1、20212021 年高考真题和模拟题分类汇编年高考真题和模拟题分类汇编 数数学学 专题专题 1515 推理与证明推理与证明 一、选择题部分 1.(2021贵州毕节三模文 T9)如图，有甲、乙、丙三个盘子和放在甲盘子中的四块大小不 相同的饼，按下列规则把饼从甲盘全部移到乙盘中：每次只能移动一块饼；较大的饼 不能放在较小的饼上面，则最少需要移动的次数为（） A7B8C15D16 【答案】C 【解析】假设甲盘中有 n 块饼，从甲盘移动到乙盘至少需要 an次，则 a11， 当 n2 时，可先将较大的饼不动，将剩余的 n1 块饼先移动到丙盘中，至少需要移动 an 1次， 再将最大的饼移动到乙盘，需要移动
2、 1 次， 最后将丙盘中所有的丙移动到乙盘中，至少需要移动 an1次， 由上可知，an2an1+1，且 a11， 所以 a22a1+13，a32a2+17，a42a3+115， 则最少需要移动的次数为 15 次 2.(2021贵州毕节三模文 T5)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、 乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、 未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字 开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、 癸酉，甲戌、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得
3、到 60 个组 合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么 2015 年是“干支纪年法”中的（） A甲辰年B乙巳年C丙午年D乙未年 【答案】D 【解析】由题意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”， 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”， 2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年， 则 2020 年为庚子，2019 年为己亥，2018 年为戊戌，2017 年为丁酉，2016 年为丙申，2015 年为乙未 3.(2021江西九江二模理 T9)古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视 数的理论研究，他们常
4、把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研 究形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之 一如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列an，四边形数组成数列 bn，记 cn，则数列cn的前 10 项和为（） AB CD 【答案】D 【解析】由题意可得， 所以， 设数列cn的前 n 项和为 Sn， 所以， 所以 4.(2021山东潍坊二模T6)关于函数 f（x），其中 a，bR，给出下 列四个结论： 甲：6 是该函数的零点； 乙：4 是该函数的零点； 丙：该函数的零点之积为 0； 丁：方程 f（x）有两个根 若上述四个结论中有且只有
5、一个结论错误，则该错误结论是（） A甲B乙C丙 D丁 【答案】B 【解析】当 x0，2时，f（x）2xa 为增函数， 当 x2，+）时，f（x）bx 为减函数，故 6 和 4 只有一个是函数的零点， 即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙、丁均正确 由两零点之积为 0，则必有一个零点为 0，则 f（0）20a0，得 a1， 若甲正确，则 f（6）0，即 b60，b6， 可得 f（x），由 f（x）， 可得或，解得 x或 x，方程 f（x）有两个根，故丁 正确 故甲正确，乙错误 二、填空题部分 5.(2021山西调研二模文 T14)某校团委为高三学生筹备十八岁成人礼策划了三种活动方案， 分别
6、记作 A、B、C，为使活动开展得更加生动有意义，现随机调查甲、乙、丙三位同学对三种 活动方案的喜欢程度.甲说：“我不喜欢方案 A，但喜欢的活动方案比乙多.”乙说：“我不喜欢方 案 ?”丙说：“我们三人都喜欢同一种方案”.由此可以判断乙喜欢的活动方案是_ . 【答案】C 【解析】从丙的说法中推测乙肯定有喜欢的方案， 从甲的说法中推测甲喜欢 2 种方案，不喜欢方案 A，那么可以确定是 B 和 C， 再从乙的说法中可知，乙只喜欢一种方案，是方案 C， 故答案为：? 根据三个人所说内容， 可以推断出乙只喜欢一种方案， 又丙说： “我们三人都喜欢同一种方案”， 所以可以判断乙喜欢的活动方案 本题主要考查
7、了简单的合情推理，考查了学生的逻辑推理能力，是基础题 6.(2021山东聊城三模T13.)数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列， 是意大利著名数学家斐波那契于 1202 年在他写的算盘全书提出的，该数列的特点是：从 第三起，每一项都等于它前面两项的和在该数列的前 2021 项中，奇数的个数为_ 【答案】1348 【考点】进行简单的合情推理 【解析】 【解答】由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每 3 个数中前两个为奇数后一个偶 数，? ? 的整数部分为 673，余数为 2， 该数列的前 2021 项中共有 673 个偶数，奇数的个数为 ? ? ? ? . 故答案为：
8、1348 【分析】由斐波那契数列的特点经过推理即可求得 三、解答题部分 7.(2021高考全国甲卷理 T18) 已知数列 n a的各项均为正数，记 n S为 n a的前 n 项和， 从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立 数列 n a是等差数列：数列 n S是等差数列； 21 3aa 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 【解析】选作条件证明时，可设出 n S，结合, nn aS的关系求出 n a，利用 n a是等差 数列可证 21 3aa； 选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出 n S，结合等差数列定义可证； 选作条件证明时， 设出 n Sanb， 结合, nn aS
9、的关系求出 n a， 根据 21 3aa可求b， 然后可证 n a是等差数列. 选作条件证明： 设(0) n Sanb a，则 2 n Sanb， 当1n 时， 2 11 aSab； 当2n 时， 22 1nnn aSSanbanab 22aanab； 因为 n a也是等差数列，所以 2 22abaaab，解得0b ； 所以 2 21 n aan，所以 21 3aa. 选作条件证明： 因为 21 3aa， n a是等差数列， 所以公差 211 2daaa， 所以 2 11 1 2 n n n Snadn a ，即 1n Sa n， 因为 1111 1 nn SSana na ， 所以 n S是
10、等差数列. 选作条件证明： 设(0) n Sanb a，则 2 n Sanb， 当1n 时， 2 11 aSab； 当2n 时， 22 1nnn aSSanbanab 22aanab； 因为 21 3aa，所以 2 323aabab，解得0b 或 4 3 a b ； 当0b 时， 22 1 ,21 n aaaan，当2n 时， 2 -1 -2 nn a aa满足等差数列的定义，此 时 n a为等差数列； 当 4 3 a b 时， 4 = 3 n Sanb ana， 1 0 3 a S 不合题意，舍去. 综上可知 n a为等差数列. 8.(2021江苏盐城三模T18)请在；这 3 个条件中选择
11、1 个条件，补全下面的命题使 其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前 1 个评分) 命题：已知数列an满足 an1an2，若，则当 n2 时，an2n恒成立 【考点】数列的通项公式求解与不等式的证明 【解析】选 证明：由 an1an2，且，所以 an0， 所以 lgan1lgan，lgan2n1lg2，an22 n1 ，5 分 当 n2 时，只需证明2n1n， 令 bn n 2n1 ，则 bn1bnn1 2n n 2n1 1n 2n 0，10 分 所以 bnb21，所以2n1n 成立 综上所述，当 a12 且 n2 时，an2n成立12 分 注：选为假命题，不得分，选参照给
12、分 9.(2021河南开封三模理 T17)已知数列an满足 a12，an+12an+4 （1）求 a2，a3，a4； （2）猜想an的通项公式并加以证明； （3）求数列|an|的前 n 项和 Sn 【解析】（1）由已知，易得 a20，a34，a412 （2）猜想 因为 an+12an+4，所以 an+1+42（an+4）， 则an+4是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以，所以 （3）当 n1 时，a120，S1|a1|2； 当 n2 时，an0， 所以 ， 又 n1 时满足上式 所以，当 nN*时， 10.(2021浙江杭州二模理 T20)已知数列an，bn，满足 an2n 2，
13、b2k 1ak（kN*）， b2k1，b2k，b2k+1成等差数列 （1）证明：b2k是等比数列； （2）数列cn满足 cn，记数列cn的前 n 项和为 Sn，求 Sn 【解答】证明：（1）由数列an，bn，满足 an2n 2，b2k 1ak（kN*）， 所以， 由于 b2k1，b2k，b2k+1成等差数列 故， 整理得（常数）， 所以数列：b2k是以为首项，公比为 2 的等比数列； （2）由于：b2k是以为首项，公比为 2 的等比数列； 所以， 则2n 3， 所以 （n1）， 则+， 11.(2021浙江丽水湖州衢州二模T20)已知数列an是各项均为正数的等比数列，若 a12， a2+a3是
14、 a3与 a4的等差中项数列bn的前 n 项和为 Sn，且 Sn+2an2求证： （）数列anbn是等差数列； （）+2（1） 【解答】证明：（）数列an是各项均为正数的等比数列，若 a12，a2+a3是 a3与 a4的 等差中项， 由已知 a3+a42（a2+a3）， 整理得 a4a32a20 设数列an的公比为 q，则 q2q20， 解得 q2 或1（负值舍去） 故 由 Sn+2an2 当 n1 时，解得 b11， 当 n2 时， 得：， 解得 所以 anbnn， 故（anbn）（an1bn1）1（常数）， 故数列anbn是等差数列 （）由于， 数列anbn是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， 则：anbn1+（n1）n， 所以， 根据不等式， 所以2， 由于， 所以+2（1）成立
