1、第第 3 节节平面向量的数量积及平面向量的应用平面向量的数量积及平面向量的应用 考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量 积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运 算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简 单的力学问题与其他一些实际问题. 知 识 梳 理 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB (0180)叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)数量积的定义
2、：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则 a 与 b 的数量 积(或内积)ab|a|b|cos_.规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0. (3)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos_的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角. (1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2. (2)模：|a| aa x21y21. (3)夹角：cos ab |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22. (4)两非零向量 ab 的充要条件：
3、ab0 x1x2y1y20. (5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22. 3.平面向量数量积的运算律 (1)abba(交换律). (2)ab(ab)a(b)(结合律). (3)(ab)cacbc(分配律). 4.平面几何中的向量方法 三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 常用结论与微点提醒 1.向量 a 在向量 b 方向上的投影与向量 b 在向量 a 方向上的投影不是一个概念， 要加以区别. 2.两个向量 a，b 的夹角为
4、锐角ab0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为 钝角ab0 且 a，b 不共线. 3.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2； (2)(ab)2a22abb2. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两个向量的夹角的范围是 0， 2 .() (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.() (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向 量.() (4)若 abac(a0)，则 bc.() 解析(1)两个向量夹角的范围是0，. (4)由 abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，
5、c，所以向量 b 和 c 不 一定相等. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 4P108AT1 改编)设 a，b 是非零向量.“ab|a|b|”是“ab”的 () A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析设 a 与 b 的夹角为.因为 ab|a|b|cos |a|b|，所以 cos 1，即 a 与 b 的夹角为 0，故 ab. 当 ab 时，a 与 b 的夹角为 0或 180， 所以 ab|a|b|cos |a|b|， 所以“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件. 答案A 3.(新教材必修第二册 P21 例 12 改编)已知向
6、量 a，b 满足|a|1，|b|2 3，a 与 b 的夹角的余弦值为 sin 17 3 ，则 b(2ab)等于() A.2B.1C.6D.18 解析由题意知 cosa，bsin 17 3 sin 6 3 sin 3 3 2 ， 所以 ab|a|b|cosa，b12 3 3 2 3， b(2ab)2abb218. 答案D 4.(2019全国卷)已知AB (2，3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC( ) A.3B.2C.2D.3 解析因为BC ACAB(3，t)(2，3)(1，t3)，所以|BC| 12（t3）2 1，解得 t3，所以BC (1，0)， 所以AB BC21302. 答案C
7、5.(2020青岛调研)平面向量 a 与 b 的夹角为 45，a(1，1)，|b|2，则|3ab| 等于() A.136 2B.2 5C. 30D. 34 解析依题意得 a22，ab 22cos 452，|3ab|（3ab）2 9a26abb2 18124 34. 答案D 6.(2017全国卷)已知向量 a(1，2)，b(m，1).若向量 ab 与 a 垂直，则 m_. 解析由题意得 ab(m1，3)， 因为 ab 与 a 垂直，所以(ab)a0，所以(m1)230，解得 m7. 答案7 考点一平面向量的数量积运算 【例 1】 (1)(2019天津卷)在四边形 ABCD 中，ADBC，AB2
8、3，AD5， A30，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AEBE，则BD AE _. (2)(一题多解)(2019郑州二模)在 RtABC 中，BCA90，CB2，CA4，P 在边 AC 的中线 BD 上，则CP BP的最小值为( ) A.1 2 B.0C.4D.1 解析(1)如图，在等腰ABE 中，易得BAEABE30，故 BE 2. 则BD AE (AD AB )(ABBE) AD AB AD BE AB2ABBE 52 3cos 3052cos 180122 32cos 150 15101261. (2)法一由题意知，BD2 2，且CBD45. 因为点 P 在 AC 边的中线 BD
9、上， 所以设BP BD (01)， 如图所示，所以CP BP (CB BP )BP(CB BD )BD CB BD 2BD 2|CB|BD |cos 1352(2 2)28248 1 4 2 1 2， 当 1 4 时，CP BP取得最小值1 2，故选 A. 法二依题意，以 C 为坐标原点，分别以 AC，BC 所在的直线为 x 轴，y 轴，建 立如图所示的平面直角坐标系，则 B(0，2)，D(2，0)，所以直线 BD 的方程为 y x2，因为点 P 在 AC 边的中线 BD 上，所以可设 P(t，2t)(0t2)，所 以CP (t，2t)，BP(t，t)，所以CPBPt2t(2t)2t22t2
10、t1 2 2 1 2， 当 t1 2时，CP BP取得最小值1 2，故选 A. 答案(1)1(2)A 规律方法平面向量数量积的三种运算方法： (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cosa，b. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 提醒解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运 算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图 形中的角的关系是相等还是互补. 【训练 1】 (1)(2020皖南八校模拟)已知|a|
11、b|1，向量 a 与 b 的夹角为 45， 则(a2b)a_. (2)(2020咸阳模拟)在ABC 中，|BC|4，(AB AC)BC0，则BABC( ) A.4B.4C.8D.8 解析(1)因为|a|b|1，向量 a 与 b 的夹角为 45， 所以(a2b)aa22ab|a|22|a|b|cos 451 2. (2)设 M 为 BC 的中点，则AB AC2AM ， 又(AB AC)BC0，2AM BC 0， 即AM BC ，ABC 是等腰三角形且 ABAC， 则BA BC|BA|BC|cos BBMBC248. 答案(1)1 2(2)D 考点二平面向量数量积的应用多维探究 角度 1垂直问题
12、【例 21】 (2019青岛二模)已知ABC 中，A120，且 AB3，AC4， 若AP ABAC，且APBC，则实数的值为( ) A.22 15 B.10 3 C.6D.12 7 解析因为AP ABAC，且APBC， 所以有AP BC (AB AC )(AC AB )AB AC AB 2AC2AB AC ( 1)AB ACAB2AC20，整理可得(1)34cos 1209160， 解得22 15. 答案A 规律方法两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0，即：a(x1，y1)，b (x2，y2)，则 abab0 x1x2y1y20.应认识到此充要条件对含零向量在 内的所有向量均成立，因为
13、可视零向量与任意向量垂直. 角度 2长度问题 【例 22】 (1)(2020重庆调研)平面向量 a，b 满足|a|4，|b|2，ab 在 a 方 向上的投影为 5，则|a2b|为() A.2B.4C.8D.16 (2)已知向量OA ， OB 满足|OA |OB |2， OA OB 2， 若OC OA OB (， R)， 且1，则|OC |的最小值为() A.1B. 5 2 C. 2D. 3 解析(1)由题意知|ab|cos ab， a |ab|（ab）a |ab|a| a 2ab |a| 16ab 4 5，解得 ab4， (a2b)2a24ab4b216，|a2b|4. (2)|OC |2(O
14、A OB )2OA (1)OB 2 424(1)22(1)OA OB ， 因为OA OB 2，所以|OC |2424(1)22(1)242444 1 2 2 3，当1 2时，|OC |取得最小值 3. 答案(1)B(2)D 规律方法1.利用数量积求解向量模的问题常用的公式： (1)a2aa|a|2或|a| aa； (2)|ab| （ab）2 a22abb2； (3)若 a(x，y)，则|a| x2y2. 2.最值问题是利用条件构造以参数为自变量的函数，因此函数方法是最基本的方 法之一. 角度 3夹角问题 【例 23】 (2019全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则
15、 a 与 b 的夹角为() A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析由(ab)b，可得(ab)b0，abb2. |a|2|b|，cosa，b ab |a|b| b2 2b2 1 2. 0a，b，a 与 b 的夹角为 3.故选 B. 答案B 规律方法求向量夹角问题的方法 (1)当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角，需求出 ab 及|a|，|b|或得出它们 之间的关系. (2)若已知 a(x1，y1)与 b(x2，y2)，则 cosa，b x1x2y1y2 x21y21 x22y22.注意： a， b0，. 【训练 2】 (1)(角度 1)(2019北京卷)已知向量 a(4，
16、3)，b(6，m)，且 ab， 则 m_. (2)(角度 2)(2020临川九校联考)已知平面向量 a(2m1，2)，b(2，3m2)， 且 ab，则|2a3b|_. (3)(多填题)(角度 3)已知向量 a，b，其中|a| 3，|b|2，且(ab)a，则向量 a 和 b 的夹角是_，a(ab)_. 解析(1)由 ab，得 ab0. 又a(4，3)，b(6，m)， 463m0，解得 m8. (2)由 ab，得 ab2(2m1)2(3m2)0， 解得 m1，a(1，2)，b(2，1)， 2a3b(2，4)(6，3)(8，1)， |2a3b| 641 65. (3)由题意，设向量 a，b 的夹角为
17、.因为|a| 3，|b|2，且(ab)a，所以(a b)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 32 3cos 0，解得 cos 3 2 .又因为 0，所以 6，则 a(ab)|a| 2|a|b|cos 32 3 3 2 6. 答案(1)8(2) 65(3) 6 6 考点三平面向量与三角函数 【例 3】 (2019珠海摸底)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 向量 m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且 mn3 5. (1)求 sin A 的值； (2)若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA 在BC方向上的投影. 解(1)由 mn3
18、 5， 得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B3 5， 所以 cos A3 5.因为 0Ab，所以 AB，且 B 是ABC 一内角，则 B 4. 由余弦定理得(4 2)252c225c 3 5 ， 解得 c1，c7(舍去)， 故向量BA 在BC方向上的投影为|BA|cos Bccos B12 2 2 2 . 规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路： (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等 式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形 式，解题思路是经过向量的运算，利用
19、三角函数在定义域内的有界性求解. 【训练 3】 已知向量 a cos 2x，sin 2x， b(sin x， 3sin x)， f(x)ab. (1)求函数 f(x)的最小正周期及 f(x)的最大值； (2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f A 2 1，a2 3， 求ABC 面积的最大值并说明此时ABC 的形状. 解(1)由已知得 a(sin x，cos x)，又 b(sin x， 3sin x)， 则 f(x)absin2x 3sin xcos x 1 2(1cos 2x) 3 2 sin 2xsin 2x 6 1 2， f(x)的最小正周期 T2 2 ，
20、当 2x 6 22k(kZ)，即 x 3k(kZ)时， f(x)取得最大值3 2. (2)锐角ABC 中，因为 f A 2 sin A 6 1 21， sin A 6 1 2，A 3. 因为 a2b2c22bccos A， 所以 12b2c2bc， 所以 b2c2bc122bc， 所以 bc12(当且仅当 bc23时等号成立)，此时ABC 为等边三角形. SABC1 2bcsin A 3 4 bc3 3. 所以当ABC 为等边三角形时面积取最大值 3 3. 赢得高分巧用解析法解平面向量压轴题 平面向量问题一般有两种解决方法：一是利用平面向量基本定理选择基底，利用 向量的线性运算解决；二是通过建
21、立坐标系转化为代数运算解决. 【典例】 (一题多解)已知在OAB 中，OAOB2，AB2 3，动点 P 位于线 段 AB 上，则当PA PO 取最小值时，向量PA 与PO 的夹角的余弦值为_. 解析法一易知AOB120，记OA a，OB b， 则 ab2，设PA BAab(01)， 则PO PA AO (1)ab， 则PA PO (ab)(1)ab1226， 当1 4时，PA PO 取最小值3 4， 此时，|PA |1 4|BA |3 2 ， PO 3 4a 1 4b 1 4(3ab)， |PO |1 4|3ab| 7 2 ， 所以此时向量PA 与PO 的夹角的余弦值为 PA PO |PA |
22、PO | 3 4 3 2 7 2 21 7 . 法二取线段 AB 的中点 C，连接 OC，以线段 AB 的中点 C 为原点，以AB 的方 向为 x 轴正方向， CO 的方向为 y 轴正方向建立直角坐标系， 则 O(0， 1)， A( 3， 0)，B( 3，0)，设 P(x，0)( 3x 3). 则PA PO ( 3x，0)(x，1)x2 3x， 当 x 3 2 时，PA PO 取最小值3 4. 此时PA 3 2 ，0 ，PO 3 2 ，1 ， 所以向量PA 与PO 的夹角的余弦值为 PA PO |PA |PO | 3 4 3 2 7 2 21 7 . 答案 21 7 思维升华对比以上两种方法，
23、你会发现第二种解法，即解析法思路更加简单， 解析法可能不是最快的解题方法，但一定是思路最简单的方法，这种方法可能运 算繁琐，但和线性运算相比，可大大减少思路卡壳的可能. 【训练】 (一题多解)(2019江苏卷)如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD 与 CE 交于点 O.若 AB AC6AO EC ，则AB AC的值是_. 解析法一如图， 过点 D 作 DFCE 交 AB 于点 F， 由 D 是 BC 的中点，可知 F 为 BE 的中点.又 BE2EA，则知 EFEA， 从而可得 AOOD， 则有AO 1 2AD 1 4(AB AC)， ECACAE A
24、C 1 3AB ，所以 6AO EC 3 2(AB AC ) AC 1 3AB 3 2AC 21 2AB 2ABAC AB AC，整理可得 AB23AC2，所以AB AC 3. 法二以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直 角坐标系，如图所示. 设 E(1，0)，C(a，b)，则 B(3，0)，D a3 2 ，b 2 . lAD：y b a3x， lCE：y b a1（x1） O a3 4 ，b 4 . AB AC6AO EC ， (3，0)(a，b)6 a3 4 ，b 4 (a1，b)， 即 3a6 （a3）（a1） 4 b 2 4 ， a2b23，AC 3.AB AC 3
25、3 3. 答案 3 数学运算、数学建模平面向量与三角形的“四心” 1.数学运算是指在明晰运算的基础上， 依据运算法则解决数学问题的素养.通过学 习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范、 细致运算的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神. 2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情 境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本专题通过学习平面向量与 三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题. 三角形的“四心”： 设 O 为ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 (1)O 为ABC
26、的外心|OA |OB |OC | a 2sin A. (2)O 为ABC 的重心OA OB OC 0. (3)O 为ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA . (4)O 为ABC 的内心aOA bOB cOC 0. 类型 1平面向量与三角形的“重心” 【例 1】 已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点 P 满足OP 1 3(1)OA (1)OB (12)OC ，R，则点 P 的轨迹一定经过() A.ABC 的内心B.ABC 的垂心 C.ABC 的重心D.AB 边的中点 解析取 AB 的中点 D，则 2OD OA OB ， OP 1 3(1)OA (1)OB (1
27、2)OC ， OP 1 32(1)OD (12)OC 2（1） 3 OD 12 3 OC ， 而2（1） 3 12 3 1，P，C，D 三点共线， 点 P 的轨迹一定经过ABC 的重心. 答案C 类型 2平面向量与三角形的“内心”问题 【例 2】 在ABC 中，AB5，AC6，cos A1 5，O 是ABC 的内心，若OP xOB yOC ，其中 x，y0，1，则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为() A.10 6 3 B.14 6 3 C.4 3D.6 2 解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点 P 的轨迹是以 OB，OC 为邻 边的平行四边形及其内部，其面积为BOC 的面积的 2 倍.
28、 在ABC 中，设内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，由余弦定理 a2b2c2 2bccos A，得 a7. 设ABC 的内切圆的半径为 r，则 1 2bcsin A 1 2(abc)r，解得 r 2 6 3 ， 所以 SBOC1 2ar 1 27 2 6 3 7 6 3 . 故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2SBOC14 6 3 . 答案B 类型 3平面向量与三角形的“垂心”问题 【例 3】 已知 O 是平面上的一个定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动 点 P 满足OP OA ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C)，(0，)，则动点 P 的轨迹一
29、 定通过ABC 的() A.重心B.垂心C.外心D.内心 解析因为OP OA ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C)， 所以AP OP OA ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C)， 所以BC APBC( AB |AB |cos B AC |AC |cos C) (|BC |BC|)0， 所以BC AP，所以点 P 在 BC 的高线上，即动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂 心. 答案B 类型 4平面向量与三角形的“外心”问题 【例 4】 已知在ABC 中，AB1，BC 6，AC2，点 O 为ABC 的外心， 若AO xAB yAC，则有序实数对(x
30、，y)为( ) A. 4 5， 3 5B. 3 5， 4 5 C. 4 5， 3 5D. 3 5， 4 5 解析取 AB 的中点 M 和 AC 的中点 N，连接 OM，ON，则OM AB ，ON AC ， OM AM AO 1 2AB (xAB yAC ) 1 2xAB yAC ，ON AN AO 1 2AC (xAB yAC) 1 2yAC xAB. 由OM AB ，得 1 2xAB 2yACAB0， 由ON AC ，得 1 2yAC 2xACAB0， 又因为 BC 2(ACAB)2AC22ACABAB2， 所以AC ABAC 2AB2BC2 2 1 2， 把代入、得 12xy0， 4x8y
31、0，解得 x 4 5，y 3 5. 故实数对(x，y)为 4 5， 3 5 . 答案A A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020菏泽模拟)在等腰三角形 ABC 中，点 D 是底边 AB 的中点，若AB (1， 2)，CD (2，t)，则|CD |() A. 5B.5C.2 5D.20 解析由题意知AB CD ，122t0， t1，|CD | 22（1）2 5. 答案A 2.已知 a，b 为非零向量，则“ab0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析根据向量数量积的定义可知，若 ab0，则 a 与 b 的夹角为锐角
32、或零角， 若 a 与 b 的夹角为锐角，则一定有 ab0，所以“ab0”是“a 与 b 的夹角为锐 角”的必要不充分条件，故选 B. 答案B 3.(2020东营模拟)已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，ab( 3， 2)，则|2a b|等于() A.2 2B. 17C. 15D.2 5 解析根据题意，|ab| 32 5， 则(ab)2a2b22ab52ab5， 可得 ab0，结合|a|1，|b|2， 可得(2ab)24a2b24ab448， 则|2ab|2 2，故选 A. 答案A 4.(2019长沙质检)已知平面向量 a，b 满足(a2b)(3ab)，且|a|1 2|b|，则向量 a 与
33、 b 的夹角为() A. 3 B. 2 C.2 3 D.3 4 解析设 a 与 b 的夹角为. 因为|a|1 2|b|，所以|b|2|a|. 因为(a2b)(3ab)， 所以(a2b)(3ab)3a25ab2b2 3|a|25|a|b|cos 2|b|2 3|a|25|a|2|a|cos 2(2|a|)2 5|a|210|a|2cos 0，解得 cos 1 2. 又0，所以2 3 .故选 C. 答案C 5.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB4，BCCD2，若 E， F 分别是边 BC，AB 上的点，且满足BE BC AF AB，则当AE DF 0 时，的值所在的区间是() A. 1 8， 1
34、 4B. 1 4， 3 8 C. 3 8， 1 2D. 1 2， 5 8 解析在等腰梯形 ABCD 中，AB4，BCCD2， 可得AD ，BC 60， 所以AB ，AD 60，AB ，BC120， 所以AB AD 421 24， AB BC42 1 2 4， AD BC 221 22， 又BE BC AF AB，所以BE BC，AFAB， 则AE ABBEABBC， DF AF AD AB AD ， 所以AE DF (AB BC)(ABAD ) AB 2ABAD 2AB BCAD BC 0， 即 22720，解得7 33 4 (舍去)或7 33 4 1 4， 3 8 . 答案B 二、填空题 6
35、.(2019全国卷)已知向量 a(2，2)，b(8，6)，则 cosa，b_. 解析由题意得 ab2(8)264， |a| 22222 2，|b| （8）26210. cosa，b ab |a|b| 4 2 210 2 10. 答案 2 10 7.如图，在ABC 中，O 为 BC 的中点，若 AB1，AC3，AB 与AC 的夹角为 60，则|OA |_. 解析AB AC|AB|AC|cos 60131 2 3 2， 又AO 1 2(AB AC)， 所以 AO 21 4(AB AC)21 4(AB 22ABACAC2)， 即 AO 21 4(139) 13 4 ，所以|OA | 13 2 . 答
36、案 13 2 8.(2019佛山二模)在 RtABC 中，B90，BC2，AB1，D 为 BC 的中点， E 在斜边 AC 上，若AE 2EC，则DE AC _. 解析如图，以 B 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，BC 所在 直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 B(0，0)，A(1，0)，C(0， 2)，所以AC (1，2). 因为 D 为 BC 的中点，所以 D(0，1)， 因为AE 2EC，所以 E 1 3， 4 3 ， 所以DE 1 3， 1 3 ， 所以DE AC 1 3， 1 3 (1，2)1 3 2 3 1 3. 答案 1 3 三、解答题 9.在平面直角坐标系 xOy 中
37、，点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，1). (1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 t 满足(AB tOC )OC 0，求 t 的值. 解(1)由题设知AB (3，5)，AC(1，1)，则ABAC(2，6)，ABAC(4， 4). 所以|AB AC|2 10，|ABAC|4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2，2 10. (2)由题设知：OC (2，1)，AB tOC (32t，5t). 由(AB tOC )OC 0，得 (32t，5t)(2，1)0， 从而 5t11，所以 t11 5 . 10.已知向量 a(cos x，sin x)，b(3
38、， 3)，x0，. (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 解(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，ab， 所以 3cos x3sin x.则 tan x 3 3 . 又 x0，所以 x5 6 . (2)f(x)ab(cos x，sin x)(3， 3) 3cos x 3sin x2 3cos x 6 . 因为 x0，所以 x 6 6， 7 6 ， 从而1cos x 6 3 2 . 于是，当 x 6 6，即 x0 时，f(x)取到最大值 3； 当 x 6，即 x 5 6 时，f(x)取到最小值2 3. B
39、级能力提升 11.(2019北京卷)设点 A，B，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“|AB AC |BC|”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为点 A，B，C 不共线，所以线段 AB，BC，AC 构成一个三角形 ABC， 由向量加法的三角形法则，可知BC AC AB，所以|ABAC|BC|等价于|AB AC |AC AB |，因模为非负数，故不等号两边平方得 AB2AC22|AB|AC |cos AC 2AB22|AC |AB |cos (为AB与AC 的夹角)，整理得 4|AB |AC|cos 0， 故 cos
40、 0， 即为锐角.当AB 与AC的夹角为锐角， 可得ABAC0， 则有|AB|2|AC|2 2AB AC|AB|2|AC|22ABAC， 即有|ABAC|2|ACAB|2， 则|ABAC|2|BC|2， 故|AB AC|BC|，所以“AB与AC的夹角为锐角”是“|ABAC|BC|”的充分必 要条件.故选 C. 答案C 12.(一题多解)(2020武汉调研)在ABC 中，AB AC0，|AB|4，|BC|5，D 为 线段 BC 的中点，点 E 为线段 BC 垂直平分线 l 上任一异于 D 的点，则AE CB () A.7 2 B.7 4 C.7 4 D.7 解析法一|AC | |BC |2|AB
41、|23， AE CB(AD DE )CB AD CB DE CB AD CB 1 2(AB AC)(ABAC) 1 2(|AB |2|AC|2)7 2. 法二依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)， B(4，0)，因为|BC |5，所以 C(0，3)，D 2，3 2 ，易知直线 BC 的斜率为3 4，因为直线 DE 是线段 BC 的垂直平分线，所以直 线 DE 的方程为 y3 2 4 3(x2)，令 x0，得 y 7 6，所以直线 DE 与 y 轴的交 点坐标为 0，7 6 ，不妨令 E 0，7 6 ，因为CB (4，3)，所以AE CB 0，7 6 (4，3)7 2，故选 A
42、. 答案A 13.(2018浙江卷)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹 角为 3，向量 b 满足 b 24eb30，则|ab|的最小值是_. 解析设 O 为坐标原点，aOA ，bOB (x，y)，e(1， 0)，由 b24eb30 得 x2y24x30，即(x2)2y2 1，所以点 B 的轨迹是以 C(2，0)为圆心，1 为半径的圆. 因为 a 与 e 的夹角为 3， 所以不妨令点 A 在射线 y 3x(x0) 上，如图，数形结合可知|ab|min(|CA |CB|)min 31. 答案31 14.在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a，
43、b， c， 且满足( 2ac)BA BCcCBCA. (1)求角 B 的大小； (2)若|BA BC| 6，求ABC 面积的最大值. 解(1)由题意得( 2ac)cos Bbcos C. 根据正弦定理得( 2sin Asin C)cos Bsin Bcos C， 所以2sin Acos Bsin(CB)， 即2sin Acos Bsin A，因为 A(0，)，所以 sin A0， 所以 cos B 2 2 ，又 B(0，)，所以 B 4. (2)因为|BA BC| 6，所以|CA| 6， 即 b 6，根据余弦定理及基本不等式得 6a2c2 2ac2ac 2ac(2 2)ac(当且仅当 ac 时
44、取等号)，即 ac3(2 2). 故ABC 的面积 S1 2acsin B 3（ 21） 2 ， 因此ABC 的面积的最大值为3 23 2 . C 级创新猜想 15.(多选题)如图，点 A，B 在圆 C 上，则AB AC的值( ) A.与圆 C 的半径有关 B.与圆 C 的半径无关 C.与弦 AB 的长度有关 D.与点 A，B 的位置有关 解析如图，连接 AB，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D，则 D 是 AB 的中点，故AB AC |AB |AC |cosCAD|AB |AC | 1 2|AB | |AC | 1 2|AB |2，故ABAC的值与圆 C 的半径无关，只与弦 AB 的长度
45、有关，故选 BC. 答案BC 16.(新定义题)定义一种向量运算“”：ab ab，当 a，b 不共线时， |ab|，当 a，b 共线时 (a，b 是 任意的两个向量).对于同一平面内的向量 a，b，c，e，给出下列结论： abba； (ab)(a)b(R)； (ab)cacbc； 若 e 是单位向量，则|ae|a|1. 以上结论一定正确的是_(填序号). 解析当 a，b 共线时，ab|ab|ba|ba，当 a，b 不共线时，abab baba，故正确； 当0，b0 时，(ab)0，(a)b|0b|0，故错误； 当 ab 与 c 共线时，则存在 a，b 与 c 不共线，(ab)c|abc|，acbc acbc，显然|abc|acbc，故错误； 当 e 与 a 不共线时，|ae|ae|a|e|a|1，当 e 与 a 共线时， 设 aue，uR， |ae|ae|uee|u1|u|1，故正确. 综上，结论一定正确的是. 答案
