1、第第 2 节节平面向量基本定理及坐平面向量基本定理及坐标表示标表示 考试要求1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及 其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标 表示的平面向量共线的条件. 知 识 梳 理 1.平面向量的基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2. 其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)
2、向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| x21y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则AB (x2x1， y2y1)， |AB| （x2x1）2（y2y1）2. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10. 常用结论与微点提醒 1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然. 2.若 a 与 b 不共线，ab0，则0. 3.向量的坐
3、标与表示向量的有向线段的起点、 终点的相对位置有关系.两个相等的 向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.() (2)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b， 则12，12.() (3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1 x2 y1 y2.( ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.() 解析(1)共线向量不可以作为基底. (3)若 b(0，0)，则x1 x2 y1 y2无意义. 答案(1
4、)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是() A.e1(0，0)，e2(1，1) B.e1(1，1)，e2(5，7) C.e1(2，5)，e2(4，10) D.e1(2，3)，e2 1，3 2 解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B. 答案B 3.(新教材必修第二册 P33T1 改编)已知向量 a(1，3)，b(2，1)，则 3a2b () A.(7，7)B.(3，2) C.(6，2)D.(4，3) 解析3a2b(3，9)(4，2)(7，7). 答案A 4.(2020广州质检)设向量 a(3，4)，向量 b 与向量 a 方向相反
5、，且|b|10，则 向量 b 的坐标为() A. 6 5， 8 5B.(6，8) C. 6 5， 8 5D.(6，8) 解析因为向量 b 与 a 方向相反，则可设 ba(3，4)，0，则|b| 921625|10，故2，b(6，8). 答案D 5.(2019德州质检)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶 点 D 的坐标为_. 解析设 D(x， y)， 则由AB DC ， 得(4， 1)(5x， 6y)， 即 45x， 16y，解得 x1， y5. 答案(1，5) 6.(2017山东卷)已知向量 a(2，6)，b(1，)，若 ab，则_. 解析ab，260，解得3
6、. 答案3 考点一平面向量基本定理及其应用 【例 1】 (一题多解)(2020泉州四校联考)如图，OC 2OP ， AB 2AC， OM mOB ， ON nOA ， 若 m3 8， 那么 n( ) A.3 4 B.2 3 C.4 5 D.5 8 解析法一由OC 2OP ，AB 2AC，知 C 是 AB 的中点，P 是 OC 的中点，所 以OC 1 2(OA OB )， 则OP 1 4(OA OB )， 又OM 3 8OB ， ON nOA ， 从而MN ON OM nOA 3 8OB ，MP OP OM 1 4(OA OB )3 8OB 1 4OA 1 8OB ，又点 M， P，N 共线，所
7、以存在实数，使MN MP 成立，即 nOA 3 8OB 1 4OA 1 8OB ， 又因为OA ，OB 不共线， 所以有 n1 4， 3 8 1 8， 解得 n3 4，故选 A. 法二设MP MN ，OM 3 8OB ，ON nOA ， OP OM MP 3 8OB (ON OM ) 3 8OB nOA 3 8OB 3 8(1)OB nOA ， 又知OC 2OP ，OP 1 2OC 1 4OA 1 4OB ， 3 8（1） 1 4， n1 4， 解得1 3，n 3 4，故选 A. 答案A 规律方法1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或 三角形法则进行向量的加、减或数乘运算
8、. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底 将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 【训练 1】 (多填题)如图所示，AD 是ABC 的中线，O 是 AD 的中点，若CO AB AC，其中，R，则_， _. 解析由题意知，CO 1 2(CD CA )1 4CB 1 2CA 1 4(AB AC)1 2CA 1 4AB 3 4AC ，1 4， 3 4. 答案 1 4 3 4 考点二平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且 BC 2AD ，则顶点 D 的坐标为() A. 2，
9、7 2B. 2，1 2 C.(3，2)D.(1，3) (2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 ca b(，R)，则 ( ) A.1B.2C.3D.4 解析(1)设 D(x，y)，AD (x，y2)，BC (4，3)，又BC 2AD ，所以 42x， 32（y2），解得 x2， y7 2， 故选 A. (2)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形 边长为 1)， 则 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)， aAO (1，1)，bOB (6，2)，cBC (1，3)， cab，(1，3)(1，1)(6，2)， 则 61， 23， 解得2，
10、1 2， ， 2 1 2 4. 答案(1)A(2)D 规律方法向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算. 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程 思想的运用. 【训练 2】 (1)已知 O 为坐标原点，点 C 是线段 AB 上一点，且 A(1，1)，C(2， 3)，|BC |2|AC|，则向量OB 的坐标是_. (2)如图所示，以 e1，e2为基底，则 a_. 解析(1)由点 C 是线段 AB 上一点，|BC |2|AC|， 得BC 2AC.设点 B 为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2)，即 2x2， 3y4，解 得 x4， y7. 所以
11、向量OB 的坐标是(4，7). (2)以 e1的起点为坐标原点，e1所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 e1(1， 0)，e2(1，1)，a(3，1)，令 axe1ye2，即(3，1)x(1，0)y(1， 1)，则 xy3， y1， 所以 x2， y1， 即 a2e1e2. 答案(1)(4，7)(2)2e1e2 考点三平面向量共线的坐标表示多维探究 角度 1利用向量共线求向量或点的坐标 【例 31】 (一题多解)已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则 AC 与 OB 的交 点 P 的坐标为_. 解析法一由 O，P，B 三点共线，可设OP OB (4，4)，则AP OP OA
12、 (44，4). 又AC OC OA (2，6)， 由AP 与AC共线，得(44)64(2)0， 解得3 4， 所以OP 3 4OB (3，3)， 所以点 P 的坐标为(3，3). 法二设点 P(x，y)，则OP (x，y)，因为OB (4，4)，且OP 与OB 共线，所以x 4 y 4，即 xy. 又AP (x4，y)，AC(2，6)，且AP与AC共线， 所以(x4)6y(2)0，解得 xy3， 所以点 P 的坐标为(3，3). 答案(3，3) 角度 2利用向量共线求参数 【例 32】 (1)(2018全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，). 若 c(2ab)，则_. (2
13、)已知向量 a(2，3)，b(1，2)，若 manb 与 a3b 共线，则m n _. 解析(1)由题意得 2ab(4，2)，因为 c(1，)，且 c(2ab)，所以 42 0，即1 2. (2)由 2 1 3 2，所以 a 与 b 不共线， 又 a3b(2，3)3(1，2)(5，3)0. 那么当 manb 与 a3b 共线时， 有m 1 n 3，即得 m n 1 3. 答案(1)1 2 (2)1 3 规律方法1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a(x1，y1)，b(x2， y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10； (2)若 ab(b0)，则 ab. 2.向量共线的坐
14、标表示既可以判定两向量平行， 也可以由平行求参数.当两向量的 坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. 【训练 3】 (1)(角度 1)(2020山东师大附中检测)已知向量 a(1，1)，点 A(3，0)， 点 B 为直线 y2x 上的一个动点，若AB a，则点 B 的坐标为_. (2)(角度 2)已知向量OA (k，12)，OB (4，5)，OC (k，10)，且 A，B，C 三 点共线，则 k 的值是_. 解析(1)由题意设 B(x，2x)，则AB (x3，2x)， AB a，x32x0，解得 x3，B(3，6). (2)AB OB OA (4k，7)， AC OC OA (2k，2
15、). A，B，C 三点共线，AB ，AC共线， 2(4k)7(2k)，解得 k2 3. 答案(1)(3，6)(2)2 3 A 级基础巩固 一、选择题 1.设 A(0，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(0，1)，则AB AC等于( ) A.2AD B.2AD C.3AD D.3AD 解析由题意得AB (1，2)，AC(1，4)，AD (0，2)，所以AB AC(0， 6)3(0，2)3AD . 答案C 2.已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与AB 同方向的单位向量是( ) A. 3 5， 4 5B. 4 5， 3 5 C. 3 5， 4 5D. 4 5， 3 5 解析AB OB OA (
16、4，1)(1，3)(3，4)， 与AB 同方向的单位向量为AB |AB | 3 5， 4 5 . 答案A 3.若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线段 P1P2的一个三等分点(靠近点 P1)，则点 P 的 坐标为() A.(2，2)B.(3，1) C.(2，2)或(3，1)D.(2，2)或(3，1) 解析由题意得P1P 1 3P 1P2 且P1P2 (3，3). 设 P(x，y)，则(x1，y3)(1，1)， x2，y2，则点 P(2，2). 答案A 4.已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1，2)，b(m，3m2)，且平面内的任 一向量 c 都可以唯一的表示成 cab(，为实数)，则
17、实数 m 的取值范围是 () A.(，2)B.(2，) C.(，)D.(，2)(2，) 解析由题意知向量 a，b 不共线， 故 2m3m2，即 m2. 答案D 5.已知向量 a(2，3)，b(1，2)，若 mab 与 a2b 共线，则 m 的值为() A.2B.2C.1 2 D.1 2 解析由 a(2，3)，b(1，2)，得 mab(2m1，3m2)，a2b(4， 1)，又 mab 与 a2b 共线，所以1(2m1)(3m2)4，得 m1 2， 故选 D. 答案D 6.(2019成都七中质检)已知在 RtABC 中，BAC90，AB1，AC2，D 是 ABC 内一点，且DAB60，设AD AB
18、 AC(，R)，则 ( ) A.2 3 3 B. 3 3 C.3D.2 3 解析如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线 为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B 点的坐标为(1，0)，C 点的 坐标为(0，2)， 因为DAB60，所以设 D 点的坐标为(m， 3m)(m0). AD (m， 3m)AB AC(1，0)(0，2)(，2)，则m，且3 2 m， 所以 2 3 3 . 答案A 7.给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ， 它们的夹角为 90， 如图所 示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB ，其中 x，yR，则 xy 的最大值
19、是() A.1B. 2C. 3D.2 解析因为点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC |2|xOA yOB |2x2y2 2xyOA OB x2y2， x2y21，则 2xyx2y21. 又(xy)2x2y22xy2，当 xy 时取等号， 故 xy 的最大值为 2. 答案B 8.在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记AB ， BC 分别为 a，b，则AH () A.2 5a 4 5b B.2 5a 4 5b C.2 5a 4 5b D.2 5a 4 5b 解析设AH AF ， DH DE .而DH DA AH bAF b b1 2
20、a， DH DE a1 2b. 因此， a1 2bb b1 2a.由于 a，b 不共线，因此由平面向量的基本定理， 得 1 2， 1 21. 解之得4 5， 2 5.故AH AF b1 2a2 5a 4 5b. 答案B 二、填空题 9.(2020安徽江南十校联考)已知平面向量 a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)，且 (ac)(ab)，则 m_. 解析a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)， ac(m1，m3)，ab(1，m5)， 又(ac)(ab)， (m1)(m5)m30，即 m23m20， 解之得 m3 17 2 . 答案 3 17 2 10.已知 A(3，0)，B(0， 3)，O
21、 为坐标原点，C 在第二象限，且AOC30， OC OA OB ，则实数的值为_. 解析由题意知OA (3，0)，OB (0， 3)，则OC (3， 3).由AOC30 知以 x 轴的正半轴为始边，OC 为终边的一个角为 150，所以 tan 150 3 3， 即 3 3 3 3，所以1. 答案1 11.若平面向量 a， b 满足|ab|1， ab 平行于 y 轴， a(2， 1)， 则 b_. 解析设 b(x，y)，则 ab(x2，y1). 因为|ab|1，所以(x2)2(y1)21. 又因为 ab 平行于 y 轴，所以 x2， 代入上式，得 y0 或 2. 所以 b(2，0)或 b(2，2
22、). 答案(2，0)或(2，2) 12.(一题多解)如图，在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若AC AM BN ，则_. 解析法一以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直 角坐标系， 如图所示， 设正方形的边长为 1， 则AM 1，1 2 ， BN 1 2，1，AC (1，1). AC AM BN 1 2， 2， 1 21， 21， 解得 6 5， 2 5， 8 5. 法二由AM AB 1 2AD ，BN 1 2AB AD ， 得AC AM BN 2 AB 2AD . 又AC ABAD ， 21， 21， 解得 6 5， 2 5， 所以8 5. 答案
23、8 5 B 级能力提升 13.(2020济南模拟)已知点P为四边形ABCD所在平面内一点， 且满足AB 2CD 0，AP BP4DP 0，AP ABBC(，R)，则( ) A.7 6 B.7 6 C.1 3 D.1 3 解析如图，取 AB 的中点 O，连接 DO. 由AB 2CD 0，知 ABCD，AB2CD， 所以 CD 綉 OB，所以四边形 OBCD 为平行四边形. 又由AP BP4DP 0，得2PO 4DP 0， 即PO 2DP ，所以 D，P，O 三点共线，且 P 为 OD 上靠近 D 的三等分点， 所以AP AO OP 1 2AB 2 3OD 1 2AB 2 3BC ， 所以1 2，
24、 2 3，所以 1 3. 答案D 14.(2020福州模拟)已知 D，E 是ABC 边 BC 的三等分点，点 P 在线段 DE 上， 若AP xAByAC，则 xy 的取值范围是( ) A. 1 9， 4 9B. 1 9， 1 4 C. 2 9， 1 2D. 2 9， 1 4 解析因为 D，E 是 BC 边的三等分点，点 P 在线段 DE 上，若AP xAByAC， 可得 xy1，x，y 1 3， 2 3 ，xyx(1x)xx2 x1 2 2 1 4，当 x 1 2时， xy 取最大值1 4，当 x 1 3或 x 2 3时，xy 取最小值 2 9.故选 D. 答案D 15.在矩形 ABCD 中
25、，AB1，AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆 上.若AP ABAD ，则的最大值为() A.3B.2 2 C. 5D.2 解析建立如图所示的平面直角坐标系， 则 C 点坐标为(2，1). 设 BD 与圆 C 切于点 E，连接 CE，则 CEBD. CD1，BC2， BD 1222 5， ECBCCD BD 2 5 2 5 5 ， 即圆 C 的半径为2 5 5 ， P 点的轨迹方程为(x2)2(y1)24 5. 设 P(x0，y0)，则 x022 5 5 cos ， y012 5 5 sin (为参数)， 而AP (x0，y0)，AB(0，1)，AD (2，0). AP A
26、BAD (0，1)(2，0)(2，)， 1 2x 01 5 5 cos ，y012 5 5 sin . 两式相加，得 12 5 5 sin 1 5 5 cos 2sin()3 其中 sin 5 5 ，cos 2 5 5， 当且仅当 22k，kZ 时，取得最大值 3. 故选 A. 答案A 16.(2019安庆二模)在ABC 中，AB1，BC 7，CA3，O 为ABC 的外心， 若OP mOB nOC ，其中 m，n0，1，则点 P 的轨迹所对应图形的面积是 _. 解析由余弦定理得，cos BACAB 2CA2BC2 2ABCA 1 232（ 7）2 213 1 2，所以 BAC60，因此 7 s
27、in 602OB，OB 21 3 .由题意知，点 P 的轨迹是以 OB，OC 为邻边的菱形及其内部，BOC120.于是所求图形的面积是 2SBOC 21 2OB 2sin 1207 3 3 2 7 3 6 . 答案 7 3 6 C 级创新猜想 17.(开放题)已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | ，0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的 _(填“外心”、“内心”、“重心”或“垂心”).和向量式“OP OA AB |AB | AC |AC | ，0，)”类似，当点 P 满足_(答案不唯一)时，动点 P 的轨
28、迹一定通过ABC 的重心. 解 析由OP OA AB |AB | AC |AC | ，知OP OA AB |AB | AC |AC | ，即AP AB AB | AC |AC | ，所以点 P 在BAC 的平分线上，故点 P 的轨迹一定通过ABC 的 内心. 当点 P 满足OP OA (AB AC)，0，)时，点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心.证明如下：由已知得AP (ABAC)，设 BC 的中点为 D，根据平行四边 形法则知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，故 P 的轨迹过ABC 的重心. 答案内心OP OA (AB AC)，0，)(答案不唯一) 18.(多填题)直角ABC 中， ABAC2， D 为 AB 边上的点， 且AD DB2， 则CD CA _；若CD xCA yCB，则 xy_. 解析以 A 为原点，分别以AB ，AC 的方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角 坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，D 4 3，0，则CD 4 3，2，CA (0， 2)， CB (2， 2)， 则CD CA 4 3，2(0， 2)4 30(2)(2)4.由CD x CA y CB x(0 ， 2) y(2 ， 2) (2y ， 2x 2y) 4 3，2得 2y4 3， 2x2y2， 解得 x1 3， y2 3， 则 xy2 9. 答案4 2 9
