1、第第 3 节节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考试要求1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与 存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知 识 梳 理 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题 pq，pq，綈 p 的真假判断 pqpqpq 綈 p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用 符号“”表示. (2)存在量词： 短语“存在一个”、 “至少有一个”等在逻辑中通常
2、叫做存在量词， 用符号“”表示. 3.全称命题和特称命题 名称全称命题特称命题 结构对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 简记xM，p(x)x0M，p(x0) 否定x0M，綈 p(x0)xM，綈 p(x) 常用结论与微点提醒 1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：pq见真即真，pq见假即假，p 与綈 p真假相反. 2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 3.“pq”的否定是“(綈 p)(綈 q)”，“pq”的否定是“(綈 p)(綈 q)”. 4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借 助集合运算处理
3、含逻辑联结词的命题. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)命题“56 或 52”是假命题.() (2)命题綈(pq)是假命题，则命题 p，q 中至少有一个是真命题.() (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.() (4)x0M，p(x0)与xM，綈 p(x)的真假性相反.() 解析(1)错误.命题 pq 中，p，q 有一真则真. (2)错误.pq 是真命题，则 p，q 都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材选修 21P18A1(3)改编)已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题綈 p，
4、綈 q，pq，pq 中真命题的个数为() A.1B.2C.3D.4 解析p 和 q 显然都是真命题，所以綈 p，綈 q 都是假命题，pq，pq 都是真 命题. 答案B 3.(新教材必修第一册P29习题1.5T3(3)改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相 等”的否定是_. 答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等 4.(2020成都诊断)已知命题 p：x0R，x204x060 C.xR，x24x60D.xR，x24x60 解析依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案 A 是正确的. 答案A 5.(2020唐山模拟)已知命题 p：f(x)x3ax 的图象关于原点对称；命题 q：g(x) xcos x
5、 的图象关于 y 轴对称.则下列命题为真命题的是() A.綈 pB.q C.pqD.p(綈 q) 解析根据题意，对于 f(x)x3ax，有 f(x)(x)3a(x)(x3ax) f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p 为真命题；对于 g(x)xcos x，有 g(x) (x)cos(x)xcos x，为奇函数，其图象关于原点对称，q 为假命题，则綈 p 为假命题，q 为假命题，pq 为假命题，p(綈 q)为真命题. 答案D 6.(2019豫南五校联考)若“x 4， 3 ，mtan x2”为真命题，则实数 m 的 最大值为_. 解析由 x 4， 3 ，1tan x22 3. “x 4， 3
6、，mtan x2”为真命题，则 m1. 实数 m 的最大值为 1. 答案1 考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例 1】 (1)设 a，b，c 是非零向量.已知命题 p: 若 ab0，bc0，则 ac0； 命题 q：若 ab，bc，则 ac.则下列命题中真命题是() A.pqB.pq C.(綈 p)(綈 q)D.p(綈 q) (2)(2020广州调研)已知命题 p：若 a|b|，则 a2b2；命题 q：m，n 是直线，为平 面，若 m，n，则 mn.下列命题为真命题的是() A.pqB.p(綈 q) C.(綈 p)qD.(綈 p)(綈 q) 解析(1)取 ac(1，0)，b(0，1)，显然
7、 ab0，bc0，但 ac10，p 是假命题. 又 a，b，c 是非零向量， 由 ab 知 axb(xR)，由 bc 知 byc(yR)， axyc，ac，q 是真命题. 综上知 pq 是真命题，pq 是假命题. 綈 p 为真命题，綈 q 为假命题. (綈 p)(綈 q)，p(綈 q)都是假命题. (2)对于命题 p，由 a|b|两边平方，可得到 a2b2，故命题 p 为真命题.对于命题 q， 直线 m，但是 m，n 有可能是异面直线，故命题 q 为假命题，綈 q 为真命题. 所以 p(綈 q)为真命题. 答案(1)A(2)B 规律方法1.“pq”、 “pq”、 “綈 p”形式命题真假的判断关
8、键是对逻辑联 结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2) 判断其中命题 p，q 的真假；(3)确定“pq”“pq”“綈 p”形式命题的真假. 2.pq 形式是“一假必假，全真才真”，pq 形式是“一真必真，全假才假”， 綈 p 则是“与 p 的真假相反”. 【训练 1】 (1)若命题“pq”与命题“綈 p”都是真命题，则() A.命题 p 与命题 q 都是真命题 B.命题 p 与命题 q 都是假命题 C.命题 p 是真命题，命题 q 是假命题 D.命题 p 是假命题，命题 q 是真命题 (2)(2020衡水中学检测)命题 p：若向量 ab0，则 a 与 b 的
9、夹角为钝角；命题 q： 若 cos cos 1，则 sin()0.下列命题为真命题的是() A.pB.綈 qC.pqD.pq 解析(1)因为綈 p 为真命题，所以 p 为假命题，又 pq 为真命题，所以 q 为真 命题. (2)当 a，b 方向相反时，ab0，但夹角是 180，不是钝角，命题 p 是假命题； 若 cos cos 1，则 cos cos 1 或 cos cos 1， 所以 sin sin 0，从而 sin()0，命题 q 是真命题， 所以 pq 是真命题. 答案(1)D(2)D 考点二全称量词与存在量词多维探究 角度 1含有量词命题的否定 【例 21】 (2020河南八所重点高中
10、联考)已知集合 A 是奇函数集，B 是偶函数 集.若命题 p：f(x)A，|f(x)|B，则綈 p 为() A.f(x)A，|f(x)|BB.f(x)A，|f(x)|B C.f(x)A，|f(x)|BD.f(x)A，|f(x)|B 解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论. 綈 p：f(x)A，|f(x)|B. 答案C 角度 2全称(特称)命题的真假判断 【例 22】 (1)已知定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命 题的是() A.xR，f(x)f(x) B.xR，f(x)f(x) C.x0R，f(x0)f(x0) D.x0R，f(x0)f(x0) (2)(2
11、020衡水检测)已知命题 p：xN*， 1 2 x 1 3 x ，命题 q：xR，2x21 x 2 2，则下列命题中是真命题的是() A.pqB.(綈 p)q C.p(綈 q)D.(綈 p)(綈 q) 解析(1)定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数，xR，f(x)f(x)为假命题， x0R，f(x0)f(x0)为真命题. (2)因为 yxn(nN*)在(0，)上递增. xN*， 1 2 x 1 3 x 成立，p 为真命题. 又 2x21 x2 2x21x2 2， 当且仅当 2x21 x，即 x1 2时，上式取等号， 则 q 为真命题.因此 pq 为真命题. 答案(1)C(2)A 规律方法1
12、.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称 命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写 为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x，证 明 p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个 xx0，使 p(x0)成立即可. 【训练 2】 (1)(角度 1)命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式是() A.xR，1f(x)2 B.x0R，12 D.xR，f(x)1 或 f(x)2 (2)(角度 2)(2020株洲模拟)已知命题 p：x0
13、，exx1，命题 q：x(0，)， ln xx，则下列命题正确的是() A.pqB.(綈 p)q C.p(綈 q)D.(綈 p)(綈 q) 解析(1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1 或 f(x)2”. (2)令 f(x)exx1，则 f(x)ex1，当 x0 时， f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增， f(x)f(0)0，即 exx1，命题 p 真； 令 g(x)ln xx，x0，则 g(x)1 x1 1x x ， 当 x(0，1)时，g(x)0；当 x(1，)时，g(x)0， 即当 x1 时，g(x)取得极大值，也是最大值， 所以 g(x)maxg
14、(1)10， g(x)0 在(0，)上恒成立，则命题 q 假， 因此綈 q 为真，故 p(綈 q)为真. 答案(1)D(2)C 考点三由命题的真假求参数典例迁移 【例 3】 (1)已知命题 p：“x0，1，aex”；命题 q：“x0R，使得 x20 4x0 a 0”. 若 命 题 “pq” 是 真 命 题 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 _. (2)(经典母题)已知 f(x)ln(x21)，g(x) 1 2 x m，若对x10，3，x21，2， 使得 f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范围是_. 解析(1)若命题“pq”是真命题，那么命题 p，q 都是真命题.由x0，1， a
15、ex，得 ae；由x0R，使 x204x0a0，得164a0，则 a4，因此 ea4.则实数 a 的取值范围为e，4. (2)当 x0，3时，f(x)minf(0)0， 当 x1，2时，g(x)ming(2)1 4m， 由 f(x)ming(x)min， 得 01 4m，所以 m 1 4. 答案(1)e，4(2) 1 4， 【迁移】 本例(2)中，若将“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变， 则实数 m 的取值范围是_. 解析当 x1，2时，g(x)maxg(1)1 2m， 对x10，3，x21，2使得 f(x1)g(x2)等价于 f(x)ming(x)max，得 01 2m， m1
16、2. 答案 1 2， 规律方法1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题. 3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 【训练 3】 已知命题 p：xR，2x3x，命题 q：xR，x22x，若命题(綈 p)q 为真命题，则 x 的值为() A.1B.1C.2D.2 解析因为綈 p：xR，2x3x，要使(綈 p)q 为真，所以綈 p 与 q 同时为真. 由 2x3x，得 2 3 x 1，所以 x0. 由 x22x，得 x1 或 x2.
17、 由知 x2. 答案D 逻辑推理突破双变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存 在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为 两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻 辑推理素养和良好的数学思维品质. 类型 1形如“对任意 x1A，都存在 x2B，使得 g(x2)f(x1)成立”的问题 【例 1】 已知函数 f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)19 6 x1 3，若对任意 x 1 1，1，总存在 x20，2，使得 f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数 a 的取值范
18、围. 解由题意知，g(x)在0，2上的值域为 1 3，6. 令 h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)， 则 h(x)6x2，由 h(x)0 得 x1 3. 当 x 1，1 3 时，h(x)0，所以h(x)minh 1 3 a22a1 3. 又由题意可知，h(x)的值域是 1 3，6的子集， 所以 h（1）6， a22a1 3 1 3， h（1）6， 解得实数 a 的取值范围是2，0. 思维升华理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的 策略是“等价转化”，即“函数 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”，从而利用包含 关系构建关于 a 的不等式组，求得参数的取值范围.
19、 类型 2形如“存在 x1A 及 x2B，使得 f(x1)g(x2)成立”的问题 【例 2】 已知函数 f(x) 2x3 x1，x 1 2，1， 1 3x 1 6，x 0，1 2 ， 函数 g(x)ksinx 6 2k2(k0)， 若存在 x10，1及 x20，1，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 k 的取值范围. 解由题意，易得函数 f(x)的值域为0，1，g(x)的值域为 22k，23k 2 ，并且 两个值域有公共部分. 先求没有公共部分的情况，即 22k1 或 23 2k0，解得 k 4 3，所以，要使 两个值域有公共部分，k 的取值范围是 1 2， 4 3 . 思维升华本类问题的
20、实质是“两函数 f(x)与 g(x)的值域的交集不为空集”， 上述 解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任 意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和 g(x)的值域相等”来求解参数的 取值范围. 类型 3形如“对任意 x1A，都存在 x2B，使得 f(x1)1，x210”，则綈 p 为() A.x1，x210B.x1，x210 C.x01，x2010D.x01，x2010 解析命题 p：“x1，x210”，则綈 p 为：x01，x2010. 答案C 2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操 预赛中， 有甲、 乙两
21、位队员参加.设命题 p 是“甲落地站稳”， q 是“乙落地站稳”， 则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为() A.(綈 p)(綈 q)B.p(綈 q) C.(綈 p)(綈 q)D.pq 解析命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地 均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站 稳”，故可表示为(綈 p)(綈 q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等 价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“pq”的否定，选 A. 答案A 3.命题“nN*，f(n)N*且 f(n)n”的否定形式是() A.nN*，f(n)N*且 f(n)n B.n
22、N*，f(n)N*或 f(n)n C.n0N*，f(n0)N*且 f(n0)n0 D.n0N*，f(n0)N*或 f(n0)n0 解析全称命题的否定为特称命题， 该命题的否定是：n0N*，f(n0)N*或 f(n0)n0. 答案D 4.已知命题 p：xR，x2x10；命题 q：若 a2b2，则 a0 恒成立，所以 p 为真命题，则綈 p 为假命题； 当 a1，b2 时，满足 a2b2，但不满足 ax2，q：“ab4”是“a2， b2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是() A.pqB.(綈 p)q C.p(綈 q)D.(綈 p)(綈 q) 解析当 x2 时，2xx2，所以 p 是假命题；
23、由 a2，b2 可以推出 ab4；反之 不成立，例如 a2，b4，所以“ab4”是“a2，b2”的必要不充分条件，故 q 是假命题；所以(綈 p)(綈 q)是真命题. 答案D 6.已知命题“xR，4x2(a2)x1 40”是假命题，则实数 a 的取值范围为 () A.(，0)B.0，4 C.4，)D.(0，4) 解析因为命题“xR，4x2(a2)x1 40”是假命题，所以其否定命题“x R，4x2(a2)x1 40”是真命题. 则(a2)2441 4a 24a0，解得 0a0，得 3x11，所以 0 1 3x11， 所以函数 y 1 3x1的值域为(0，1)，故命题 q 为真命题. 所以 pq
24、 为假命题，pq 为真命题，p(綈 q)为假命题，綈 q 为假命题. 答案B 8.已知函数 f(x)a2x2a1.若命题“x(0，1)，f(x)0”是假命题，则实数 a 的取值范围是() A. 1 2，1B.(1，) C. 1 2，D. 1 2，1(1，) 解析函数 f(x)a2x2a1， 命题“x(0，1)，f(x)0”是假命题， 原命题的否定：“x0(0，1)，使 f(x0)0”是真命题， f(1)f(0)0，即(a22a1)(2a1)0，解得 a1 2，且 a1， 实数 a 的取值范围是 1 2，1(1，). 答案D 二、填空题 9.若“x 0， 4 ，tan xm”是真命题，则实数 m
25、 的最小值为_. 解析函数 ytan x 在 0， 4 上是增函数， ymaxtan 41， 依题意， my max， 即 m1.m 的最小值为 1. 答案1 10. 命 题 p 的 否 定 是 “ 对 所 有 正 数 x ，x x 1” ， 则 命 题 p 可 写 为 _. 解析因为 p 是綈 p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定 即可. 答案x0(0，)， x0 x01 11.(2020湖南百校大联考改编)下列四个命题： p1： 任意 xR， 2x0； p2： 存在 xR， x2x10；p3：任意 xR，sin xx2x1.其中是真 命题的为_. 解析xR，2x0 恒成
26、立，p1是真命题. 又 x2x1 x1 2 2 3 40，p 2是假命题. 由 sin 3 212 3 2 ，知 p3是假命题. 取 x1 2时，cos 1 2 cos 6 3 2 ， 但 x2x13 40 恒成 立.若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围为_. 解析由命题 p：x0R，(m1)(x201)0 可得 m1；由命题 q：xR，x2 mx10 恒成立，即m240，可得2m2， 若 pq 为真命题，则21. 答案(，2(1，) B 级能力提升 13.命题“xR，nN*，使得 nx2”的否定形式是() A.xR，nN*，使得 nx2 B.xR，nN*，使得 nx2 C.xR，nN*
27、，使得 nx2 D.x0R，nN*，使得 nx20 解析改变量词，否定结论. 该命题的否定应为：x0R，nN*，使得 nsin x，则命题 pq 为真 C.命题“x0R，x20 x010”的否定是“xR，x2x11，命题 p 是假命题.命题 q：当 x0 时，xsin x，命 题 q 是假命题，则命题 pq 为假.B 选项错误. 选项 C，命题“x0R，x20 x010”的否定是“xR，x2x10”，C 选项错误. 选项 D，xy，sin xsin y，该命题的逆否命题为真命题.D 选项正确. 答案D 15.已知函数 f(x) 3x，x0，当 m0 时，mx20， 所以命题 p 为假命题； 当
28、 m1 9时，因为 f(1)3 11 3， 所以 ff(1)f 1 3 1 9 1 3 2 0， 所以命题 q 为真命题； 逐项检验可知，只有(綈 p)q 为真命题. 答案 16.(2020漳州八校联考)设 p：函数 f(x)ax2x1 4a的定义域为 R，q：x(0， 1)，使得不等式 3x9xa0， （1）24a1 4a0， 解得 a1. 设 y3x9x.令 3xt，则 y3x9xtt2， 当 x(0，1)时，t(1，3)， 所以 y3x9x的值域为(6，0). 若命题 q 为真，则 a6. 由命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，可知 p，q 一真一假， 当 p 真 q 假时，a 不存
29、在；当 p 假 q 真时，6a1， 所以实数 a 的取值范围是(6，1). 答案(6，1) C 级创新猜想 17. (多选题)下列命题中是真命题的有() A.xR，2x 10 B.xN*，(x1)20 C.x0R，lg x01D.x0R，tan x02 解析当 x1 时，(x1)20，故 B 为假命题，其余都是真命题，故选 ACD. 答案ACD 18.(组合选择题)(2019全国卷)记不等式组 xy6， 2xy0 表示的平面区域为 D.命题 p：(x，y)D，2xy9；命题 q：(x，y)D，2x y12.下面给出了四个命题 pq綈 pqp綈 q綈 p綈 q 这四个命题中，所有真命题的编号是() A.B.C.D. 解析由不等式组画出平面区域 D，如图阴影部分所示， 在图中画出直线 2xy9，可知命题 p 正确， 作出直线 2xy12，2xy12 表示直线及其下方区域，易知命题 q 错误. 綈 p 为假，綈 q 为真，pq 为真，綈 pq 为假， p綈 q 为真，綈 p綈 q 为假.故真命题的编号为. 答案A
