1、第第 4 节节直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定 两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问 题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 知 识 梳 理 1.直线与圆的位置关系 设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的 距离为 d，由 （xa）2（yb）2r2， AxByC0 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为. 位置关系相离相切相交 图形 量 化 方程观点0 几何观点drdrdr 2.圆
2、与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r(Rr)，两圆圆心间的距离为 d，则两圆的位置关系可 用下表表示： 位置关系外离外切相交内切内含 图形 量的关系dRrdRrRrdRrdRrdRr 公切线条数43210 常用结论与微点提醒 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0 b)(yb)r2. (3)过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0 xy0yr2. 2.直线被圆截得的弦长的
3、求法 (1)几何法： 运用弦心距 d、 半径 r 和弦长的一半构成的直角三角形， 计算弦长|AB| 2 r2d2. (2)代数法：设直线 ykxm 与圆 x2y2DxEyF0 相交于点 M，N，将直 线方程代入圆的方程中， 消去 y， 得关于 x 的一元二次方程， 求出 xMxN和 xMxN， 则|MN| 1k2 （xMxN）24xMxN. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件.() (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.() (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交
4、.() (4)过圆 O：x2y2r2外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 O， P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0 xy0yr2.() 解析(1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”的充分不必要条 件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 2P132A5 改编)直线 l：3xy60 与圆 x2y22x4y0 相交 于 A，B 两点，则|AB|_. 解析由 x2y22x4y0 得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1， 2)，半径 r 5.又圆心(1，2)到直线
5、 3xy60 的距离为 d|326| 91 10 2 ， 由 |AB| 2 2 r2d2，得|AB|210，即|AB| 10. 答案10 3.(老教材必修 2P133A9 改编)圆 x2y240 与圆 x2y24x4y120 的公 共弦长为_. 解析由 x2y240， x2y24x4y120得两圆公共弦所在直线方程xy20.又圆 x 2 y24 的圆心到直线 xy20 的距离为 2 2 2.由勾股定理得弦长的一半为 42 2，所以，所求弦长为 2 2. 答案2 2 4.(2019太原模拟)若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0 外切，则 m() A.21B.19C.9D.11
6、 解析圆 C1的圆心为 C1(0，0)，半径 r11，因为圆 C2的方程可化为(x3)2(y 4)225m，所以圆 C2的圆心为 C2(3，4)，半径 r2 25m(m25).从而|C1C2| 32425.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即 1 25m5，解得 m9. 答案C 5.(2020临沂质检)已知直线 l：x 3ya0 与圆 C：(x3)2(y 3)24 交于 点 M，N，点 P 在圆 C 上，且MPN 3，则 a 的值为( ) A.2 或 10B.4 或 8 C.62 2D.62 3 解析因为圆的半径是 r2，圆心坐标是 C(3， 3)，MPN 3，且 P 在圆 C 上， 所以MC
7、N2 3 ， 则|MN|2 3.又点 C 到直线 l 的距离 d|33a| 13 |a6| 2 ， |MN| 2 2 d2r2，所以( 3)2（a6） 2 4 4，则 a62，即 a4 或 8. 答案B 6.(多填题)(2019浙江卷)已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2xy 30 与圆 C 相切于点 A(2，1)，则 m_，r_. 解析根据题意画出图形，可知 A(2，1)，C(0，m)，B(0，3)， 则|AB| （20）2（13）22 5， |AC| （20）2（1m）2 4（m1）2， |BC|m3|. 直线 2xy30 与圆 C 相切于点 A， BAC90，|A
8、B|2|AC|2|BC|2. 即 204(m1)2(m3)2， 解得 m2. 因此 r|AC| 4（21）2 5. 答案25 考点一直线与圆的位置关系多维探究 角度 1位置关系的判断 【例 11】 在ABC 中，若 asin Absin Bcsin C0，则圆 C：x2y21 与 直线 l：axbyc0 的位置关系是() A.相切B.相交C.相离D.不确定 解析因为 asin Absin Bcsin C0， 所以由正弦定理得 a2b2c20. 故圆心 C(0，0)到直线 l：axbyc0 的距离 d |c| a2b21r，故圆 C：x 2 y21 与直线 l：axbyc0 相切，故选 A. 答
9、案A 规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 角度 2弦长问题 【例 12】 (2020广东名校联盟联考)设圆 x2y22x2y20 的圆心为 C， 直线 l 过(0， 3)， 且与圆 C 交于 A， B 两点， 若|AB|2 3， 则直线 l 的方程为() A.3x4y120 或 4x3y90 B.3x4y120 或 4x3y90 C.4x3y90 或 x0 D.3x4y
10、120 或 x0 解 析当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 ， 直 线 l 的 方 程 为 x 0 ， 由 x0， x2y22x2y20，得 x0， y1 3或 x0， y1 3， |AB|2 3，符合题意. 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx3，由已知可得圆的标准方程 为(x1)2(y1)24，其圆心为 C(1，1)，半径 r2，圆心 C(1，1)到直线 kx y30 的距离 d|k13| k21 |k2| k21，d 2r2 |AB| 2 2 ，（k2） 2 k21 4 2 3 2 2 ，即(k2)2k21，解得 k3 4，直线 l 的方程为 y 3 4x3，即
11、 3x 4y120.综上，满足题意的直线 l 的方程为 x0 或 3x4y120，故选 D. 答案D 规律方法弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在 判别式0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2. 【训练 1】 (1)(角度 1)(2019西安八校联考)若过点 A(3， 0)的直线 l 与曲线(x1)2 y21 有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为() A.( 3， 3)B. 3， 3 C.( 3 3 ， 3 3 )D. 3 3 ， 3 3 (2)(角
12、度 2)(2018全国卷)直线 yx1 与圆 x2y22y30 交于 A，B 两点， 则|AB|_. 解析(1)数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x3)，则 圆心(1，0)到直线 yk(x3)的距离应小于等于半径 1，即 |2k| 1k21，解得 3 3 k 3 3 . (2)由题意知圆的方程为 x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为 2，则 圆心到直线 yx1 的距离 d|11| 2 2，所以|AB|2 22（ 2）22 2. 答案(1)D(2)2 2 考点二圆的切线问题典例迁移 【例 2】 (经典母题)过点 P(2，4)引圆 C：(x1)2(y1)
13、21 的切线，则切线方 程为_. 解析当直线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，圆心到直线的距离等 于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y4 k(x2)，即 kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半 径，即 d |k142k| k2（1）2 |3k| k211， 解得 k4 3， 所求切线方程为 4 3xy42 4 30， 即 4x3y40. 综上，切线方程为 x2 或 4x3y40. 答案x2 或 4x3y40 【迁移 1】 在例 2 中，若点 P 坐标变为 2 2 1， 2 2 1 ，其他条件不变，求切 线方程. 解易知点 P 2 2 1， 2
14、 2 1 在圆 C： (x1)2(y1)21 上， 则 kPC 2 2 11 2 2 11 1， 所求切线方程的斜率为1， 则切线方程为 y 2 2 1 x 2 2 1 ， 即 xy 220. 【迁移 2】 在例 2 中，已知条件不变，设两个切点为 A，B，求切点弦 AB 所在 的直线方程. 解由题意得，点 P，A，C，B 在以 PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x2)(x 1)(y4)(y1)0， 整理得 x2y23x5y60， 圆 C：(x1)2(y1)21 展开得 x2y22x2y10， 由得 x3y50，即为直线 AB 的方程. 【迁移 3】 (多填题)在例 2 中，已知条件不变，则切
15、线 PA 的长度为_， 弦 AB 的长度为_. 解析如图，在 RtPAC 中， |PA| |PC|2|AC|2 1013. 又1 2|PA|AC| 1 2|PC| |AB| 2 ，解之得|AB|3 10 5 . 答案3 3 10 5 规律方法求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直 线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该 点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线. 【训练 2】 过直线 y2x3 上的点作圆 C：x2y24x6y120 的切线，则 切线长的最小值为() A. 19B.2 5C. 21D. 55 5 解析圆的方程可化为(x2
16、)2(y3)21，要使切线长最小，只需直线 y2x 3 上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，3)到直线 y2x3 的距离 d，d|2233| 5 2 5，故切线长的最小值为 d2r2 19. 答案A 考点三圆与圆的位置关系 【例 3】 (2020济宁调研)已知两圆 x2y22x6y10， x2y210 x12ym 0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？ (3)当 m45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211， (x5)2(y6)261m， 所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为
17、 11， 61m， (1)当两圆外切时， 由 （51）2（63）2 11 61m， 得 m2510 11. (2)当两圆内切时，因为定圆半径 11小于两圆圆心之间的距离 5，所以 61m 115，解得 m2510 11. (3)由(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，得两圆的公共弦所在直 线的方程为 4x3y230. 故两圆的公共弦的长为 2（ 11）2（|413323| 4232 ）22 7. 规律方法1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与 两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2
18、，y2项 得到. 【训练 3】 已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是() A.内切B.相交C.外切D.相离 解析由题意得圆 M 的标准方程为 x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线 xy0 的距离 d a 2，所以 2 a2a 2 2 2 2，解得 a2，圆 M，圆 N 的圆心距|MN| 2小于两圆半径之和 12，大于两圆半径之差 1，故两圆相交. 答案B A 级基础巩固 一、选择题 1.若直线 l：xym0 与圆 C：x2y24x2y10 恒有公共点，则 m 的取 值范围是() A. 2， 2
19、B.2 2，2 2 C. 21， 21D.2 21，2 21 解析圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为(2，1)，半径为 2，圆心到 直线的距离 d|21m| 2 ，若直线与圆恒有公共点，则|21m| 2 2， 解得2 21m2 21，故选 D. 答案D 2.(多选题)平行于直线 xy10，且与圆 x2y24 相切的直线的方程是() A.xy2 20B.xy20 C.xy2 20D.xy20 解析根据题意，所求直线平行于直线 xy10，则设所求直线的方程为 x ym0，若所求直线与圆 x2y24 相切，则|m| 22，解得 m2 2，则所求直 线的方程为 xy2 20. 答案AC
20、 3.(2020广州调研)已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得的弦的长 度为 4，则实数 a 的值是() A.2B.4C.6D.8 解析将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a， 所以圆心为(1， 1)， 半径 r 2a，圆心到直线 xy20 的距离 d|112| 2 2，故 r2d2 4，即 2a24，所以 a4.故选 B. 答案B 4.圆 x22xy24y30 上到直线 xy10 的距离为 2的点共有() A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析圆的方程可化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线的距离 d |121| 2 2，半径是 2 2，结合图形(图略)可
21、知有 3 个符合条件的点. 答案C 5.过点 P(1，2)作圆 C：(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB 所在直线的方程为() A.y 3 4 B.y1 2 C.y 3 2 D.y1 4 解析由题意知，点 P，A，C，B 在以 PC 为直径的圆上，易求得这个圆为(x 1)2(y1)21，此圆的方程与圆 C 的方程作差可得 AB 所在直线的方程为 y 1 2. 答案B 二、填空题 6.过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦的长为_. 解析设 P(3，1)，圆心 C(2，2)，则|PC| 2，半径 r2.由题意知最短的弦过 P(3，1)且与 PC 垂直，所
22、以最短弦长为 2 22（ 2）22 2. 答案2 2 7.若 A 为圆 C1：x2y21 上的动点，B 为圆 C2：(x3)2(y4)24 上的动点， 则线段 AB 长度的最大值是_. 解析圆 C1：x2y21 的圆心为 C1(0，0)，半径 r11， 圆 C2：(x3)2(y4)24 的圆心为 C2(3，4)，半径 r22， |C1C2|5.又 A 为圆 C1上的动点，B 为圆 C2上的动点， 线段 AB 长度的最大值是|C1C2|r1r25128. 答案8 8.(2020石家庄质检)已知直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A，B 两点 (O 为坐标原点)，且AOB 为等腰直角三
23、角形，则实数 a 的值为_. 解析因为直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A，B 两点(O 为坐标原 点)，且AOB 为等腰直角三角形，所以 O 到直线 AB 的距离为 1，由点到直线 的距离公式可得 |a| 12（2）21，所以 a 5. 答案5或 5 三、解答题 9.已知圆 C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程； (1)与直线 l1：xy40 平行； (2)与直线 l2：x2y40 垂直； (3)过切点 A(4，1). 解(1)设切线方程为 xyb0， 则|12b| 2 10，b12 5， 切线方程为 xy12 50. (2)设切线方程为 2xym0， 则
24、|22m| 5 10，m5 2， 切线方程为 2xy5 20. (3)kAC21 14 1 3， 过切点 A(4，1)的切线斜率为3， 过切点 A(4，1)的切线方程为 y13(x4)， 即 3xy110. 10.已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点. (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径 r1， 由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1， 因为 l 与 C 交于两点，所以|2k31| 1k2 1. 解得4 7 3 k0)所得的弦长为 14
25、，点 M，N 在圆上，且直线 l：(12m)x(m1)y3m0 过定点 P，若 PMPN，则|MN| 的取值范围为() A.2 2，2 3B.2 2，2 2 C. 6 2， 6 3D. 6 2， 6 2 解析由题意：2r21 2 14，解得 r2，因为直线 l：(12m)x(m1)y 3m0 过定点 P，故 P(1，1)；设 MN 的中点为 Q(x，y)，则|OM|2|OQ|2|MQ|2 |OQ|2|PQ|2，即 4x2y2(x1)2(y1)2，化简可得 x1 2 2 y1 2 2 3 2， 所以点 Q 的轨迹是以 1 2， 1 2 为圆心， 6 2 为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为 6
26、2 2 ， 6 2 2，|MN|的取值范围为 6 2， 6 2.故选 D. 答案D 13.(2020长沙调研)在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C1：x2(y1)2r2(r0)上 存在点 P， 且点 P 关于直线 xy0 的对称点 Q 在圆 C2： (x2)2(y1)21 上， 则 r 的取值范围是_. 解析圆 C1关于直线 xy0 对称的圆 C3的方程为(x1)2y2r2，则圆 C3与 圆 C2存在公共点，所以|r1| 2r1，所以 r 21， 21. 答案 21， 21 14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M： x2y212x14y600 及其上一点 A(2
27、，4). (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上， 求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且|BC|OA|，求直线 l 的方 程； (3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TA TPTQ ，求实数 t 的取值范围. 解(1)圆 M 的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心 M(6，7)，半径 r 5， 由题意，设圆 N 的方程为(x6)2(yb)2b2(b0). 且 （66）2（b7）2b5. 解得 b1，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21. (2)kOA2，
28、可设 l 的方程为 y2xm，即 2xym0. 又|BC|OA| 22422 5. 由题意， 圆 M 的圆心 M(6， 7)到直线 l 的距离为 d52 |BC| 2 2 2552 5. 即 |267m| 22（1）22 5，解得 m5 或 m15. 直线 l 的方程为 y2x5 或 y2x15. (3)由TA TPTQ，则四边形 AQPT 为平行四边形， 又P，Q 为圆 M 上的两点，|PQ|2r10. |TA|PQ|10，即 （t2）24210， 解得 22 21t22 21. 故所求 t 的取值范围为22 21，22 21. C 级创新猜想 15.(多选题)已知圆 O1的方程为 x2y2
29、1，圆 O2的方程为(xa)2y24，如果 这两个圆有且只有一个公共点，那么 a 的取值可以是() A.1B.3C.1D.3 解析由题意得两圆的圆心距 d|a|213 或 d|a|211，解得 a3 或 a3 或 a1 或 a1，所以 a 的所有取值构成的集合是1，1，3， 3. 答案ABCD 16.(多填题)过点 P 3 2， 3 2 的直线 l 与圆 C：(x1)2y24 交于 A，B 两点，当 ACB 最小时，此时直线 l 的方程为_，ACB_. 解析圆 C：(x1)2y24 的圆心为 C(1，0)，验证知点 P 在圆内，当ACB 最小时，|AB|最短，即 CP 和 AB 垂直，因为 CP 的斜率 kCP 3 2 0 3 21 3，所以 直线 AB 的斜率为 3 3 ， 所以直线 l 的方程为 y 3 2 3 3 x3 2 ， 即 x 3y3 0.此时|CP| |2| 131，所以ACP 3，ACB 2 3 . 答案x 3y30 2 3
