1、20212021 全国中考真题分类汇编（图形与变换）全国中考真题分类汇编（图形与变换） -轴对称与折叠轴对称与折叠 一、选择题 1. （2021 甘肃省定西市）甘肃省定西市）2021 年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新 的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开 展了“迎新春牛年剪纸展” ，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（） ABC D 【分析】根据轴对称图形的概念判断求解 【解答】解：A不是轴对称图形，故此选项不合题意； B是轴对称图形，故此选项符合题意； C不是轴对称图形，故此选项不合题意； D不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B
2、2. （20212021 湖北省黄冈市）湖北省黄冈市）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A正三角形 B正方形C正六边形 D圆 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形； B正方形既是轴对称图形，故本选项不合题意； C正六边形既是轴对称图形，故本选项不合题意； D圆既是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：A 3. （2021 湖南省衡阳市）湖南省衡阳市）如图，矩形纸片ABCD，AB4，BC8，点M、N分别在矩形 的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P， 点D
3、落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM下列结论：四边形CMPN是菱 形；点P与点A重合时，MN5；PQM的面积S的取值范围是 4S5其中 所有正确结论的序号是（） ABCD 【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PNCN判断四边形CMPN是菱形， 点P与点A重合时设BNx，表示出ANNC8x，利用勾股定理解出x，进而求出MN 即可判断，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重合时， 求出四边形面积的最大值，即可判断 【解答】解：PMCN， PMNMNC， MNCPNM， PMNPNM， PMPN， NCNP， PMCN， MPCN， 四边形CNPM是平行四边形，
4、 CNNP， 四边形CNPM是菱形， 故正确； 如图 1，当点P与A重合时，设BNx，则ANNC8x， 在 RtABN中，AB+BNAN， 即 4+x(8x)， 解得x3， CN835， AB4，BC8， AC4， CQAC2， QN， MN2QN2， 故不正确； 由题知，当MN过点D时，CN最短，如图 2，四边形CMPN的面积最小， 此时SS菱形CMPN444， 当P点与A点重合时，CN最长，如图 1，四边形CMPN的面积最大， 此时S545， 4S5 正确， 故选：C 4. （2021 湖南省衡阳市）湖南省衡阳市）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形 的是（） A.BC
5、D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解如果一个图形沿一 条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称 【解答】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B不是轴对称图形，故本选项不合题意； C不是轴对称图形，故本选项不合题意； D不是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：A 5. （2021 岳阳市）岳阳市）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（） A.B.C.D. 【答案】A 6. （2021 江苏省连云港）江苏省连云港） 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点 D 1
6、 CED1BCEFG64EGB 、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（） 1 A.B.C.D. 128130132136 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形得到AD/BC， DEF=EFG，再由与折叠的性质得到DEF=GEF=EFG， 用三角形的外角性质求出答案即可 【详解】解：四边形ABCD是矩形， AD/BC， 矩形纸片沿折叠， ABCDEF DEF=GEF， 又AD/BC， DEF=EFG， DEF=GEF=EFG=64， 是EFG的外角， EGB EGB=GEF+EFG=128 故选：A 7. （2021 江苏省苏州市）江苏省苏州市）如图，在平行四边形ABCD中，将ABC沿着AC所
7、在的直线 得到ABC，连接BD，若B60，AC，则BD的长是（） A1BCD 【分析】首先根据平行四边形的性质得ADBC，ABCD，可证出CAE45，ADC 60，根据翻折可得ACBACB45，ABCB60，进而可得AEC 90，从而可得AECE，再根据含 30角的直角三角形的性质求出BEDE 1，根据勾股定理即可得BD的长 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD， CAEACB45， 将ABC沿AC翻折至ABC， ACBACB45，ABCB60， AEC180CAEACB90， AECEAC， AEC90，ABC60， BAC30，DCE30， BEDE1， BD 故选
8、：B 8. （2021 宿迁市）宿迁市）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8， AD=4，则MN的长是（） 57 55 A.B. 25C.D. 4 33 5 【答案】B 【解析】 V【分 析】连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DNNBx，在 RtABD V 中，由勾股定理求BD，在 RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法， 建立等式求MN 【详解】解：如图，连接BM， 由折叠可知，MN垂直平分BD， ODOB, 又ABCD， MDONBO,DMOBNO, VV BONDOM， ONOM， 四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的
9、四边形是菱形）， DNBNBMDM, 设DNNBx，则AN8x， VAD2AB24 5 在 RtABD中，由勾股定理得：BD， V 在 RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2DN2， 即 42+（8x）2x2， 解得x5， 根据菱形计算面积的公式，得 1 BNADMNBD， 2 1 即 54MN4 5， 2 解得MN2 5 故选：B 9. （2021 江西省）江西省）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变 的位置，将分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成 不同轴对称图形的个数为（） A2B3C4D5 【分析】能拼剪为等腰梯形，等腰直角三角形，矩
10、形，由此即可判断 【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为 3 个 故选：B 10. （20212021 陕西省）陕西省）下列图形中，是轴对称图形的是（） AB CD 【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可 【解答】解：A不是轴对称图形； B是轴对称图形； C不是轴对称图形； D不是轴对称图形； 故选：B 11. （2021山西）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于 2022 年举办北京冬奥会.在此之 前进行了冬奥会会标的征集活动， 以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图 形又是中心对称图形的是（B） 12. （2021 河北省）河北省）如图，直线l，m相交于点OP为
11、这两直线外一点，且OP2.8若 点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（） A0B5C6D7 【分析】由对称得OP1OP2.8，OPOP22.8，再根据三角形任意两边之和大于第 三边，即可得出结果 【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2， 点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2， OP1OP2.8，OPOP22.8， OP1+OP2P1P2， P1P25.6， 故选：B 13. （2021 湖北省黄石市）湖北省黄石市） 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A. 梯形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 矩形 【答案】B 【解析】
12、【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可 【详解】A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误； B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误 故选：B 14. （2021四川省广元市）四川省广元市）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是 中心对称图形的是（） A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案 【详解】A.是轴对称图形，但不是
13、中心对称图形，故该选项不符合题意， B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意， D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意， 故选：C. 15. （2021 四川省凉山州）四川省凉山州）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（） A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对 称图形，据此进行判断即可 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不合题意； B、不是轴对称图形，故不合题意； C、是轴对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，故
14、不合题意； 故选 C 16. （2021 四川省凉山州）四川省凉山州）如图，ABC中，将 VACB90,AC8,BC6VADE 沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（） 1925 A.B. 2C.D. 84 7 4 【答案】D 【解析】 【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE， AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在RtBCE中根据勾股定理可得到x2=62+ （8-x）2，解得x，可得CE 【详解】解：ACB=90，AC=8，BC=6， AB=AC2BC2=10， ADE沿DE翻折，使点A与点B重合， 1 AE=
15、BE，AD=BD=AB=5， 2 设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x， 在RtBCE中 BE2=BC2+CE2， 25 x2=62+（8-x）2，解得x=， 4 25 8 7 CE=， 44 故选：D 17. （2021 遂宁市）遂宁市）如图，在矩形ABCD中，AB5，AD3，点E为BC上一点，把CDE 沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（） 43 A. 1B.C.D. 32 5 3 【答案】D 【解析】 【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4， BF=AB-AF=5-4=1，在RtBEF中，由勾股定
16、理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可 【详解】解：设CE=x，则BE=3-x， 由折叠性质可知， EF=CE=x，DF=CD=AB=5 在RtDAF中，AD=3，DF=5， AF=， 52324 BF=AB-AF=5-4=1， 在RtBEF中，BE2+BF2=EF2， 即(3-x)2+12=x2， 5 解得x=， 3 故选：D 18. (2021 四川省自贡市四川省自贡市) )如图，在正方形ABCD中，AB6，M是AD边上的一点， AM:MD1:2BMABMN 将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（） 5 9 5 A.B.C. 3D. 2 8 6 5 5 【答案】D 【解析】 【分析
17、】延长 MN 与 CD 交于点 E，连接 BE，过点 N 作，根据折叠的正方形的 NFCD 性质得到， 在中应用勾股定理求出 DE 的长度，通过证明， NECERtVMDEVMDEVNFE 利用相似三角形的性质求出 NF 和 DF 的长度，利用勾股定理即可求解 【详解】解：如图，延长 MN 与 CD 交于点 E，连接 BE，过点 N 作， NFCD AB6AM:MD1:2 ，M是AD边上的一点， AM2DM4 ， BMN 将BMA沿BM对折至，四边形ABCD是正方形， BNEC90ABAN BC ， RtVBNERtVBCE(HL)， ， NECE EMMNNENE 2 ， 在中，设，则， R
18、tVMDEDExME6x28x 2 根据勾股定理可得，解得， 42x28xx3 NEDEME5 3 ， ， NFCDMDE90 ， VMDEVNFE EFNFNE2 ， DEMDME5 9 12 NFEF ， ， 55 6 DF ， 5 226 5 DNDFNF， 5 故选：D 19.(2021 四川省自贡市四川省自贡市) )下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（） A.B. C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可 【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有 1条； B不是轴对称图形； C不是轴对称图形； D是轴对称图形，对称轴有 2条； 故选：D 20.
19、（2021 天津市）天津市）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看 作是轴对称图形的是（） A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解 【详解】A是轴对称图形，故本选项符合题意； B不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D不是轴对称图形，故本选项不符合题意 故选 A 21. （2021 新疆）新疆）下列图形中，不是轴对称图形的是（） A.B. C.D. 【答案】B 22. （2021 浙江省嘉兴市）浙江省嘉兴市）将一张三角形纸片按如图步骤至折叠两次得图，然后 剪出图中的阴影部分，则阴
20、影部分展开铺平后的图形是（） A等腰三角形B直角三角形C矩形D菱形 【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠 2 次后， 剪去一个三角形得到的，按原图返回即可 【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD， 由折叠可知CAAB， ABC是等腰三角形， 又ABC和BCD关于直线CD对称， 四边形BACD是菱形， 故选：D 23. （2021 浙江省丽水市）浙江省丽水市）如图，在纸片中， RtABC ACB90,AC4,BC3D,EAB,ACDEVADEDE ，点分别在上，连结，将沿 翻折，使点A的对应点点F落在的延长线上，若平分，则的长为（） BCFDEF
21、BAD 252515 A.B.C.D. 987 20 7 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出DAE=DFE，AD=DF，然后根 据 角 平 分 线 的 定 义 证 得 BFD=DFE=DAE， 进 而 证 得 BDF=90 ， 证 明 RtABCRtFBD，可求得AD的长 ACB90,AC4,BC 3【详解】解： ， ABACBC=5， 224232 由折叠性质得：DAE=DFE，AD=DF，则BD=5AD， 平分， FDEFB BFD=DFE=DAE， DAE+B=90， BDF+B=90，即BDF=90， RtABCRtFBD， BDBC53 AD 即
22、， DFACAD4 20 解得：AD=， 5 故选：D 24. （2021 浙江省台州）浙江省台州）如图，将长、宽分别为 12cm，3cm 的长方形纸片分别沿AB，AC 折叠，点M，N恰好重合于点P若60，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（） A. （36）cm2B. （36）cm2C. 24 cm2D. 36 cm2 6 312 3 【答案】A 【解析】 【 分 析 】 过 点C作， 过 点B作， 根 据 折 叠 的 性 质 求 出 CFMNBEMN EABPAB30 PAC60，分别解直角三角形求出AB和AC的长度， 即可求解 【详解】解：如图，过点C作，过点B作， CFMNBEMN ，
23、长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P， ， PAC60 ， EABPAB30 BECF BAC906cm ABAC2 3cm ， sinEABsin 1 SABAC6 3 ， VABC 2 SSS1236 3366 3 cm 2 ， 阴矩形VABC 故选：A 25. （2021 江苏省盐城市）江苏省盐城市）北京 2022 年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴 对称图形的是（） ABCD 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意； B不是轴对称图形，故本选项不合题意； C不是轴对称图形，故本选项不合题意； D
24、是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 26. （2021内蒙古通辽市）内蒙古通辽市）如图，已知ADBC，ABBC，AB3，点E为射线BC上一 个动点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点B处，过点B作AD的垂线， 分别交AD，BC于M，N两点，当B为线段MN的三等分点时，BE的长为（） AB C或D或 【分析】分类画出图形，设BEx，由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方 程即可解得BE的长 【解答】解：当MBMN时，如图： RtAMB中，ABAB3，MBAB1， AM2， ADBC，ABBC，MNAD， 四边形ABNM是矩形， BNAM2，MNAB3， 设BEx，则BEx，EN
25、2x， RtBEN中，BNMNMB2，EN2+BN2BE2， （2x）2+22x2， 解得x， BE的长为； 当NBMN时，如图： NBMN1， MB2， 设BEy， 同可得y， BE的长为， 综上所述，BE的长为或 故选：D 27.（20212021 绥化市）绥化市）如图所示，在矩形纸片中，点分别是 ABCDAB3,BC6E、F 矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠使点落在矩形边上，对应 AD、BCEFBAD 点记为点，点落在处，连接与交于点则下列结论成 GAMEF、BG、BE,EFBGN 立的是（） ； BNAB EF当 点与点重合时； GD3 5 2 97 GNF的面积S的取值范围是S；
26、 42 CF53 13 S当 时， 2 4 VMEG A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知四边形 BFGE 为菱形，所以 EFBG 且 BN=GN，若 BN=AB，则 BG=2AB=6，又因为点 E 是 AD 边上的动点，所以 3BG从而判断不正确； 3 5 如图，过点 E 作 EHBC 于点 H，再利用勾股定理求解即可； 9 当点 E 与点 A 重合时，的面积有最小值，当点 G 与点 D 重合时的 GNFSGNF 4 45945 面积S有最大值故S 16416 CF5 5 7 7613 22 因为，则 EG=BF=6-=根据勾股定理可得 ME=， 222 222
27、 从而可求出MEG 的面积 【详解】解：根据题意可知四边形 BFGE 为菱形， EFBG 且 BN=GN， 若 BN=AB，则 BG=2AB=6， 又点 E 是 AD 边上的动点， 3BG 3 5 故错误； 如图，过点 E 作 EHBC 于点 H，则 EH=AB=3， 在 RtABE 中 AE2AB2ADAE 2 即AE2326AE 2 2 9 解得：AE=， 4 915 BF=DE=6-= 44 15 93 HF=-= 442 在 RtEFH 中 EF EHFH 22 3 5 =； 2 故正确； 11 4S ABFG 4 当点 E 与点 A 重合时，如图所示，GNF的面积有最小值= 3 3
28、S 正方形 9 =， 4 111545 4S BFG 44当点 G 与点 D 重合时的面积S有最大值= GNF3 菱形 E 16 945 故SSBECS四边形CDQH； 由折叠可得:GEC=DCE，由ABCD可得BEC=DCE，结论成立； 连接DH，MH，HE，由BECMEC，CMGCDG可知： 1 BCE=MCE,MCG=DCG，则ECG=ECM+GCM=BCD，由于 ECHP，则 2 CHP=45，由折叠可得:EHP=CHP=45，利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2，由 CMEG，EHCG，得到EMC=EHC=90，所以E，M，H，C四点共圆，通过 CMHCDH，易证GHQGDH，则得
29、GH2=GQGD，从而说明成立 【详解】解：四边形ABCD是正方形, A=B=BCD=D=90由折叠可知: GEP=BCD=90，F=D=90 BEP+AEG=90， A=90 AEG+AGE=90， BEP=AGE， FGQ=AGE， BEP=FGQ， B=F=90， PBEQFG， 故说法正确，符合题意； 过点C作CMEG于M， 由折叠可得:GEC=DCE， ABCD， BEC=DCE，BEC=GEC， 在BEC和MEC中， B=EMC=90，BEC=GEC，CE=CE BECMEC(AAS) CB=CM，SBEC=SMBC， CG=CG， RtCMGRtCDG(HL)， SCMG=SCD
30、G， SCEG=SBEC+SCDGSBEC+S四边形CDQH 说法不正确，不符合题意； 由折叠可得:GEC=DCE， ABCD， BEC=DCE， BEC=GEC，即EC平分BEG 说法正确，符合题意； 连接DH，MH，HE，如图： BECMEC，CMGCDG， BCE=MCE，MCG=DCG， 1 ECG=ECM+GCM=BCD=45， 2 ECHP， CHP=45， GHQ=CHP=45， 由折叠可得:EHP=CHP=45， EHCG EG2-EH2=GH2 由折叠可知:EH=CH EG2-CH2=GH2， CMEG，EHCG， EMC=EHC=90， E，M，H，C四点共圆， HMC=H
31、EC=45， 在CMH和CDH中， CM=CD，MCG=DCG，CH=CH CMHCDH(SAS) CDH=CMH=45 ， CDA=90， GDH=45 GHQ=CHP=45， GHQ=GDH=45， HGQ=DGH， GHQGDH， GQGH ， GHGD GH2=GQGD GE2-CH2=GQGD 故说法正确，符合题意； 综上可得，正确的结论有: 故答案为： 13. （2021 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区）在矩形中，2cm，将矩形沿某直线折 ABCDABABCD 叠，使点与点重合，折痕与直线交于点，且3cm，则矩形的面积 BDADEDEABCD 为_cm2 62 562 5【答案
32、】或 【解析】 【分析】根据题意可分当折痕与直线AD的交点落在线段AD上和AD外，然后根据折叠的 性质及勾股定理可求解 【详解】解：四边形是矩形， ABCD ， A90 当点E在线段AD上时，如图所示： FA90,AEEF,ABDF 2cm由折叠的性质可 得， DE 3cm， 在RtDFE中，EFDE2DF25cm， 3 5cmAD AEDE ， SABAD62 5 cm 2 ； 矩形ABCD 当点E在线段AD外时，如图所示： 由轴对称的性质可得， BEDE3cm 在RtEAB中，AEBE2AB25cm， 3 5cmAD DEAE ， SABAD62 5 cm2 ； 矩形ABCD 62 5cm
33、 2 62 5 cm2 综上所述：矩形ABCD的面积为或； 62 562 5 故答案为或 三、解答题 1. （2021 江苏省南京市）江苏省南京市） 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的 12cmOCAC 长为在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径， 4cm 并标出它的长（结果保留根号） （2）图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成O是圆锥的顶点，点A在圆柱的 底面圆周上设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为_（用含l，h的代数式表示） ADOCOBb 设的长为a，点
34、B在母线上，圆柱的侧面展开图如图所示，在图中 画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路 【答案】（1）作图如图所示；（2）h+l；见解析 【解析】 【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与 母线长求出AOC，进而证明出OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解； （2）由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从 点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路 径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l； 如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、
35、BE、GE、AF， 进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在RtABH中利用勾股定理建立方 程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长 【详解】解：（1）如图所示，线段 AB 即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径； 设AOC=n， 圆锥的母线长为，的长为， 12cmAC4cm 12n=4 ， 180 ； n60 连接OA、CA， ， OAOC12 VOAC是等边三角形， B为母线的中点， OC ， ABOC sin60 =6 3 ABOA （2） 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过 A 点且垂直于地面的直线爬到圆 柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶
36、点O上，因此，最短路径长为h+l 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G 点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）； 求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GFAD，垂足为F，由题可知， OGOCl ，GF=h，OB=b， ADGC 由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段 GC 的长为 x，则的弧长也为 x，由母 线长为 l，可求出COG， 作BEOG，垂足为E， 因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG， 接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出A
37、G， 将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB， 因为两点之间线段最短，A、G、B三点共线， 利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x， AB2AH 2 BH 2 将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长 2. （2021 山东省菏泽市）山东省菏泽市）在矩形ABCD中，BCCD，点E、F分别是边AD、BC上 的动点，且AECF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在 点H处 （1）如图 1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PEPF； （2）如图 2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF 的垂直平分
38、线上； （3）当AB5 时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线 长 【分析】（1）欲证明PEPF，只要证明PEFPFE （2）连接AC交EF于O，连接PM，PO首先证明P，M，O共线，再利用等腰三角形 的三线合一的性质解决问题即可 （3）如图 3 中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图 中弧BC利用弧长公式，解决问题即可 【解答】（1）证明：如图 1 中， 四边形ABCD是矩形， ADBC， DEFEFB， 由翻折变换可知，DEFPEF， PEFPFE， PEPF （2）证明：如图 2 中，连接AC交EF于O，连接PM，PO AECF， EAOF
39、CO， AECF，AOECOF， AEOCFO（AAS） ， OEOF， PEPF， PO平分EPF， PEPF，ADBC，AEFC， EDBF， 由折叠的性质可知EDEH，所以BFEH， PEEHPFBF， PBPH， PHMPBM90，PMPM， RtPMHRtPMB（HL） ， PM平分EPF， PM，O共线， POEF，OEOF， 点M在线段EF的垂直平分线上 （3）如图 3 中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图 中弧BC 在 RtBCD中，tanCBD， CBD30， ABOOAB60， AOB是等边三角形， OAODOBOCAB5，BOC120， 点G运
40、动的路径的长 故答案为： 3. （2021 四川省达州市）四川省达州市）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是A（0， 4） ，B（0，2） ，C（3，2） （1）将ABC以O为旋转中心旋转 180，画出旋转后对应的A1B1C1； （2）将ABC平移后得到A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求A1C1C2 的面积 【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可 （2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可，再根据三角形 的面积公式求出A1C1C2的面积 【解答】解：（1）如图，A1B1C8即为所求 （2）如图，
41、A2B2C4即为所求A1C1C6的面积646 4. （2021 山东省济宁市）山东省济宁市）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形 问题 （1）阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的 角 例如，正方体ABCDABCD（图 1），因为在平面AACC中，CCAA， AA与AB相交于点A，所以直线AB与AA所成的BAA就是既不相交也不平行的 两条直线AB与CC所成的角 解决问题 如图 1，已知正方体ABCDABCD，求既不相交也不平行的两直线BA与AC所 成角的大小 （2）如图 2，M，N是正方体相邻两个面上的点； 下列甲、乙、丙三个图
42、形中，只有一个图形可以作为图 2 的展开图，这个图形是 丙； 在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是 2 和 5，点N到BD，BC的距 离分别是 4 和 3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值 【分析】（1）如图 1 中，连接BC证明ABC是等边三角形，推出BAC 60，由题意可知CAB是两条直线AC与BA所成的角 （2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可 （3）如图丙中，作点N关于AD的对称点K， 连接MK交AD于P， 连接PN，此时PM+PN 的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJNK于J利用勾股定理求出MK即 可 【解答】解：（1）如图 1 中，连接BC AB
43、BCAC， ABC是等边三角形， BAC60， ACAC， CAB是两条直线AC与BA所成的角， 两直线BA与AC所成角为 60 （2）观察图形可知，图形丙是图 2 的展开图， 故答案为：丙 如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN 的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJNK于J 由题意在 RtMKJ中，MJK90，MJ5+38，JK8（42）6， MK10， PM+PN的最小值为 10 5. （2021 山东省威海市）山东省威海市）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异 侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同
44、一条直线上，折痕为GH若 AEFAB2cm ，纸片宽，则HE_cm 【答案】 1 sincos 【解析】 【分析】根据题意，证明四边形是平行四边形，运用的正弦和余弦的关系， GHEFAEF 求出HE 【详解】如图，分别过作， 垂足分别为 G、EGMHE,ENGHM、N GM 则 2 AEFFEP 根据题意，因为折叠，则 四边形ABCD是矩形 GF/HE GFE GFGE 同理 HEGE GHEF 四边形是平行四边形 GHE ENGHHEGE ， 1 HNNGHG 2 GM sinGHMsin HG 2 HG sin HN RtHNEcosNHE=cos 中， HE HE HN cos = 11 HG sin 1 2 coscossincos 1 故答案为： sincos 6. （2021 深圳）深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位 （1）过直线m作四边形ABCD的对称图形； （2）求四边形ABCD的面积 【解答】 （1）如图所示： （2）S8
