1、专练 47抛物线 考查抛物线的定义、标准方程及几何性质. 基础强化 一、选择题 1抛物线 y1 4x 2的焦点到其准线的距离为( ) A1B2 C.1 2D. 1 8 2已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为() A(1,0)B(1,0) C(0，1)D(0,1) 3动点 M 到点 F(2,1)的距离和到直线 l：3x4y100 的距离相等，则动点 M 的轨迹 为() A抛物线 B直线 C线段 D射线 4若抛物线 y22px 的焦点与双曲线x 2 3 y21 的右焦点重合，则 p 的值为() A4B4 C2D2 5若抛物线 y22px(p0)上横坐标为 6
2、 的点到此抛物线焦点的距离为 10，则该抛物线的 焦点到准线的距离为() A4B8 C16D32 6若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x 2 3p y2 p 1 的一个焦点，则 p() A2B3 C4D8 7. 如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC| 2|BF|，且|AF|4，则抛物线的方程为() Ay28x By24x Cy22x Dy2x 8设坐标原点为 O，抛物线 y22x 与过焦点的直线交于 A，B 两点，则OA OB 等于() A.3 4B 3 4 C3D3 9已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，过
3、点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点， 过点 A 作准线 l 的垂线， 垂足为 E， 当 A 点坐标为(3， y0)时， AEF 为正三角形， 则此时OAB 的面积为() A.4 3 3 B. 3 C.2 3 3 D. 3 3 二、填空题 102021全国新高考卷已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQOP，若|FQ|6，则 C 的准线方程为 _ 11过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若 x1x26， 则|PQ|_. 12已知直线 ykx2
4、 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k 的值为_ 能力提升 132020全国卷已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p() A2B3 C6D9 14抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的 对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛 物线 y24x 的焦点为 F，一条平行于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射 后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则ABM 的周长为() A.71 12 26B9 26 C9 10D
5、.83 12 26 15已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，抛物线 C 有一点 P，过点 P 作 PMl，垂足为 M，若等边PMF 的面积为 4 3，则 p_. 16过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 60的直线，与抛物线分别交于 A，B 两 点(点 A 在 x 轴上方)，则|AF| |BF|_. 专练专练 47抛物线抛物线 1By1 4x 2可化为 x24y，则焦点到准线的距离为1 242. 2By22px 的准线为 xp 2，又准线过点(1,1)， p 21，p2，故其焦点 坐标为(1,0) 3BF(2,1)在直线 l：3x4y100 上，动点 M
6、的轨迹为过点 F 且与直线 l 垂直 的直线 4Bx 2 3 y21 的右焦点为(2,0)，p 22，p4. 5B由抛物线的定义知，6p 210， p 24，p8，抛物线的焦点到准线的距离为 p 8. 6 D由题意， 知抛物线的焦点坐标为 p 2，0， 椭圆的焦点坐标为( 2p， 0)， 所以p 2 2p， 解得 p8，故选 D. 7B 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，交准线于点 E，D，设准线与 x 轴交于点 G，设|BF| a，则由已知得|BC|2a，由定义得|BD|a，故BCD30，在 RtACE 中， |AF|4，|AC|43a， 2|AE|AC|，43a8，从而得 a4 3，A
7、EFG， FG AE CF AC，即 p 4 4 8，得 p2. 抛物线方程为 y24x.故选 B. 8B 当 AB 与 x 轴垂直时，A 1 2，1，B 1 2，1，OA OB 1 2 1 21(1) 3 4； 当 AB 与 x 轴不垂直时， 设 l：yk x1 2 ， 由 yk x1 2 ， y22x， 得 k2x2(k22)xk 2 4 0 由韦达定理得 x1x2k 22 k2 ，x1x21 4， OA OB x1x2y1y2x1x2k2 x11 2 x21 2 (1k2)x1x21 2k 2(x1x2)k2 4 3 4. 9A不妨设点 A 在第一象限，如图所示，过点 F 作 AE 的垂
8、线，垂足为 H，由题知当 A 的坐标为(3，y0)时AEF 为正三角形，此时 H 为 AE 的中点，|AE|3p 2，|EH|p，2p3 p 2，解得 p2，y 24x，A(3,2 3)，F(1,0)，kAF 3，直线 AF 的方程为 y 3(x1)， 代入抛物线方程得 3(x1)24x.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得 x13，x21 3，此时 y 12 3， y22 3 3 ，SAOBSOFBSOFA1 21 2 3 3 2 3 4 3 3 ，故选 A. 10 x3 2 解析：抛物线 C：y22px (p0)的焦点 F p 2，0， P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，
9、所以 P 的横坐标为p 2，代入抛物线方程求得 P 的纵坐标为p， 不妨设 P(p 2，p)， 因为 Q 为 x 轴上一点，且 PQOP，所以 Q 在 F 的右侧， 又|FQ|6， Q(6p 2，0)，PQ (6，p) 因为 PQOP，所以PQ OP p 26p 20， p0，p3， 所以 C 的准线方程为 x3 2. 118 解析：|PQ|PF|QF|x11x21x1x22628. 120 或 1 解析：由 ykx2， y28x， 得 k2x2(4k8)x40， 若 k0，满足题意；若 k0，则(4k8)244k20，得 k1.综上得 k0 或 k1. 13C设焦点为 F，点 A 的坐标为(
10、x0，y0)， 由抛物线定义得|AF|x0p 2， 点 A 到 y 轴距离为 9，x09， 9p 212， p6.故选 C. 14B令 y1，得 x1 4，即 A 1 4，1. 由抛物线的光学性质可知 AB 经过焦点 F，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，代入 y24x. 消去 y，得 k2x22(k22)xk20.则 xAxB1，所以 xB 1 xA4. |AB|xAxBp25 4 . 将 x4 代入 y24x 得 y4，故 B(4，4) 故|MB| 432412 26. 故ABM 的周长为|MA|MB|AB| 31 4 2625 4 9 26. 故选 B. 152 解析：设准线 l 和 x 轴交于 N 点，PM 平行于 x 轴，PMFMFN60，由抛物线的 定义得到|NF|p，故|MF|2p，故 3 4 (2p)24 3，p2. 故答案为 2. 163 解析： 如图所示，由题意得准线 l：xp 2.作 ACl 于点 C，BDl 于点 D，BHAC 于点 H， 则|AF|AC|，|BF|BD|，|AH|AC|BD|AF|BF|，因为在 RtAHB 中，HAB60， 所以 cos60|AH| |AB| |AF|BF| |AF|BF|， 即1 2(|AF|BF|)|AF|BF|，得 |AF| |BF|3.
