1、医学高等数学全册配套完整医学高等数学全册配套完整 精品课件精品课件1 高等数学研究的对象是高等数学研究的对象是 函数，其研究的方法就是极函数，其研究的方法就是极 限方法。本门课程自始至终限方法。本门课程自始至终 就是用极限去讨论函数的各就是用极限去讨论函数的各 种性质及其相关的问题。种性质及其相关的问题。 第一节第一节 函数函数 一、函数的概念一、函数的概念 三、分段函数三、分段函数 四、函数的几种简单性质四、函数的几种简单性质 二、初等函数二、初等函数 第一章第一章 函数和极限函数和极限 一、函数的概念一、函数的概念 1 1常量与变量常量与变量 注意注意 一个量究竟是常量还是变量一个量究竟是
2、常量还是变量, ,不是绝对的不是绝对的, ,要要 根据具体过程和条件来确定根据具体过程和条件来确定. . 而在过程中可取不同数值的量称为而在过程中可取不同数值的量称为变量变量. . 在某过程中始终保持同一数值的量称为在某过程中始终保持同一数值的量称为常量常量, , 例如：人的身高例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是在研究少儿发育成长的过程中是 变变量量；而在研究成人的健康状况时通常是；而在研究成人的健康状况时通常是常常量量 函数的概念函数的概念 因变量因变量 自变量自变量 )(xfy Dx 是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义 域而因变量
3、的所有对应值的集合则称为函数的值域域而因变量的所有对应值的集合则称为函数的值域. Dx y 定义定义1-1 设和是同一变化过程中的两个变量，设和是同一变化过程中的两个变量， 如果对于变量如果对于变量 的每一允许的取值，按照一定的规律，的每一允许的取值，按照一定的规律， 变量变量 总有一个确定值与之对应，则称变量总有一个确定值与之对应，则称变量 是变量是变量 的函数变量的函数变量 称为自变量，变量称为自变量，变量 称为因变量称为因变量.记为记为x y y x xy x y 注意注意1 在实际问题中在实际问题中, ,定义域是由实际问题决定的定义域是由实际问题决定的. . 注意注意2 2 函数的两要
4、素为：函数的两要素为： 定义域定义域与与对应规律对应规律 注意注意3 3 函数的表示法有函数的表示法有:公式法、图像法和表格法公式法、图像法和表格法, 这三种表述各有特点并可以相互转化这三种表述各有特点并可以相互转化 因此因此, ,两个函数只有当它们的两个函数只有当它们的对应规律对应规律和和定义域定义域都完都完 全相同时全相同时, ,才认为是两个相同的函数才认为是两个相同的函数. . 例例1-1 在出生后在出生后 16个月期间内个月期间内,正常婴儿的体重近正常婴儿的体重近 似满足以下关系似满足以下关系: xy603., 61x公式法公式法 t T o 37 0 t )( 0 tT 例例1-2
5、监护仪自动记录了某患者一段时间内体温监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T 的变化曲线的变化曲线,如下图示如下图示: 例例1-3 某地区统计了某年某地区统计了某年112月中当地流行性出血月中当地流行性出血 热的发病率热的发病率,见下表见下表 (月份) () 123456789101112 16.68.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0 t y 2 1 ( )arcsin(1) 2 4 x f x x 2 40 1 1 2 x x 2 04 x x |),( 00 xxxx （5）三角函数）三角函数 ,cot,tan,cos,sinxyxyx
6、yxy .csc,secxyxy （4）对数函数）对数函数);1, 0(logaaxy a （3）指数函数）指数函数);1,0(aaay x （2）幂函数）幂函数);( 为为任任意意实实数数 xy （1）常函数）常函数 );( 是是实实数数ccy 二、初等函数二、初等函数 1.基本初等函数基本初等函数 （6）反三角函数）反三角函数 ,arctan,arccos,arcsinxyxyxy xarcycot 等等. )(ufy )(xu )(xfy 变量称为复合函数的中间变量复合函数的概念可变量称为复合函数的中间变量复合函数的概念可 以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间以推广到多个函
7、数的情形，此时复合函数是通过多个中间 变量的传递而构成的变量的传递而构成的 u ,arctan,lg1xvvuuy 例例1-4 设设求求 关于关于y x 的复合函数的复合函数 2.复合函数复合函数 定义定义1-2 设变量设变量 是变量是变量 的函数的函数,变量又是变量变量又是变量yuu x的函数的函数,即即 xuy 如果变量如果变量 的某些值通过变量的某些值通过变量 可以确定变量可以确定变量 的值的值, 则称则称 是是 的复合函数的复合函数,记为记为xy 例例1-5 设设 ,)(,)( x x xgxxf 1 2 试求试求 )(),(xffxgf ).(),(xggxfg 解解 4222 1
8、xxxff x x xgf )()(,)()( x x x x x x xgg x x xfg 21 1 1 1 1 2 2 )(,)( 解解 这里，变量传递顺序是规定好了的，这里，变量传递顺序是规定好了的， 是的中是的中 间变量，间变量， 是是 的中间变量，故依次代入可得的中间变量，故依次代入可得vu uy ) 1arctan(lgxy )., 1(x 可见，复合顺序是关键另外，要注意：若经过变可见，复合顺序是关键另外，要注意：若经过变 量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无 意义，或者说它们不能复合意义，或者说它们不能复合 例如例如
9、， 2 2xuuy,arcsin就不能复合因为就不能复合因为 , 12 2 x)arcsin( 2 2xy的定义域为空集的定义域为空集,即函数即函数 )arcsin( 2 2xy无意义无意义. 例例1-6 将下列复合函数将下列复合函数“分解分解”为简单函数为简单函数 )sin()(cbxay 1 kx a y 21 2 )( )coslg()(xy 2 11 3 解解cbxuuay,sin)( 1 kxvu u a y v ,)(21 2 xvvuuycos,lg)( 2 11 3 注意注意 简单函数简单函数是指基本初等函数或由基本初等函是指基本初等函数或由基本初等函 数经过四则运算而得到的函
10、数数经过四则运算而得到的函数. 定义定义1-3 由基本初等函数经过有限次的四则运算以由基本初等函数经过有限次的四则运算以 及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初初 等函数等函数 3.初等函数初等函数 在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称 为分段函数为分段函数 0, 1 0, 12 )( 2 xx xx xf例例1-7 三、分段函数和反函数三、分段函数和反函数 12 xy1 2 xy x y o 这是一个分段函数，如图这是一个分段函数，如图 例例1-8 设某药物的每天设某药物的每天剂量
11、为剂量为y (单位单位:毫克毫克) ,对于对于 16岁以上的成年人用药剂量是一常数岁以上的成年人用药剂量是一常数,设为设为2mg.而对于而对于16 岁以下的未成年人岁以下的未成年人,则每天用药剂量则每天用药剂量y 正比于年龄正比于年龄x ,比例比例 常数为常数为0.125mg/岁岁,其函数关系为其函数关系为 162 1601250 x xx y . o 16 2 x y 0,1 0,0 0,1 )( x x x xf 当 当 当 1 -1 x y o 定义为：当定义为：当 时时， ，例例1-9 设设)(xf0 xxxxf/)( 当当 时，时， 则则0 x0)(xf )( 1 yfx )( 1
12、yfx )( 1 yfx ) 1, 0( aaay x x ay yx a log xy a log 1 ()xfy 1 ( )yfx yx a log 函数函数)(xfy 与其反函数与其反函数 )( 1 xfy 的图形关于直线的图形关于直线 xy 对称对称 . . 例如例如 , , )(xfy )( 1 xfy xy ),(ab A ),(baA x y o ),(,xey x 与对数函数与对数函数 ),0(,lnxxy互为反函数互为反函数, , 它们都单调递增它们都单调递增, ,其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称. . 指数函数指数函数 )( 1 xfy 1( ) xfy 1. 有
13、界性有界性 四、函数的几种简单性质四、函数的几种简单性质 .),()(内内无无界界在在则则称称函函数数如如果果不不存存在在这这样样的的baxfM， 对对于于所所若若存存在在正正数数内内有有定定义义在在设设函函数数,.),()(Mbaxf .),()(,)(),(内有界内有界在在则称函数则称函数恒有恒有有的有的baxfMxfbax 有界有界 M -M y x o y=f(x) b a y 无界无界 M -M x o 0 x b a Rxy上上有有界界在在函函数数例例如如sin, .),(,),(上上有有界界在在内内无无界界在在而而函函数数110 1 x y 2. 单调性单调性 )(xfy )(
14、1 xf )( 2 xf x y o ab )(xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o b a 增函数增函数 减函数减函数 设设 、 是函数是函数 在定义区间在定义区间 内的任意内的任意 两点两点,且且.若若,则称在则称在 内是单调递增的内是单调递增的;若若,则称在则称在 内是内是 单调递减的单调递减的. )(xf 1 x 2 x),(ba )()( 21 xfxf)(xf),(ba )()( 21 xfxf ),(ba)(xf 21 xx 3. 奇偶性奇偶性 偶函数偶函数 y x )(xf )(xfy ox-x )(xf )( xf y x )(xf ox -x )(xfy 奇函
15、数奇函数 )()(xfxf )()(xfxf 如果对于函数如果对于函数 定义域内的任意点定义域内的任意点 ,恒有恒有 )(xfx ,则称则称 是偶函数是偶函数;如果对于函数如果对于函数 )(xf 定义域内的任意点定义域内的任意点 ,恒有恒有 )(xf x,则称则称 是奇函数是奇函数. )(xf 4. 函数的周期性函数的周期性 对于函数对于函数 ,如果存在正的常数如果存在正的常数T,使得使得 恒成立恒成立,则称则称 为周期函数为周期函数,满足这个等式的最小正数满足这个等式的最小正数T , 称为函数的周期称为函数的周期. )()(Txfxf )(xf )(xf 例如例如 都是周期函数都是周期函数,
16、周期为周期为 .sin ,cosxx2 主要内容主要内容 .常量变量常量变量 函数的概念函数的概念 .基本初等函数基本初等函数 复合函数复合函数 分段函数分段函数 初等函数初等函数 .函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性 一、极限的概念一、极限的概念 二、无穷小量及其性质二、无穷小量及其性质 三、极限的四则运算三、极限的四则运算 四、两个重要极限四、两个重要极限 第二节第二节 极限极限 当自变量当自变量 从一个值变化到另一从一个值变化到另一 个值时，个值时，自变量经历一个不断变化的自变量经历一个不断变化的 过程，在此过程中，因变量过程，在此过程中，因变量 相
17、应的相应的 变化趋势和终极状态如何，反映了两变化趋势和终极状态如何，反映了两 个变量间的动态关联，而这正是极限个变量间的动态关联，而这正是极限 概念所要描述和解决的问题。概念所要描述和解决的问题。 x y x 一、极限的概念一、极限的概念 1 . x yx x 观察函数当时的变化趋势 1.1. 函数的极函数的极 限限 连续型的变化连续型的变化 x y 0 1 x 通过上面的观察可知通过上面的观察可知 1 1 )( x x xfx时时，当当 定义定义1-4 当自变量当自变量 的绝对值无限增大时，如果函的绝对值无限增大时，如果函 数数 无限趋于某一个常数无限趋于某一个常数A，就称当，就称当 趋于无
18、穷大时，趋于无穷大时， 函数函数 以以A为极限为极限.)(xf )(xfx x 记为记为 或或 Axf x )(lim)()(xAxf 注意注意 若若 时时, 不趋于某一常数不趋于某一常数, 则称则称 时时, 的极限不存在的极限不存在;若若 , 趋于无穷大趋于无穷大,为方便为方便 起见起见,常记为常记为 x )(xfx )(xfx )(xf 或或 )(limxf x )()(xxf 几何意义几何意义 直线直线y=A为曲线为曲线y=f(x)的水平渐近线的水平渐近线 )(lim()(limAxfAxf xx 或或 单侧极限单侧极限 当自变量当自变量 的变化沿的变化沿 轴的正方向无限增大轴的正方向无
19、限增大(或沿或沿 轴的负方向绝对值无限增大轴的负方向绝对值无限增大)时时,函数函数 无限趋近于某一无限趋近于某一 个常数个常数A,就称就称A 为函数为函数 单侧极限单侧极限,记为记为)(xf )(xf x xx 例例1-10 求求 当当 时的单侧极时的单侧极 限限 xxfarctan)( x 解解 2 2 x y 2 2 x x x x arctanlim arctanlim 0 2 4 0 xx 2 2、 时函数的极限时函数的极限 2x4y 当当 时时, 考察函数考察函数)2( x 2 4 2 x x y 2x 当当 时时,函数函数 的变化趋势的变化趋势. y )()()(lim 0 0 x
20、xAxfAxf xx 或或 0 x 定义定义1-5 设函数设函数 在点在点 的附近有定义的附近有定义(但在这一但在这一 点可以没有定义点可以没有定义),当自变量当自变量 以任意方式无限趋近定点以任意方式无限趋近定点 时时,若函数若函数 无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数A,就称当就称当 趋于趋于 时，时， 函数函数 以以A为极限为极限,记为记为 )(xf x x 0 x 0 x 0 0 lim( )(). xx f xAf xA 或 左极限左极限从左边趋于从左边趋于x 0 x,记为记为 0 0 lim( )(). xx f xAf xA 或 右极限右极限从右边趋于从右边趋于x,记为记为 0
21、x .)()()(limAxfxfAxf xx 00 0 注意注意 )(xf )(xf 11 00 )(lim)(limxxf xx 例例1-11 01 00 01 xx x xx xf)(讨论函数讨论函数 当当 时的极限时的极限. 解解11 0 0 )lim()(lim x x xxf y o x 1 1 0 x 因为左右极限不相等因为左右极限不相等,所以所以 时时, 的极限不存在的极限不存在.)(xf0 x 11 00 )(lim)(limxxf xx 例例1-12 01 01 xx xx xf)(讨论函数讨论函数 当当 时的极限时的极限. y o x 1 1 解解 11 0 0 )lim
22、()(lim x x xxf 左右极限相等左右极限相等,所以所以 1 0 )(limxf x 0 x 例例1-12 判断函数判断函数 当当 时极限是否存在时极限是否存在? ?0 x 解解: , 1 ,0 x x时时当当 .2 1 x 则则 , 1 ,0 x x时时当当 ;02 1 x 则则 1 0,( )2. x xf x所以当时的极限不存在 x xf 1 2) ( 3数列极限数列极限 以下给出几个数列的例子以下给出几个数列的例子 ;,2,8,4,2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n n 2 1 n 2 数列数列 按自然数顺序依次排列的一串数按自然数顺序依次排列的一串数
23、 数列中的每一个数称为数列的项数列中的每一个数称为数列的项, ,其中其中 称为数列的第称为数列的第 项项, ,亦称亦称通项通项, ,简记为简记为 n aaaa, , 321 n an n a 数列也可看作定义在自然数集上的函数数列也可看作定义在自然数集上的函数: n anf)( ;,)1( , 1 , 1, 1 1 n ;, )1( , 3 4 , 2 1 , 2 1 n n n 观察数列观察数列 的变化趋势：的变化趋势： n 1 0 x1 2 1 5 1 4 1 3 1 n n n 1 1)( 1 1 n )( ,. 1 ,., 3 4 , 2 3 ,2 n n n n1 通过上面演示实验的
24、观察通过上面演示实验的观察 1 ,0 n na n 当时 0 1 lim n n 所以有：所以有： lim n n aA () n aA n 或或 n 一般地一般地,当当 时时,若若 无限趋于一个常数无限趋于一个常数A ,则称当则称当 时时, 以以A 为极限为极限,或称数列收敛于或称数列收敛于A，记为，记为 n n a n a 定义定义 否则称数列否则称数列 发散发散 n a 解解 ( 1) limlim0 n n nn a n 例例1-131-13判断判断 极限是否存在？极限是否存在？ 2 11 1 1 n nn n n 、c n n 、 n a )()( ,1010 n c 由于由于 ,所
25、以所以 的极限不存在的极限不存在. n c 1 limlimlim(1) 1 11 n nnn n b nn 例如例如, 0sinlim 0 x x .0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx ,0 1 lim x x . 1 时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数x x 定义定义1-7 则则函函数数时时或或如如果果,)(,)( 0 xfxxx ，xfxxx简简称称无无穷穷大大为为无无穷穷大大量量时时或或称称)()( 0 二、无穷小量及其性质二、无穷小量及其性质 1.无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量 定义定义1-6 则则的极限为零的极限为零函数函数时时或或如果如果,)(,)( 0 x
26、fxxx ，xfxxx简简称称无无穷穷小小为为无无穷穷小小量量时时或或称称)()( 0 （此时也称（此时也称f(x)收敛于零）收敛于零） 注意：注意： 1) 1) 无穷小量是指无限接近于零的一个无穷小量是指无限接近于零的一个 变量变量, ,不能把很小的数作为无穷小量。不能把很小的数作为无穷小量。 4) 4)此概念对数列极限也适用。此概念对数列极限也适用。 3)3)无穷小量与自变量变化过程有关。无穷小量与自变量变化过程有关。 2) 2) 逐渐增大的量也可能是无穷小量。逐渐增大的量也可能是无穷小量。 无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆 2无穷小定理与性质无穷小定理与性质
27、 性质性质1 1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小. . 性质性质2 2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小. . 即即：.)(limlim)(00 xfM、xf则则若若 性质性质3 3 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不恒不 为零的无穷小的倒数为无穷大为零的无穷小的倒数为无穷大. . 0 xx x Axf x xx )(lim )( 0 或 )()(xAxf 0)(lim )( 0 x x xx 或 例例1-14 求求 x x x sin lim 0 x x x sin
28、 lim 例例1-15 求求 1 1 1 x x lim 解解01 1 )(lim x x ,由无穷小与无穷大的关系可知由无穷小与无穷大的关系可知 1 1 1 x x lim 解解0 1 1 x x x lim,sin,由性质由性质1-2可知可知 10.50.10.010.001 210.20.020.002 10.250.010.00010.0000001 1 5表 2 x 2x x 2 x 0(0)x 0(0)x 0(0)x 在自变量的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的在自变量的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的 快慢可能会有所不同于是两个无穷小的商是否会有极限，快慢可能会有所不同于是两个
29、无穷小的商是否会有极限， 完全取决于两个无穷小趋于零的快慢反过来，两个无穷完全取决于两个无穷小趋于零的快慢反过来，两个无穷 小量的商是否有极限，以及有什么样的极限，可以提示两小量的商是否有极限，以及有什么样的极限，可以提示两 个无穷小的差异个无穷小的差异 x 0lim 2 0 x x x 2 2 lim 0 x x x 2 0 lim x x x )( 1 sin lim 0 不不存存在在 x x x x 例如例如 );(, 0lim) 1 ( o记记作作较较高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果 定义定义1-81-8. 0,且且个个无无穷穷小小是是同同一一变变化化过过程程中中的的两
30、两设设 ;),0(lim)3(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC ;, 1lim 记记作作是是等等价价的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果特特殊殊地地 ; ,lim)2( 较较高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比 或或者者说说较较低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果 x x x 11 lim 2 0 解解 因为因为 )( )( lim 11 1111 2 22 0 xx xx x 20 lim 11 x x x 0 例例1-17 当当 时时, 与与 都是无穷小都是无穷小,试试 对它们进行阶的比较对它们进行阶的比较. 11 2 xx0 x 所以：所以： 是比是比 较高
31、阶的无穷小较高阶的无穷小x 2 11x 三、极限的四则运算三、极限的四则运算 定理定理1-2则有则有若若,)(lim,)(limBxgAxf )0( )(lim )(lim )( )( lim)3( )()(lim)()(lim)2( )(lim)(lim)()(lim)1 ( B B A xg xf xg xf BAxgxfxgxf BAxgxfxgxf 推论推论1 1 则则为为常常数数而而存存在在若若,)(limcxf )(lim)(limxfcxcf 推论推论2 2则为正整数而存在若,)(limnxf nn xfxf)(lim)(lim 证明证明: ABxgxf )()(lim lim(
32、 )f xAlim ( )g xB ( )( )f xAx( )( )g xBx ( )0 x( )0 x ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) f xg xAxBx ABAxBxxx 由无穷小运算法则由无穷小运算法则, ,得得( )( )f xg xAB 例例1-18 求求 1 1 lim 2 2 x x x 解解 1 1 lim 2 2 x x x1lim 1lim lim 2 2 2 2 x x x x x 3 1 例例1-19 求求 1 1 lim 2 1 x x x 解解 1 1 lim 2 1 x x x ) 1)(1( 1 lim 1 xx x x ) 1( 1
33、lim 1 x x 2 1 .1后后再再求求极极限限因因子子先先约约去去不不为为零零的的无无穷穷小小 x .,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x) 0 0 (型型解解 例例1-20 求求 3 21 lim 3 x x x 3 21 3 x x x lim 解解 当当 时时,分子、分母都是无穷小所以先进行分子、分母都是无穷小所以先进行 分子有理化来消去分子、分母里的无穷小因子分子有理化来消去分子、分母里的无穷小因子 3x )( )( lim 213 2121 3 xx xx x 4 1 213 3 3 )( lim xx x x 解解 .,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分
34、子分子时时 x )(型型 ., 3 再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x 3 3 23 23 14 7 53 2 lim 147 532 lim xx xx xx xx xx . 7 2 . 147 532 lim 23 23 xx xx x 求求例例1-21 , , , lim mn mn mn b a bxbxb axaxa n nn m mm x 当当 当当 当当 0 0 0 1 10 1 10 为为非非负负整整数数时时有有和和所所以以当当nmba,0,0 00 3. 3. 求求. )1(lim 2 xxx x 解法解法 1 1 原式原式 = = xx
35、x x 1 lim 2 1 1 1 1 lim 2 x x 2 1 解法解法 2 2 令 令, 1 x t tttt 1 1 11 lim 2 0 2 1 则则 原式原式 = = 2 2 0 11 lim t t t 11 1 lim 2 0 tt 0t 二、两个重要极限二、两个重要极限 1 sin lim. 1 0 x x x , )()(xhxg)(xf ( )( )f xg x、h(x) 00 lim( )lim ( ) xxxx g xh xA 0 lim( ) xx f xA , )()(xhxg)(xf ( )( )f xg x、h(x) 00 lim( )lim ( ) xxxx
36、 g xh xA 例例1-16 证明证明10 00 xx xx coslim,sinlim 证明证明 对任何实数对任何实数 ,有有x 2 2 2 01 cos2sin2 222 xxx x0 0sin xx0 由夹逼法则由夹逼法则 10 00 xx xx coslim,sinlim 1 sin lim 0 x x x ) 2 0(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆 ADxABxCBxtan,sin弧弧于是有于是有 .CBCOABDOD OBADA 交交于于的的垂垂线线作作，并并过过交交于于线线 的的延延长长与与作作单单位位圆圆的的切切线线过过 ,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形
37、CBOAB的高为的高为 x o B D A C 由上图可知由上图可知: 的面积的面积的面积的面积扇形扇形面积面积OADOABOAB 即即 xxxtan 2 1 2 1 sin 2 1 1 sin cos x x x 1 sin lim. 1cos,0 0 x x xx x 由由夹夹逼逼准准则则知知时时当当 则则时时当当, 0,0 xx 1 )sin( lim sin lim 00 x x x x xx 综合两者即得综合两者即得1 sin lim 0 x x x 解：解： x x x 2sin lim 0 0 2sin2 lim 2 x x x 0 sin 2 2lim2 2 x x x x x
38、 x 2sin lim 0 求求例例1-22 nx mx x sin sin lim 0 求求例例1-23 解解 nx mx x sin sin lim 0 nx nx mx mx n m x sin sin lim 0 例例1-24 x x x 1 sinlim 求求 x x x 1 sinlim 解解所所以以时时则则当当令令. 0, 1 tx x t 1 sin lim 0 t t t n m nx nx mx mx n m xx sin lim sin lim 00 例例 求求. tan lim 0 x x x 解解: : x x x tan lim 0 xx x xcos 1sin l
39、im 0 x x x sin lim 0 x xcos 1 lim 0 1 2 1 2 0 2 2sin 2 lim 1 2 x x x 2 0 2 sin 2 lim ( ) 2 x x x 2 0 sin 2 lim() 2 x x x 1 0 2 1 cos lim 1 2 x x x 求例例1-25 解解 0 2 1 cos lim 1 2 x x x 解解: :令令arcsintx 则则 sinxt 练习：求练习：求 0 arcsin lim. x x x 原式原式 0 lim sin t t t 1 2.2. 1234510 22.2502.3702.4412.4882.5942.
40、7052.7172.71812.7182 1 4表 1 lim (1) n n e n n 1 (1)n n 2 10 3 10 4 10 5 10 n 1 (1)n n 1 (1)2.718281828459045 n n 1 lim(1) n n e n , 1 x t 令令 t t x x t x) 1 1(lim)1(lim 1 0 . e ex x x 1 0 )1 (lim e x x x ) 1 1(lim x x x 3 ) 2 1 (lim 求求例例1-27 解解 x x x 3 ) 2 1 (lim )3)( 2 ( 2 ) 2 1(lim x x x x x 66 2 )
41、 2 1(lim e x x x x x x x ) 1 1 (lim 求求例例1-28 解法解法1 x x x x ) 1 1 (lim x x x ) 1 2 1 (lim ) 1 2 1 () 1 2 1(lim 2 2 1 xx x x 22 1ee 解法解法2 x x x x ) 1 1 (lim x x x x x ) 1 1 ( ) 1 1 ( lim 2 1 1 ) 1 1(lim ) 1 1 (lim e e e x x x x x x .两个重要极限两个重要极限 （3）夹逼准则）夹逼准则 exx x 1 0 1lim e x x x 1 1lim ： 1 sin lim 0
42、 x x x 主要内容主要内容 1（1）函数极限）函数极限 0 xx x （2）数列极限）数列极限 2（1）无穷小量与无穷大量）无穷小量与无穷大量 （2）无穷小的性质和定理）无穷小的性质和定理 （3）无穷小阶的比较）无穷小阶的比较 3极限的四则运算法则极限的四则运算法则 思考与练习思考与练习 填空题填空题( 1( 14 )4 ) ;_ sin lim. 1 x x x ;_ 1 sinlim. 2 x x x ;_ 1 sinlim. 3 0 x x x ;_) 1 1 (lim. 4 n nn 作业作业:4 (4) , (5) 0 1 1 e 0 一、连续函数的概念一、连续函数的概念 二、初
43、等函数的连续性二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质 第三节函数的连续性第三节函数的连续性 连续变化的曲线对应的函数为连续函数连续变化的曲线对应的函数为连续函数 如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在 生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函 数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映 0 x y 设变量设变量 从它的一个初值从它的一个初值 变到终变到终 值值 ，终值与初值的差，终值与初值的差 就叫做变量就叫
44、做变量 的增量（或称改变量），记作的增量（或称改变量），记作 ，即，即 u u 21 uuu 1 u 2 uu 21 uu 1.函数的增量函数的增量 一、连续函数的概念一、连续函数的概念 设函数设函数 在点在点 附近有定义附近有定义,把把 附近的点附近的点 记为记为 ,则称则称 为自变量由为自变量由 变到变到 的的 增量增量. )(xfy 0 x 0 xx xxx 0 0 xxx 0 xx )()( 00 xfxxfy为函数在点为函数在点 的增量的增量. 0 x x y 0 0 x xx 0 )(xfy y x 2 2函数连续性的定义函数连续性的定义 ,0 0 xxx就是就是).()(0 0
45、xfxfy就就是是 定义定义1-9 设函数设函数 在点在点 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义, 如果如果 时时,也有也有 ,即即 0 x 0 x 0)()(limlim 000 00 xfxxfy xx , 0 xxx设设)()( 0 xfxfy 注意注意 故定义中故定义中1-9的极限式等价于的极限式等价于)()(lim 0 0 xfxf xx 0 x 0 x 则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续,称称 为为 的连续点的连续点. )(xfy 0y )(xfy )(xf 【定义定义1212】 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的某一邻域内有定的某一邻域内有定 义义,
46、 ,若当若当 时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限存在且等的极限存在且等 于于f(xf(x0 0),),即即 则称函数则称函数 y=f(x)y=f(x) 在点在点x x0 0连续连续. . , )()(lim 0 0 xfxf xx 0 xx 即函数即函数)(xf在点在点 0 x (1) (1) )(xf在点在点 0 x 即即)( 0 xf (2) (2) 极限极限)(lim 0 xf xx (3)(3)()(lim 0 0 xfxf xx 连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件: : 存在存在 ; ; 有定义有定义, ,存在存在 ; ; 。 0 0 lim xx xx 00 0 lim
47、( )()(lim ) xxxx f xf xfx 例例1-29 讨论函数讨论函数 在在 的连续性的连续性 0, 0 0, 1 sin )( x x x x xf0 x 解解 0)0() 1 (f 0 1 sinlim)2( 0 x x x )0()(lim)3( 0 fxf x 所以所以 在在 连续连续0 x)(xf 单侧连续单侧连续 .)(),()(lim )(;)( ),()(lim)( 00 00 00 0 0 处处右右连连续续在在点点则则称称在在且且 处处的的右右极极限限存存在在若若函函数数处处左左连连续续在在点点则则称称 处处的的左左极极限限存存在在且且在在若若函函数数 xxfxf
48、xf xxfxxf xfxfxxf xx xx 显然显然 . )()( 00 处处既既左左连连续续又又右右连连续续 在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf 即：即：)(lim)()(lim 00 0 xfxfxf xxxx 00 lim( )lim() xx f xabxa 又 afxfxf xx )0()(lim)(lim 00 ba 例例1-30 设设 在点在点 处连续处连续, 0 0 x x bx xbxa xf , sin , )(0 x 问、应满足什么关系问、应满足什么关系?ab b bx bx b x bx xx sin lim sin lim 00 解解af)0(
49、连续函数与连续区间连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连连 续函数续函数, ,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续. . .,)( , ,),( 上上连连续续在在闭闭区区间间 则则称称函函数数处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续 并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间 baxf bxax ba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例例1-311-31.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy 证明证明),(
50、 x任取任取 xxxysin)sin( ) 2 cos( 2 sin2 x x x , 1) 2 cos( x x. 2 sin2 x y 则则 ,0,时时当当对任意的对任意的 sin,有 , 2 sin2x x y 故故. 0,0 yx时时当当 .),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy ;)()(没没有有定定义义在在点点 0 1xxf ;)(lim)(不存在不存在xf xx 0 2 ).()(lim,)(lim)( 0 00 3xfxfxf xxxx 但但存在存在 3 3函数的间断点函数的间断点 函数的不连续点称为函数的函数的不连续点称为函数的间断点间断点,即满足下
