1、20212021 年高考真题和模拟题分类汇编年高考真题和模拟题分类汇编 数数学学 专题专题 1111 直线与圆直线与圆 一、选择题部分 1.(2021新高考全国卷T11)已知点P在圆 22 5516xy上，点4,0A、 0,2B，则（） A. 点P到直线AB的距离小于10B. 点P到直线AB的距离大于2 C. 当PBA最小时，3 2PB D. 当 PBA最大时，3 2PB 【答案】ACD 【解析】圆 22 5516xy的圆心为5,5M，半径为4， 直线AB的方程为1 42 xy ，即240 xy， 圆心M到直线AB的距离为 22 52 541111 5 4 55 12 ， 所以，点P到直线AB
2、的距离的最小值为11 5 42 5 ，最大值为11 5 410 5 ，A 选项正 确； 如下图所示： 当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PMPB， 22 052534BM ，4MP ，由勾股定理可得 22 3 2BPBMMP ，CD 选项正确. 故选 ACD. 2.(2021江苏盐城三模T3)同学们都知道平面内直线方程的一般式为 AxByC0，我们可 以这样理解：若直线 l 过定点 P0(x0，y0)，向量n(A，B)为直线 l 的法向量，设直线 l 上任意 一点 P(x，y)，则n P0P0，得直线 l 的方程为，即可转化为直线方程的一般式类似地，在 空间中，若平面过
3、定点 Q0(1，0，2)，向量m(2，3，1)为平面的法向量，则平面的 方程为 A2x3yz40B2x3yz40 C2x3yz0D2x3yz40 【答案】C 【考点】新情景问题下的直线方程的求解 【解析】由题意可知，平面的方程为 2(x1)3(y0)1(z2)0，化简可得，2x3yz 0，故答案选 C 3.(2021河南焦作三模理 T9)已知曲线 y与直线 kxy+k10 有两个不同的 交点，则实数 k 的取值范围是（） ABCD 【答案】A 【解析】由曲线 y，得（x2）2+y21（y0），是以（2，0）为圆心半径 为 1 的上半个圆， 直线 kxy+k10 过点 D（1，1），如图， 过
4、D（1，1）与 A（1，0）两点的直线的斜率 k； 设过（1，1）且与圆（x2）2+y21 相切的直线方程为 y+1k（x+1）， 即 kxy+k10 由1，解得 k0 或 k 要使曲线 y与直线 kxy+k10 有两个不同的交点， 则实数 k 的取值范围是： 4.(2021河北张家口三模T4) “a0” 是 “点 （0， 1） 在圆 x2+y22ax2y+a+10 外” 的 （） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】将 x2+y27ax2y+a+13 化为标准方程，得（xa）2+（y1）3a2a当点 （0，1）在圆 x2+y22ax5y
5、+a+10 外时，有解得 a1 所以“a3”是“点（0，1）”在圆 x7+y22ax2y+a+10 外”的必要不充分条件 5.(2021山东聊城三模T4.)已知直线 ?欧? ? ? ，? ? ? ? ? 圆 ?欧? ? ? ? ? 则“ ? ? ? ”是“ ? 与 ? 相切”的（） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与圆的位置关系 【解析】 【解答】圆 ?欧? ? ? ? ? 的圆心为?，半径 ? ?， 由直线 ? 和 ? 相切可得：圆心到直线的距离 ? ? ? ? ?， 解得 ? ? ?
6、 ? ?，解得 ? ? 或 ? ? ?， 故 ? ? 是 ? ? 或 ? ? ?的充分不必要条件，故答案为：B. 【分析】根据直线与圆相切的性质解得 ? ? 或 ? ? ?，再由充分必要条件即可判断 B 正确。 6.(2021江西南昌三模理 T12)已知直线 l：xy+40 与 x 轴相交于点 A，过直线 l 上的动 点 P 作圆 x2+y24 的两条切线，切点分别为 C，D 两点，记 M 是 CD 的中点，则|AM|的最 小值为（） AB CD3 【答案】A 【解析】由题意设点 P（t，t+4），C（x1，y1），D（x2，y2）， 因为 PD，PC 是圆的切线，所以 ODPD，OCPC，
7、所以 C，D 在以 OP 为直径的圆上，其圆的方程为， 又 C，D 在圆 x2+y24 上，将两个圆的方程作差得直线 CD 的方程为：tx+（t+4）y40， 即 t（x+y）+4（y1）0，所以直线 CD 恒过定点 Q（1，1）， 又因为 OMCD，M，Q，C，D 四点共线，所以 OMMQ， 即 M 在以 OQ 为直径的圆上，其圆心为，半径为 ，如图所示 所以|AM|min|AO|r2， 所以|AM|的最小值为 7.(2021四川内江三模理 T10)已知直线 l：ym（x2）+2 与圆 C：x2+y29 交于 A，B 两 点，则使弦长|AB|为整数的直线 l 共有（） A6 条B7 条C8
8、条 D9 条 【答案】C 【解析】根据题意，直线恒过点 M（2，圆 C：x2+y69 的圆心 C 为（0，7）， 则 CM2当直线与 CM 垂直时，M 为|AB|中点2，此时直线有一条， 当直线过圆心 C 时，|AB|2r6，此时直线有一条，则当|AB|3，2，5 时， 综上，共 8 条直线 8.(2021安徽马鞍山三模文 T7)若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x+3y+30 的距离为（） AB CD 【答案】C 【解析】设圆心为（a，b），由已知得， 解得 a1，b1，或 a5，b5， 所以圆心为（1，1）或（5，5） 当圆心为（1，1）时，圆心到直线 2x+3y+30
9、 的距离 d； 当圆心为 （5， 5） 时， 圆心到直线 2x+3y+30 的距离 d 9.(2021安徽蚌埠三模文 T12)已知圆 C：（x+）2+y2（p0），若抛物线 E：y2 2px 与圆 C 的交点为 A，B，且 sinABC，则 p（） A6B4C3D2 【答案】D 【解析】设 A（，y0），则 B（，y0）， 由圆 C：（x+）2+y2（p0），得圆心 C（，0），半径 r， 所以 CD+，因为ABCBAC， 所以 sinABCsinBAC，所以 cosBAC， 即，解得 y03，p2 10.(2021上海嘉定三模T13)已知直角坐标平面上两条直线方程分别为 l1：a1x+b1y
10、+c10， l2：a2x+b2y+c20，那么“0 是“两直线 l1，l2平行”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若“0 则 a1b2a2b10，若 a1c2a2c10，则 l1不平行于 l2， 若“l1l2”，则 a1b2a2b10， 0， 故“0 是“两直线 l1，l2平行的必要不充分条件 11.(2021辽宁朝阳三模T11)已知曲线 C 的方程为|x+2y|，M：（x5）2+y2r2 （r0），则（） AC 表示一条直线 B当 r4 时，C 与圆 M 有 3 个公共点 C当 r2 时，存在圆 N，使得圆 N 与圆 M 相切且圆
11、 N 与 C 有 4 个公共点 D当 C 与圆 M 的公共点最多时，r 的取值范围是（4，+） 【答案】BCD 【解析】曲线 C 的方程为|x+2y|，两边平方可得 x2+y2x2+4y2+4xy， 化为 y0 或 4x+3y0，即曲线 C 表示两条直线，故 A 错误； 当 r4 时，圆 M 的圆心为（5，0），半径为 4，圆 M 与 y0 有两个交点； 又圆心 M 到直线 4x+3y0 的距离为 d4r，所以 C 与圆 M 有 3 个公共点，故 B 正确； 当 r2 时，圆 M 的圆心为（5，0），半径 r2， 存在圆 N，圆心 N（1，0），半径为 2，圆 N 与圆 M 相切且圆 N 与
12、C 有 4 个公共点，故 C 正确； 当 C 与圆 M 的公共点最多时，且为 4 个由 r4 时，C 与圆 M 有 3 个公共点， 可得当 C 与圆 M 的公共点最多时，r 的取值范围是（4，+），故 D 正确 12.(2021江苏常数三模T7)在平面直角坐标系 xOy 中，点 Q 为圆 M：（x1）2+（y1） 21 上一动点，过圆 M 外一点 P 向圆 M 引条切线，切点为 A，若|PA|PO|，则|PQ| 的最小值为（） AB CD 【答案】C 【解析】设 P（a，b），|PA|PO|，圆心 M（1，1），r1， ， 化简可得 2a+2b10， 点 P 满足表达式 2a+2b10， 即点
13、 P 在直线 l：2x+2y10， 由题意可知，|PQ|的最小值可转化为圆心到直线 l 的距离 d 与半径的差， |PQ|dr 13.(2021宁夏中卫三模理 T9)已知圆 M 过点 A（1，1）、B（1，2）、C（3，2）， 则圆 M 在点 B 处的切线方程为（） A2x+y0B3x+2y+10C2x+3y+40Dx+2y+30 【答案】C 【解析】根据题意，设圆心 M 的坐标为（m，n）， 圆 M 过点 A（1，1）、B（1，2）、C（3，2），则点 M 在线段 AB 的垂直平分线上， 则 n，同理：点 M 在线段 BC 的垂直平分线上，则 m2， 即圆心的坐标为（2，），则 KMB，则切
14、线的斜率 k， 又由 B（1，2），则圆 M 在点 B 处的切线方程为 y+2（x1），变形可得 2x+3y+4 0 14.(2021天津南开二模T5)已知直线 l 与圆 C：x2+y26x+50 交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点坐标为 D（2，）（） A2B3C4D5 【答案】A 【解析】圆 C：x2+y23x+50 的圆心（5，0）， 直线 l 与圆 C：x2+y46x+55 交于 A，B 两点，）， 所以弦心距为：， 所以弦长|AB|为：52 15.(2021广东潮州二模T11)已知圆 C：x22ax+y2+a210 与圆 D：x2+y24 有且仅有两 条公共切线，则实数 a 的
15、取值可以是（） A3B3C2D2 【答案】CD 【解析】根据题意，圆 C：x22ax+y2+a210，即（xa）2+y21，其圆心为（a，0）， 半径 R1，D：x2+y24，其圆心 D（0，0），半径 r2， 若两个圆有且仅有两条公共切线，则两圆相交，则有 21|a|2+1，即 1|a|3， 解可得：3a1 或 1a3，分析选项可得：CD 符合 16.(2021安徽淮北二模文 T 11)已知圆 C1：x2+y22，圆 C2：（x2）2+y24若过 （0，2）的直线 l 与圆 C1、C2都有公共点，则直线 l 斜率的取值范围是（） A，1BCD 【答案】D 【解析】由题意可知，过（0，2）的直
16、线与两个圆相切，即可满足题意，就是图形中的 两条红色直线之间的部分，所以直线方程为 ykx+2，所以，解得 k1，k 1（舍去），2，解得 k，（k0 的解舍去）， 所以直线 l 斜率的取值范围是 17.(2021河南郑州二模文 T5)若直线 x+aya10 与圆 C：（x2）2+y24 交于 A，B 两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（） AB C2D3 【答案】B 【解析】直线 x+aya10 可化为：（x1）+a（y1）0，则当 x10 且 y10， 即 x1 且 y1 时，等式恒成立，所以直线恒过定点 M（1，1），设圆的圆心为 C（2，0） ， 半径 r2，当 MC直线 AB 时，|
17、AB|取得最小值，且最小值为 22 2，此时弦长 AB 对的圆心角为，所以劣弧长为2 18.(2021新疆乌鲁木齐二模文 T9)已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为 3，则其一 条边所在直线的斜率是（） A3B2CD2 【答案】B 【解析】根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为 k， 正方形的对角线与四边的夹角都为 45，则有 tan451， 解可得：k或2 二、填空题部分 19.(2021上海嘉定三模T11)若圆 O 的半径为 2，圆 O 的一条弦 AB 长为 2，P 是圆 O 上任 意一点，点 P 满足，则的最大值为 【答案】10 【解析】【法一：建系法】如图以 AB 中点 C 为原点
18、建系，则 ，所以圆 O 方程为， 所以设，Q（x0，y0）， 因为， 所以， 所以， 因为 cos1，1，所以的最大值为 10 【法二：投影法】连接 OA，OB 过点 O 作 OCAB，垂足为 C， 则 ， 因为，所以Q 所以， 且仅当且同向时取等号，的最大值为 10 20.(2021上海浦东新区三模T9)若直线 3x+4y+m0 与曲线（为参数）没 有公共点，则实数 m 的取值范围是 【答案】m10 或 m0 【解析】曲线（为参数）表示的是以（1，2）为圆心，1 为半径的圆， 由于直线 3x+4y+m0 与圆没有公共点， 所以圆心（1，2）到直线的距离 d， 整理得：|m5|5，解得 m10
19、 或 m0 21.(2021湖南三模T15)直线 l：（2a1）x+（a3）y+43a0 与圆（x2）2+y29 相 交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为；此时 a 【答案】； 【解析】直线 l：（2a1）x+（a3）y+43a0 恒过定点（1，1）， 当圆心与点（1，1）的连线与直线 AB 垂直时，弦长|AB|最小， 圆心（2，0）与点（1，1）间的距离为，半径为 3， 弦长|AB|的最小值为 圆心（2，0）与点（1，1）连线的斜率为，此时直线 l 的斜率为 1， 由，解得 a 22.(2021河北邯郸二模理 T14)直线 l1：x+ay20（aR）与直线 l2：平行，则 a，l1与 l
20、2的距离为 【答案】， 【解析】根据题意，直线 l2：，即 3x4y40， 若直线 l1与直线 l2平行，则有 1（4）3a，解可得 a， 当 a时，直线 l1：xy20，即 3x4y60， 直线 l1与直线 l2平行，符合题意，故 a， 此时两直线间的距离 d 23.(2021河北秦皇岛二模理 T13)已知直线 x+y50 与圆 C：（x2）2+（y1）24 相交于 A，B 两点，则ABC 面积为 【答案】2 【解析】圆 C：（x2）2+（y1）24 的圆心坐标为 C（2，1），半径 r2， 圆心 C 到直线 x+y50 的距离 d， 直线 x+y50 被圆 C：（x2）2+（y1）24 截
21、得的弦长为|AB| ABC 面积为 S 24.(2021北京门头沟二模理 T7)点 ?cos?sin?到直线 ? ? ? ? ? 的距离的取值范围 为? A.? ? ? ? ?t ? ?B.? t ? ? ? ? ?C.? t ? ?t ? ?D.? ? ? ? ? ? ? 【答案】C 【解析】记 d 为点 ?cos?sin?到直线 ? ? ? ? ? 的距离， 即：? ? ? ? ?cos? ? sin? ? ? ? ? ? ?sin? ? ? ?，其中 tan? ? ? ?； 当?变化时，d 的最大值为?t ? ，d 的最小值为t ?，故选：?t 利用点到直线的距离公式，三角函数的性质可得答案 本题考查的知识点是点到直线的距离公式，三角函数的性质，属于基础题
