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1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 力学全册配套完整精品课件力学全册配套完整精品课件2 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.1 质点的运动学方程质点的运动学方程 2.1.1 质点的位置矢量与运动方程质点的位置矢量与运动方程 2.1.2 位移位移位置矢量的增量位置矢量的增量 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.1 质点的运动学方程质点的运动学方程 2.1.1 质点的位置矢量与运动方程质点的位置

2、矢量与运动方程 质点质点具有一定质量，不计其形状与大小的物具有一定质量，不计其形状与大小的物 体体, 是理想模型。是理想模型。 可以将物体简化为质点的两种情况：可以将物体简化为质点的两种情况： 物体不变形物体不变形,只作平动。只作平动。 物体本身线度和它活动范围相比小得很多物体本身线度和它活动范围相比小得很多. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 建立直角坐标系建立直角坐标系 O xyz ， 令原点与参考点重合，则：令原点与参考点重合，则： k j i r zyx .,轴轴方方向向的的单单位位矢矢量量分分别别为为zyxkji x,y,z 是质点的位置坐

3、标是质点的位置坐标. 位置矢量的大小为：位置矢量的大小为： 222 zyxrr 位置矢量位置矢量由原点由原点( (参考点参考点) )引向质点位置的引向质点位置的有向有向线段线段. . 如图：如图： 1.位置矢量位置矢量 .表示表示用用rpo z x y O Pr 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 位矢方向位矢方向: r z cos r x cos r y cos 1coscoscos 222 2. 运动方程运动方程 ktzjtyitxr )()()( 建直角坐标系建直角坐标系 O xyz ,令原点与参考点重合，则：令原点与参考点重合，则： 运动方程运

4、动方程质点的位置随时间变化的函数方程质点的位置随时间变化的函数方程 )(trr 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 标量式标量式 x = x(t) y = y(t) z = z(t) 等等 2 0 2 1 attvx 轨迹方程轨迹方程质点在运动过程中描出的曲线方程质点在运动过程中描出的曲线方程. 0 6 sin2 6 cos2 ztytx如如： 在运动方程中消去在运动方程中消去 t 就是轨迹方程，就是轨迹方程， 0 4 22 zyx f=f(x,y,z) 3. 轨迹方程轨迹方程 如如 如果在平面如果在平面xoy上运动，则上运动，则x = x(t) y

5、= y(t) z = 0 如果在平面如果在平面xoy上运动，则上运动，则y = y(x) z = 0 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题21从原点在竖直平面内以相同的初速度向各个方从原点在竖直平面内以相同的初速度向各个方 向投出许多质点。求证：向投出许多质点。求证： （1）当这些质点从发射开始，）当这些质点从发射开始，经过任意相同的时间之后，都经过任意相同的时间之后，都 处在同一个圆周上处在同一个圆周上； （2）它们的）它们的最高点位于同一个椭圆上最高点位于同一个椭圆上。 0 v 证明：以投出的第证明：以投出的第i个质点为研究对象，选出射点为

6、坐标原点，个质点为研究对象，选出射点为坐标原点， 取水平方向为取水平方向为x轴，竖直方向为轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，则第轴，建立直角坐标系，则第i 个质点的运动方程为：个质点的运动方程为： 2 00 2 1 )sin(,)cos(gttvytvx iiii （1）消去发射角，可得）消去发射角，可得 2 0 222 )() 2 1 (tvgtyx ii 故任一质点在发射至经过时间故任一质点在发射至经过时间t后位于圆心坐标是后位于圆心坐标是 ，半径为的圆周上，半径为的圆周上) 2 1 ,0( 2 gttv0 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 （

7、2）第）第i个质点在最高点处所需时间为，个质点在最高点处所需时间为， 它在最高点处的坐标是：它在最高点处的坐标是： g v t i sin 0 g v x i i 2 2sin 2 0 g v y i i 2 sin2 2 0 消去发射角，可得消去发射角，可得 1 )4/( )4/( )2/( 22 0 22 0 22 0 2 gv gvy gv x ii 故各个质点的最高点位于同一个椭圆上。故各个质点的最高点位于同一个椭圆上。 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.1.2 位移位移位置矢量的增量位置矢量的增量 1. 位移位移 位移位移是由初位置引是

8、由初位置引 向末位置的矢量向末位置的矢量. . )()(trttrr 在直角坐标系中坐标分解式：在直角坐标系中坐标分解式： kzj yi xr y x P )(ttr Q O r ( ) r t 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 路程路程 质点经过的路径的总长度质点经过的路径的总长度. 如图：如图： 2. 路程路程 位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量. 321 SSS 问题问题 二者何时相同？二者何时相同？ 同同r Q r P p r Q r O 2 s 1 s 3 s 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回

9、回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题1一质点在一质点在xOy平面内依照平面内依照 x = t 2 的规律沿曲线的规律沿曲线 y = x3 / 320 运动运动,求质点从第求质点从第2 秒末到第秒末到第 4 秒末的位移秒末的位移 (式中式中 t 的单位为的单位为s；x，y的单位为的单位为cm)。 解解 )()(trttrr ji 6 .1212 (cm) jyyixx )()( 1212 )()()()(jtyitxjttyittx jtyttyitxttx )()()()( j tt itt ) 320320 ()( 6 1 6 22 1 2 2 ji ) 320 2 320 4

10、()24( 66 22 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 cm 4 .17cm )6 .12(12 22 r 与水平轴夹角与水平轴夹角 4 .46 arctan x y 问题问题 位移与参考系的选择有关吗？位移与参考系的选择有关吗？ 思考题：思考题： 2.1 作业：作业： P55 2.1.2 2.1.3 比较比较 ， 和和 r r r 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量 2.2.1 平均速度与瞬时速度平均速度与瞬时速度 2.2.2 平均加速度与

11、瞬时加速度平均加速度与瞬时加速度 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量 2.2.1 平均速度与瞬时速度平均速度与瞬时速度 t r v t r v _ 为路程为路程s t s v 0 1.平均速度平均速度 相相同同方方向向与与r , _ 是是矢矢量量v 平均速率平均速率 O P Q )(tr )(ttr 定义定义 大小为大小为 .于时间的不均匀性不能反映位移变化相对v r 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2. 瞬时速度瞬时速度(简称速度简称速度)

12、 vv t 0 lim 是是矢矢量量，v 方向：质点运动路径的切向方向：质点运动路径的切向. t r vv d d t r t 0 lim)( d d tr t r 瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态. 定义定义 大小：大小： P 1 r Q v r d 4 r Q 3 r Q 2 r Q 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 瞬时速率瞬时速率(简称速率简称速率) lim 0 t r v t d d lim 0 t s t s t 是路程是路程s k t z j t y i t x kvjvivv zyx d

13、 d d d d d 在直角坐标系中的分解式在直角坐标系中的分解式 v vz v cos v vx v cos v v y v cos 222 | zyx vvvvv t r d d 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 k tj t r v 1015 d d )1( ktj tir 2 51510 例题例题1某质点的运动学方程为某质点的运动学方程为 求求:（1）t = 0,1s时质点的速度矢量时质点的速度矢量; （2）t =0到到t =1s质点的平均速度质点的平均速度; （3）t =0,t =1s时的瞬时速率时的瞬时速率. 大小大小 22 )10(15

14、tvv 解解 (单位单位m,s) y z O )(tv )0(v (单位单位m/s , s) 2 100225t 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 m/s 15 v m/s 135 v 方向方向 v t v vz10 cos 0 0 cos vv vx vv v y 15 cos t =0时时, t =1s时时, 0cos, 1cos, 0cos 555. 0 13 2 cos,832. 0 13 3 cos, 0cos (m/s) 515 01 )10()51510( )2( 01 01 kj ikji tt rr v 求：求：t = 0,1s时质

15、点的速度矢量时质点的速度矢量 求：求：t =0到到t =1s质点的平均速度质点的平均速度 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 t r t r v t 0 lim d d )3( m/s 5 16 m/s 250 550 v )5()15(10( d d 2222 tt t t =0 时时, v =0 t =1 s时时, 求：求：t =0,t =1s时的瞬时速率时的瞬时速率 请问：以上计算是否正确？请问：以上计算是否正确？ ktj tir 2 51510 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 )(ttvb 1.平均

16、加速度平均加速度 t v a .方向不同方向不同与与vv v 方方向向同同 注意注意: )(tva )(ttvb v 说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或 哪一段位移中的平均加速度哪一段位移中的平均加速度. 一般一般 2.2.2 平均加速度与瞬时加速度平均加速度与瞬时加速度 定义定义 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2. 瞬时加速度（简称加速度）瞬时加速度（简称加速度） t v t v a t d d lim 0 .,方方向向不不同同与与一一般般是是矢矢量量vaa 2 2 d d ) d d ( d d

17、t r t r t 定义定义 k t v j t v i t v a z y x d d d d d d kajaia zyx k t z j t y i t x 2 2 2 2 2 2 d d d d d d 222 | zyx aaaaa 直角坐标中直角坐标中 a az a cos a ax a cos a a y a cos 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 ktj tir 2 51510 例题例题2某质点的运动学方程为某质点的运动学方程为 求质点的加速度矢量求质点的加速度矢量. (单位单位m,s) 解解 t v a d d k t r 10

18、d d 2 2 a =10 m/s2 方向沿方向沿 z 轴轴. 作业：作业： P55 2.2.2 2.2.6 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.3 质点直线运动质点直线运动 从坐标到速度和加速度从坐标到速度和加速度 2.3.1 运动学方程运动学方程 2.3.2 速度和加速度速度和加速度 2.3.3 匀速与匀变速直线运动匀速与匀变速直线运动 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.3 质点直线运动质点直线运动 从坐标到速度和加速度从坐标到速度和加速度 2.3.1 运动学方程运动学方程 以质点运动直线为坐标轴

19、，则质点运动学方程为以质点运动直线为坐标轴，则质点运动学方程为 x = x ( t ) O xPQ x(t) x(t + t ) itxtrr )()( 标量式标量式 btax 2 ctbtax t xx e 0 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 瞬时速度瞬时速度 2.3.2 速度和加速度速度和加速度 t x vv x d d 瞬时加速度瞬时加速度 2 2 d d d d t x t v aa x x 瞬时速率瞬时速率 t x v d d t O x P v-t曲线某点切线的斜率等于曲线某点切线的斜率等于 相应时刻的加速度相应时刻的加速度. t O

20、v P Q x-t曲线某点切线的斜率等于曲线某点切线的斜率等于 相应时刻的速度相应时刻的速度. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 t O x 1 2 )(txx t O v 2 1 )(tvv xx 1 tan 2 tan t O a )(taa xx 1 tan 2 tan 可由质点的可由质点的 x-t 图图 画出质点的画出质点的 vx-t 图，根图，根 据质点据质点 vx-t 曲线画出曲线画出 ax-t 曲线曲线. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.3.3 匀速与匀变速直线运动匀速与匀变速直线运动

21、已知已知 x = x ( t ) 则则 t x vx d d 若质点作若质点作匀速匀速直线运动直线运动 vx=常量常量 tvxtx x 0 )( 初始条件初始条件 t = t0=0 x = x0 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 若质点作若质点作匀变速匀变速直线运动直线运动 tavtv xx 0 )( 2 00 2 1 )(tatvxtx xx （1、2）两式中消去）两式中消去 t 同理同理 x a t v a d d 初始条件初始条件 xx vvtt 00 0 t x vx d d ax = 常量常量 （1） （2） )(2 0 22 0 xxav

22、v xx x 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例例题题1 一质点沿一质点沿 x 轴作直线运动，其位置与时间的关轴作直线运动，其位置与时间的关 系为系为 x = 10 + 8 t 4 t2 (单位单位m,s), 求：求： （1）质点在第一秒和第二秒内的平均速度）质点在第一秒和第二秒内的平均速度. （2）质点在）质点在t = 0、1、2s时的速度时的速度. 解解 时时刻刻）（ 1t 2 )( 4)( 810)( ttttxxtt 时时刻刻 2 )(488 ttttxt 内内位位移移为为 tt t x v x 488 2 4810ttx 上上 页页下下

23、页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 sm4m/s)488( 21 v sm 4m/s)408( 10 v 轴正向相反与时，xvst m/s 82 2 t t x v x 88 d d 2 ）（ 轴轴正正向向相相同同与与xv m/s 8 0 0 s1 1 此时转向此时转向 vt 方向与方向与x轴正向相同轴正向相同 . 轴正向相反轴正向相反方向与方向与 x 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例例题题24离水面高度为离水面高度为h的岸上有人用绳拉船靠岸。的岸上有人用绳拉船靠岸。 人以恒定速率人以恒定速率v0拉绳，求当船离岸的拉绳，

24、求当船离岸的距离为距离为s时，船的时，船的 速度和加速度。速度和加速度。 0 v x l o h 解：建立如图坐标系，船的位置用解：建立如图坐标系，船的位置用x来表示，由图可知来表示，由图可知 存在一个几何关系：。船的速度和加速度存在一个几何关系：。船的速度和加速度 为：为： 22 hlx dt dv a dt dx v, 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 0 v dt dl s sh v hl lv hl dt dl l dt dx v 22 0 22 0 22 2 2 3 22 0 s hv dt dv a 利用利用，故船的速度为：故船的速度为：

25、 船的加速度大小是：船的加速度大小是： 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题2将真空长直管沿竖直方向放置将真空长直管沿竖直方向放置.自其中自其中O点向上点向上 抛小球又落至原处所用的时间为抛小球又落至原处所用的时间为t2. 在小球运动过程中在小球运动过程中 经过比经过比O点高点高h处处,小球离开小球离开h处至又回到处至又回到h处所用时间为处所用时间为 t1.现测得现测得t1、t2和和h，试决定重力加速度，试决定重力加速度g. 解解 t O y 1 t 2 t h 建坐标系如图建坐标系如图, 2 00 2 1 gttvyy y 测测t2时，时，y

26、0=0，v0y=v2，y=0，有，有 2 222 2 1 00gttv 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 又又 ghvv2 2 1 2 2 以上三式联立得以上三式联立得 2 1 2 2 8 tt h g 测测t1时小球经时小球经h向上的速度为向上的速度为v0y=v1，有，有 2 111 2 1 gttvhh 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题33 云室、气泡室和发光室是记录带电粒子径迹的仪器，云室、气泡室和发光室是记录带电粒子径迹的仪器， 它们是原子核物理和粒子物理研究的基本设备。在云室中，它们是原

27、子核物理和粒子物理研究的基本设备。在云室中， 气体含有过饱和蒸气和酒精汽。当快速带电粒子射入云室时，气体含有过饱和蒸气和酒精汽。当快速带电粒子射入云室时， 在它所经过的路径上将产生离子，使过饱和蒸气以离子为核在它所经过的路径上将产生离子，使过饱和蒸气以离子为核 心凝结成液滴，从而可以用照相的办法记录带电粒子径迹。心凝结成液滴，从而可以用照相的办法记录带电粒子径迹。 当云室中充以不同的气体时，带电粒子的运动方程具有不同当云室中充以不同的气体时，带电粒子的运动方程具有不同 的形式。设某云室中作直线运动的带电粒子的运动方程为的形式。设某云室中作直线运动的带电粒子的运动方程为 t CCx e 21 并

28、在带电离子进入云室时开始计时，试描述该离子的并在带电离子进入云室时开始计时，试描述该离子的 运动情况。运动情况。 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 解解 t CCx e 21 t C t x v e d d 2 vC t v a t e d d 2 2 离子的初始状态为离子的初始状态为 210 CCx 20 Cv 2 20 Ca 离子的最终状态为：离子的最终状态为： 1 Cx 0 v0 a 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.3.4宇宙年龄和大小的估计宇宙年龄和大小的估计测量重力加速度测量重力加速度 例题

29、例题1根据哈勃定律根据哈勃定律 估计宇宙年龄和大小估计宇宙年龄和大小. rHv 0 解解 宇宙始于大爆炸，正在膨胀宇宙始于大爆炸，正在膨胀. 由哈勃定律得由哈勃定律得 1 00 / Hvrt km,1009. 3pc10Mpc1 196 因因 得取),Mpckm/(s 70 0 H 亿年140s104 . 4 17 0 t 设宇宙以光速膨胀设宇宙以光速膨胀,则宇宙半径不会超过则宇宙半径不会超过 Mpc103 . 4km1032. 1 km104 . 4103 323 175 0 ctR 实际上实际上,由于万有引力的牵制由于万有引力的牵制,宇宙膨胀是减速的宇宙膨胀是减速的. 上上 页页下下 页页

30、结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2012年年12月月20日，美国国家航空航天局的威尔金日，美国国家航空航天局的威尔金 森微波各向异性探测器实验团队宣布，哈勃常数森微波各向异性探测器实验团队宣布，哈勃常数 为为69.32 0.80 (km/s)/Mpc。 Bennett, C. L., et al., Nine-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Final Maps and Results., arXiv:1212.5225. December 10, 2012 Feb 3, 2

31、013 2013年年3月月21日，从普朗克卫星观测获得的数据，日，从普朗克卫星观测获得的数据， 哈勃常数为哈勃常数为67.80 0.77 千米每秒每百万秒差距千米每秒每百万秒差距 （67.80 0.77 km/s/Mpc）。）。 Ade, P. A. R.; Aghanim, N.; Armitage-Caplan, C.; et al. (Planck Collaboration). Planck 2013 results. I. Overview of products and scientific results. Astronomy Harrington, J.D. Planck Mi

32、ssion Brings Universe Into Sharp Focus. NASA. 21 March 2013 21 March 2013. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 作业： P57 2.3.4 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.4 质点直线运动质点直线运动 从加速度到速度和坐标从加速度到速度和坐标 2.4.1 从速度到运动学方程和位移从速度到运动学方程和位移 2.4.2 已知加速度求速度和运动学方程已知加速度求速度和运动学方程 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质

33、点运动学质点运动学 2.4质点直线运动质点直线运动 从加速度到速度和坐标从加速度到速度和坐标 2.4.1 从速度到运动学方程和位移从速度到运动学方程和位移 已知已知 vx 求求 x = x(t) 和和 x tvxdd t x v x d d Ctxttvx x )(d)( C为任意常数，由初始条件确定为任意常数，由初始条件确定 将初始条件将初始条件 t = t0 x = x0 代入代入(2.4.1) 式式 (2.4.1) 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 t0t 得得 )( 00 txxC )()( 00 txtxxx 根据牛顿根据牛顿-莱布尼茨公式

34、，有莱布尼茨公式，有 t t x ttvtxtx 0 )d()()( 0 所以所以 t t x ttvxx 0 )d( 0 即即 (2.4.2) 质点位移为质点位移为 t t x ttvxxx 0 )d( 0 (2.4.3) v O t 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 初始条件初始条件 给定，运给定，运 动方程便动方程便 唯一确定唯一确定. O x0 t0 x t x t x 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.4.2 已知加速度求速度和运动学方程已知加速度求速度和运动学方程 tav xx dd 已知已

35、知 ax 求求 vx = vx(t) 和和 x(t) t v ax d d x 1 )(d)(Ctvttav xxx C1为任意常数，由速度的初始条件确定为任意常数，由速度的初始条件确定 将初始条件将初始条件 t = t0 v = v0 x 代入代入(2.4.4) 式式 (2.4.4) 得得 )( 001 tvvC xx )()( 00 tvtvvv xxxx 即即 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 根据牛顿根据牛顿-莱布尼茨公式，有莱布尼茨公式，有 t t xxx ttavv 0 )d( 0 (2.4.5) t t xx ttavv 0 )d( 0

36、 由位置初始条件由位置初始条件 t = t0 x = x0 求运动学方程求运动学方程 若若 a 是常量是常量(匀变速直线运动匀变速直线运动)，得，得 tavtv xxx 0 )( 2 00 2 1 )(tatvxtx xx 两式中消去两式中消去 t )(2 0 2 0 2 2 xxavv xx 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题1 一质点沿一质点沿x轴作直线运动，其轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示，曲线如图所示， 如如t = 0时，质点位于坐标原点，求：时，质点位于坐标原点，求： t=4s 时，质点在时，质点在 x轴上的位置。轴上的位置。

37、 实际上可以用求面积的方法实际上可以用求面积的方法. m 5 . 2 2 m1)5 . 15 . 0( 2 m2) 15 . 2( x 解解 v/(ms-1) t/s -1 2 1234 1 0 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题2 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度一质点由静止开始作直线运动，初始加速度 为为a0，以后加速度均匀增加，每经过时间，以后加速度均匀增加，每经过时间后增加后增加a0， 求经过时间求经过时间 t s后质点的速度和运动的距离后质点的速度和运动的距离. t a aa 0 0 解解据题意知，加速度和时间的关系为据题意知

38、，加速度和时间的关系为 tt tt a atav 0 0 0 0 d)(d t x v d d tav t v add d d 20 0 2 t a ta tvxdd tt a tatvx t d) 2 (d 0 20 0 t 0 62 3020 t a t a 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题3跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时的速跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时的速 率为率为v0 ，入水后地球对他的吸引和水的浮力作用相抵，入水后地球对他的吸引和水的浮力作用相抵 消，仅受水的阻碍而减速，自水面向下取消，仅受水的阻碍而减速，自水面向下

39、取Oy轴，其加轴，其加 速度为速度为 ， vy 为速度，为速度，k为常量为常量. 求入水后运动求入水后运动 员速度随时间的变化员速度随时间的变化. 2 yy kva 2 d d y y kv t v tkvv yy dd 2 解解 设运动员为质点，根据已知条件有设运动员为质点，根据已知条件有 得得 ktvv 0 11 1 00 tkvvv tv v tk v v 0 2 d d 0 可见运动员速度随时间减小且当可见运动员速度随时间减小且当 t 时，速度变为零。时，速度变为零。 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题4 运动会上跳水运动员自运动会上

40、跳水运动员自10m跳台自由下落。入水跳台自由下落。入水 后因受水的阻碍而减速，自水面向下取坐标轴后因受水的阻碍而减速，自水面向下取坐标轴Oy，其加，其加 速度为速度为 ， .求运动员速度减为入水速度的求运动员速度减为入水速度的 1/10 时，运动员入水深度时，运动员入水深度. 2 y kv 1 m4 . 0 k sm14sm108 . 922 0 ghv 解解 设运动员以初速度为零起跳，至水面之速度为设运动员以初速度为零起跳，至水面之速度为 在水中加速度为在水中加速度为 2 d d y y kv t v y v v t y y v t v y y yy d d d d d d d d )(yv

41、v yy 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 yk v v y y d d 作不定积分并化简得作不定积分并化简得 ky y Cv e C为积分常数为积分常数.引入初始条件引入初始条件0 y 得得 ky y evv 0 即即 y y kv y v d d 时时 0 vv y 设设10/ 0 vv y ，将，将 1 m4 . 0 k 代入此式，得代入此式，得 m 76. 5 y 作业：作业：P57 2.4.1，2.4.3，2.4.4, 2.4.7 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.5 平面直角坐标系平面直角坐

42、标系抛体运动抛体运动 2.5.1 平面直角坐标系平面直角坐标系 2.5.2 抛体运动抛体运动 2.5.3 用矢量讨论抛体运动用矢量讨论抛体运动 例题例题 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.5 平面直角坐标系平面直角坐标系抛体运动抛体运动 2.5.1 平面直角坐标系平面直角坐标系 运动方程运动方程 jtyitxr )()( 在平面直角坐标系中表达式为在平面直角坐标系中表达式为 t x v x d d jtvitvv yx )()( t y v y d d 求导求导 v vx v cos v v y v cos 22 yx vvv vx和和vy是质点

43、的速度分量是质点的速度分量.速度的大小和方向速度的大小和方向 (2.5.2) (2.5.3) (2.5.1) )(trr 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2 2 d d t x a x jtaitaa yx )()( 2 2 d d t y a y 加速度加速度 a ax a cos a a y a cos 22 yx aaa ax和和ay是质点的加速度分量是质点的加速度分量.加速度的大小和方向加速度的大小和方向 初始条件初始条件 t = t0 x = x0 y = y0 由由(2.5.2)积分得积分得 (2.5.4) t t x ttvxx 0

44、)d( 0 t t y ttvyy 0 )d( 0 (2.5.5) 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 速度初始条件速度初始条件 t = t0 vx = v0 x vy = v0y t t xxx ttavv 0 )d( 0 (2.5.6) t t yyy ttavv 0 )d( 0 对于质点的平面运动，若已知初始条件和质点速对于质点的平面运动，若已知初始条件和质点速 度和加速度随时间的变化规律并且可积，就能全面描度和加速度随时间的变化规律并且可积，就能全面描 写质点的运动状态写质点的运动状态. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章

45、质点运动学质点运动学 例题例题1一质点平面运动的加速度为一质点平面运动的加速度为ax= -Acost , ay= -Bsint, A B , A 0, B 0 初条件为初条件为t =0 , v0 x=0, v0y=B, x0=A, y0=0. 求质点轨迹求质点轨迹. 解解tavv t t xxx d 0 0 tavv t t yyy d 0 0 tvxx t t xd 0 0 tvyy t t yd 0 0 分别用分别用A和和B除上两式除上两式 t B y t A x sin,cos 取两式平方和取两式平方和 椭圆运动椭圆运动 tAttA t sindcos 0 tBttBB t cosdsi

46、n 0 tAttAA t cosdsin 0 tBttB t sindcos 0 1 2 2 2 2 B y A x 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.5.2 抛体运动抛体运动 1.运动叠加原理运动叠加原理 右图中右图中A、B同时同高抛出，同时同高抛出， 同时着地同时着地. 结论结论：水平运动对竖直运：水平运动对竖直运 动无影响动无影响. 即：当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运即：当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运 动是各个运动的合成动是各个运动的合成. B运动运动=竖直竖直+水平水平 B A h 0 v 上上 页页下下 页页结结 束

47、束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2. 抛体运动抛体运动 x y 0 v O （x,y） 选平面直角坐标系如选平面直角坐标系如 图，不计空气阻力，图，不计空气阻力， 在抛体运动中在抛体运动中,加速度加速度 ga 为常矢量为常矢量 抛体运动简化为抛体运动简化为x方向的匀速直线运动与方向的匀速直线运动与y方向的匀方向的匀 变速运动的叠加变速运动的叠加. 运动学方程运动学方程 tvx cos 0 2 0 2 1 singttvy 由此可求出射高、射程、轨道方程等由此可求出射高、射程、轨道方程等. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 x y 0

48、 v 真空中轨道真空中轨道 空气中实际轨道空气中实际轨道 通过理想情况得出抛物线，以此为基准，进一步研究通过理想情况得出抛物线，以此为基准，进一步研究 各种不同阻力对运动的影响各种不同阻力对运动的影响. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 2.5.3 用矢量讨论抛体运动用矢量讨论抛体运动 基本方程基本方程 t gvv 0 2 0 2 1 t gtvr 矢量图矢量图 0 v 10t v O 20t v tv0 )( 1 tr )(tr )( 2 tr 2 1 2 1 gt 2 2 1 gt 2 2 2 1 gt 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回

49、第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题2 如图表示一演示试验如图表示一演示试验. 抛体发射前，瞄准高处抛体发射前，瞄准高处 A的靶子，采取措施使靶子在抛体发射的同时开始自由的靶子，采取措施使靶子在抛体发射的同时开始自由 下落下落. 那么，不管抛体的初速率怎样，抛体都能够击中那么，不管抛体的初速率怎样，抛体都能够击中 靶子，这是为什么？靶子，这是为什么？ O 1 r 2 r r r 2 r r 2 r O P P 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质点运动学 解解 没有重力加速度，靶子就不会落下来，抛体也必沿没有重力加速度，靶子就不会落下来，抛体也必沿 着瞄

50、准的方向以初速率着瞄准的方向以初速率v0 匀速前进，并打中靶子匀速前进，并打中靶子.这时，这时， 抛体经过的位移抛体经过的位移 的大小等于的大小等于v0 t ,其中其中t为抛体从发射点为抛体从发射点 到命中目标到命中目标A点经过的时间点经过的时间. 1 r 但是，在但是，在t 时间内，抛体除了进行位移时间内，抛体除了进行位移 外，还发生外，还发生 因重力加速度而引起的附加位移因重力加速度而引起的附加位移 ，抛体的总位，抛体的总位 移移 2 2 2 1 tgr 1 r 2 0 2 1 t gtvr 并最终到达并最终到达P点点. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回 第二章第二章 质点运动学质