,有多少种不同选法? 分析分清是组合还是排列问题,与顺序有关即为排列,与顺序无关 即为组合,一定要理解清楚题意. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 无限制条件组合问题的求解策略 解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出的元素 只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出的元素排成一列,与 顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运 用组合数公式求出其种数.在解题时还应注意两个计数
4、原理的运用, 在分类和分步时,注意有无重复或遗漏. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公 益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有种.(用 数字作答) 答案:140 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 有限制条件的组合问题有限制条件的组合问题 例2某地区发生了特别重大的交通事故.某医院从10名医疗专家中 抽调6名奔赴事故现场抢救伤员.已知这10名医疗专家中有4名是外 科专家.问: (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种? (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种? (3)至多有2名外科专家的抽调方法
5、有多少种? 分析本题属于组合问题,解答本题的关键是分清“恰有”“至多”“至 少”的含义,正确地分类或分步解决. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 常见的有限制条件的组合问题及解题方法 1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素, 特殊元素的多少作为分类依据. 2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况, 可以以此作为分类依据,或采用间接法求解. 3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问 题分类表达,逐类求解. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 延伸探究 例题条件不变
6、,所求问题改为: (1)抽调的6名专家中都不是外科专家的抽调方法有多少种? (2)抽调的6名专家中不都是非外科专家的抽调方法有多少种? 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 分组分组(分配分配)问题问题 例36本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,每份两本; (3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. 分析(1)是平均分组问题,与顺序无关,相当于6本不同的书平均分给 甲、乙、丙三人,可以理解为一个人一个人地来取;(2)是“均匀
7、分组 问题”;(3)是“不均匀分组问题”,分三步进行;(4)分组后再分配;(5)明 确“至少一本”包括“2,2,2型”、“1,2,3型”、“1,1,4型”. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 分组(分配)问题的求解策略 1.分清是分组问题还是分配问题,是解题的关键. 2.分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种: (1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等. (2)部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!. (3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. 探究一探究二探究
8、三探究四素养形成当堂检测 变式训练2将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一 名,则不同的分配方案有种(用数字作答). 答案:36 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 排列、组合的综合应用排列、组合的综合应用 例4有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表, 求分别符合下列条件的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文课代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表; (4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担 任数学课代表. 分析(1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方 法.(3)先安排该
9、男生,再选出其他人担任四科课代表.(4)先安排语文 课代表的女生,再安排“某男生”课代表,最后选其他人担任余下三科 的课代表. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 1.按事情发生的过程进行分步. 2.按元素的性质进行分类.解决时通常从以下三个角度考虑: (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的 排列或组合数. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测
10、变式训练3某班举行班会,准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生 发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加, 则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为() A.360B.520 C.600D.720 答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 构建模型法解应用题构建模型法解应用题 典例 上一个有10级的台阶,每步可上一级或两级,共有多少种上台 阶的方法? 方法点睛 利用台阶总数为定值10,步数可变,分别设出每步上一级 台阶的步数x和每步上两级台阶的步数y,找出等量关系,列出方程. 构建方程模型的关键是正确设出相关变量,找到等量关系.用赋值 法讨论每种情况,正确求解
11、. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 A.7 B.4或7 C.7或11 D.4或7或11 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 答案:D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 2.有5名同学站成一排拍毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且 乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有() A.8种B.16种 C.32种D.48种 答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 答案:190 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 4.(2018全国)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少 有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答 案) 答案:16 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 5.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有 多少种不同的选法? (1)甲当选且乙不当选; (2)至多有3名男生当选.
