1、第第 5 节节函数函数 yAsin(x)的图象及应用的图象及应用 考试要求1.结合具体实例，了解 yAsin(x)的实际意义；能借助图象理解 参数，A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决 简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 知 识 梳 理 1.函数 yAsin(x)的有关概念 yAsin(x)(A0，0)， x0， )表示一个振动量时 振幅周期频率相位初相 A T2 f1 T 2 x 2.用“五点法”画 yAsin(x)(A0，0，|0，0)的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长度. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内
2、打“”或“”) (1)将函数 y3sin 2x 的图象左移 4 个单位长度后所得图象的解析式是 y 3sin 2x 4 .() (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长 度一致.() (3)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T， 那么函数图象的两个相邻对称中心之 间的距离为T 2.( ) (4)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低 点的值确定的.() 解析(1)将函数 y3sin 2x 的图象向左平移 4个单位长度后所得图象的解析式是 y3cos 2x. (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移
3、单 位长度为| |.故当1 时平移的长度不相等. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第一册 P240T1 改编)为了得到函数 ysin 2x 3 的图象，只需把 函数 ysin 2x 图象上所有的点() A.向左平移 3个单位长度 B.向右平移 3个单位长度 C.向左平移 6个单位长度 D.向右平移 6个单位长度 解析因为 ysin 2x 3 sin 2 x 6 ，所以要得到其图象，需把 ysin 2x 图象 上所有的点向左平移 6个单位长度. 答案C 3.(老教材必修 4P66T4 改编)如图所示， 某地夏天从 814 时的用电量变化曲线近 似满足函数 yAsin(x)b.则这段
4、曲线的函数解析式为_. 解析观察图象可知从814时的图象是yAsin(x)b的半个周期的图象， A1 2(5030)10，b 1 2(5030)40. 1 2 2 148， 6， y10sin 6x40. 将 x8，y30 代入上式，解得 6. 所求解析式为 y10sin 6x 6 40，x8，14. 答案y10sin 6x 6 40，x8，14 4.(2019衡水中学联考)将曲线 C1：y2cos 2x 6 上的点向右平移 6个单位长度， 再将各点横坐标缩短为原来的1 2， 纵坐标不变， 得到曲线 C 2， 则 C2的方程为() A.y2sin 4xB.y2sin 4x 3 C.y2sin
5、xD.y2sin x 3 解析将曲线 C1：y2cos 2x 6 上的点向右平移 6个单位长度，可得 y2sin 2x 的图象， 再将各点横坐标缩短为原来的1 2， 纵坐标不变， 可得曲线 C 2： y2sin 4x， 故选 A. 答案A 5.(2020临沂模拟改编)ycos(x1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是 _. 解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之差恰为半个周期，故 它们之间的距离为 24. 答案24 6.(2020太原一模)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如 图，则函数 g(x)cos(4x)的解析式为_. 解析由题图可得 A2 3，T
6、 26(2)8， T2 16， 8，则 f(x)2 3sin 8x. 函数 f(x)的图象过点(6，0)，且在点(6，0)附近递增， 3 4 2k，kZ，3 4 2k，kZ. 又|0，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图象. 若 yg(x)图象的一个对称中心为 5 12，0，求的最小值. 解(1)根据表中已知数据，解得 A5，2， 6.数据补全如下表： x0 2 3 2 2 x 12 3 7 12 5 6 13 12 Asin(x)05050 且函数解析式为 f(x)5sin 2x 6 . (2)由(1)知 f(x)5sin 2x 6 ， 得 g(x)5sin 2x2 6 . 因为函数 ys
7、in x 图象的对称中心为(k，0)(kZ). 令 2x2 6k，kZ，解得 x k 2 12(kZ). 由于函数 yg(x)的图象关于点 5 12，0成中心对称，所以令 k 2 12 5 12(kZ)，解得 k 2 3(kZ). 由0 可知，当 k1 时，取得最小值 6. 规律方法作函数 yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换， 设 zx，由 z 取 0， 2， 3 2，2来求出相应的 x，通过列表，计算得出五 点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数 ysin x 的图象通过变换得到 y
8、Asin(x)的图象有 两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 【训练 1】 (1)(2017全国卷)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin 2x2 3 ，则 下面结论正确的是() A.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移 6个单位长度，得到曲线 C 2 B.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左 平移 12个单位长度，得到曲线 C 2 C.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平 移 6个单位长度，得到曲线 C 2 D.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，
9、纵坐标不变，再把得到的曲线向左平 移 12个单位长度，得到曲线 C 2 (2)(2020石家庄调研)若把函数 ysin x 6 的图象向左平移 3个单位长度，所 得到的图象与函数 ycos x 的图象重合，则的一个可能取值是() A.2B.3 2 C.2 3 D.1 2 解析(1)易知 C1：ycos xsin x 2 ，把曲线 C1上的各点的横坐标缩短到原 来的1 2倍，纵坐标不变，得到函数 ysin 2x 2 的图象，再把所得函数的图象向 左平移 12个单位长度，可得函数 ysin 2 x 12 2sin 2x2 3 的图象，即曲 线 C2，因此 D 项正确. (2)ysin x 3 6
10、和函数 ycos x 的图象重合，可得 3 6 22k， kZ，则6k2，kZ. 2 是的一个可能值. 答案(1)D(2)A 考点二由图象求函数 yAsin(x)的解析式 【例 2】 (1)(一题多解)(2019长郡中学、衡阳八中联考)函数 f(x)sin(x) 0，|0，0，02)的部分图象 如图所示，则 f(2 019)的值为_. 解析(1)法一T2 11 12 5 12 2 ，2， 因此 f(x)sin(2x). 由五点作图法知 A 5 12，1是“第二点”，得 25 12 2， 所以 3 满足|0， 3.f(x)Asin 3x. 又f(1)A，Asin 3A，即 sin 31. 又 0
11、2， 6.f(x)Asin 3x 6 . 又知 f(0)1， Asin 61，得 A2，f(x)2sin 3x 6 . f(2 019)2sin 2 019 3 6 2sin 673 6 2sin 3362 6 2sin 6 2sin 61. 答案(1)C(2)1 规律方法yAsin(x)中的确定方法 (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下 降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. (2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 【训练 2】(1)(2020佛山模拟)某地一天 614 时的温度变化 曲线近似满足函数 yAsin(x)b(|
12、0)的图 象向左平移 00.由函数图象可知，函数的最大值 M 为 30，最小值 m 为 10，周 期 T2(146)16， AMm 2 3010 2 10，bMm 2 3010 2 20. 又知 T2 |，0， 2 16 8，y10sin 8x20. 又知该函数图象经过(6，10)， 1010sin 8620，即 sin 3 41， 5 4 2k(kZ)， 又|，3 4. 故函数的解析式为 y10sin 8x 3 4 20，x6，14. (2)由题图知，T2 11 12 5 12 ， 2 T 2，f(x)2cos 2x， f(x)2cos(2x2)， 则由图象知，f 5 122cos 5 62
13、2. 5 6 22k(kZ)，则 12k(kZ). 又 00， 2 2 的图象 相邻的两个对称中心之间的距离为 2，若将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度 后得到偶函数 g(x)的图象，则函数 f(x)的一个单调递减区间为() A. 3， 6B. 4， 7 12 C. 0， 3D. 2， 5 6 解析因为函数 f(x)sin(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 2，所 以T 2 2，即 T，即 2 ，2，得 f(x)sin(2x)，将 f(x)的图象向左平移 6个单位长度后，得到 g(x)sin 2x 3的图象，因为 g(x)为偶函数，所以 3 k 2(kZ)，解得k 6(kZ)
14、.又因为 2 2，所以 6， 所以 f(x)sin 2x 6 . 令 22k2x 6 3 2 2k(kZ)， 解得 6kx 2 3 k(kZ). 当 k0 时，得到一个单调递减区间为 6， 2 3 . 又 4， 7 12 6， 2 3 ，故选 B. 答案B 角度 2三角函数的零点(方程的根)问题 【例 32】 已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2xm10 在 2，上有两个不 同的实数根，则 m 的取值范围是_. 解析方程 2sin2x 3sin 2xm10 可转化为 m12sin2x 3sin 2x cos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 ，x 2，.设 2x 6t，则 t
15、 7 6， 13 6 ，所以题 目条件可转化为m 2 sin t， t 7 6， 13 6 有两个不同的实数根.所以 y1m 2 和 y2sin t，t 7 6， 13 6 的图象有两个不同交点，如图： 由图象观察知，m 2 的取值范围是 1，1 2 ，故 m 的取值范围是(2，1). 答案(2，1) 角度 3三角函数模型的应用 【例 33】 如图，某大风车的半径为 2 米，每 12 秒旋转一周， 它的最低点 O 离地面 1 米，点 O 在地面上的射影为 A.风车圆周 上一点 M 从最低点 O 开始，逆时针方向旋转 40 秒后到达 P 点， 则点 P 到地面的距离是_米. 解析以圆心 O1为原
16、点，以水平方向为 x 轴方向，以竖直方向 为 y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为 2 米， 圆上最低点 O 离地面 1 米，12 秒转动一周，设OO1M，运 动 t(秒)后与地面的距离为 f(t). 又周期 T12，则2 T 6，所以 6t， 则 f(t)32cos 6t(t0)， 当 t40 s 时，f(t)32cos 6404. 答案4 规律方法1.研究 yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元 法和数形结合思想进行解题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把 实际问题抽象转化
17、成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. 【训练 3】(1)(角度 1)(2019天津卷)已知函数 f(x)Asin(x)(A0， 0， |0)满足 f(0)f 3 ，且函数在 0， 2 上有且 只有一个零点，则 f(x)的最小正周期为_. (3)(角度 3)某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数 ya Acos 6（x6）(x1，2，3，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高 为28 ， 12月份的月平均气温最低为18 ， 则10月份的平均气温为_. 解析(1)因为 f(x)是奇函数(显然定义域为 R)，所以 f(0)Asin 0，即 sin 0. 又|0)在
18、区间0，1上至少出现 50 次最大值，则 的最小值为() A.98B.197 2 C.199 2 D.100 解析由题意，至少出现 50 次最大值即至少需要 49 1 4个周期，所以 197 4 T 197 4 2 1，所以197 2 . 答案B 思维升华解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期 T2 与所给区间的关 系，从而建立不等关系. 类型 2三角函数的单调性与的关系 【例 2】 若函数 f(x)sin x(0)在区间 3， 2 上单调递减，则的取值范围是 () A. 0，2 3B. 0，3 2 C. 2 3，3D. 3 2，3 解析令 22kx 3 2 2k(kZ)，得 2 2k x 3
19、 2 2k ，因为 f(x)在 3， 2 上单调递减， 所以 2 2k 3， 2 3 2 2k ，得 6k 3 24k3. 又0，所以 k0， 又 6k3 24k3，得 0k0)在区间 3， 2 上单调递减，建立不等式，即可求的取值 范围. 类型 3三角函数的对称性、最值与的关系 【例 3】 (1)(2020泉州模拟)已知 f(x)sin xcos x 2 3 ，若函数 f(x)图象的 任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(，2)，则的取值范围是 _.(结果用区间表示) (2)已知函数 f(x)2sin x 在区间 3， 4 上的最小值为2，则的取值范围是 _. 解析(1)f(x)
20、sin xcos x 2sin x 4 ， 令x 4 2k(kZ)，解得 x 3 4 k (kZ). 当 k0 时，3 4，即 3 4， 当 k1 时，3 4 2，即 7 8. 综上，3 4 7 8. (2)显然0，分两种情况： 若0，当 x 3， 4 时， 3x 4. 因函数 f(x)2sin x 在区间 3， 4 上的最小值为2，所以 3 2，解得 3 2. 若0)个单位后得到的图象经过原点，则的最小值为() A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 解析将函数 f(x)sin 3x 4 的图象向左平移(0)个单位后得到的图象对应 的解析式为 ysin 3（x） 4 ，因为其图象经过原点，
21、 所以 sin 3 4 0，所以 3 4k，kZ，解得 k 3 12，kZ，又0， 所以的最小值为 3 12 4. 答案B 4.(多选题)已知 f(x)Asin(x)B A0，0，|0)个单位 后，得到函数 g(x)的图象，若 g(x)g 12x，则实数 t 的最小值为() A.5 24 B.7 24 C.5 12 D.7 12 解析由题意得，f(x)2sin 2x 6 ， 则 g(x)2sin 2x2t 6 ， 从而 2sin 2x2t 6 2sin 2 12x2t 62sin(2x2t)2sin(2x2t)， 又 t0， 所以 2t 62t2k，即 t 7 24 k 2 (kZ)，实数 t
22、min 7 24. 答案B 二、填空题 6.将函数 ysin x 的图象上所有的点向右平移 10个单位长度，再把所得各点的横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) ， 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 是 _. 答案ysin 1 2x 10 7.(2020沈阳质检)函数 f(x)Asin(x)(A0， 0， 0) 的部分图象如图所示，则 f 4 _. 解析由图象可知 A2，3 4T 11 12 6 3 4 ， T，2. 当 x 6时，函数 f(x)取得最大值， 2 6 22k(kZ)， 62k(kZ)， 又 00，0，| 2)的模型波动(x 为月份)，已知
23、3 月份达到最高 价 9 千元，9 月份价格最低为 5 千元.则 7 月份的出厂价格为_元. 解析作出函数简图如图： 三角函数模型为： yAsin(x)B， 由题意知，A2 000， B7 000， T2(93)12， 2 T 6. 将(3，9 000)看成函数图象的“第二点”， 则有 63 2，0，满足|0，|0，由图象可知，A1， 又知T 4 7 12 3 4，得 T， 又T2 |，0， 2 T 2，f(x)sin(2x). 又知函数图象经过点 7 12，1， f 7 121，即 sin 7 61， 7 62k 3 2(kZ)，得2k 3(kZ). 又| 2， 3，函数 f(x)的解析式为
24、 f(x)sin 2x 3 .故只需将 f(x)的图象 向右平移 6个单位长度即可得到 g(x)sin 2x 的图象，因此选 A. 答案A 12.(2020烟台模拟)将函数 f(x)sin 2x 3cos 2x1 的图象向右平移 6个单位长 度后得到函数 g(x)的图象，当 a(0，1)时，方程|g(x)|a 在区间0，2上所有 根的和为() A.6B.8C.10D.12 解析f(x)sin 2x 3cos 2x12sin 2x 3 1，将其图象向右平移 6个单位长 度后得到 g(x)2sin 2x1 的图象.画出函数 y|g(x)|的图象与直线 ya(0a1) 如图，由图知两图象在0，2上共
25、有 8 个交点，其中交点 A 与 D，B 与 C 分别 关于直线 x3 4 对称，交点 E 与 H，F 与 G 分别关于直线 x7 4 对称，所以 xA xDxBxC3 2 ， xExHxFxG7 2 ， 故所有交点横坐标之和为 10， 则方程|g(x)| a 在区间0，2上所有根的和为 10. 答案C 13.(一题多解)(2019南昌测试)已知函数 f(x)sin(x) 03，| 2 ，若 f 12 f 5 12 0，则 f()_. 解 析法 一因 为 f 12 f 5 12 0 ， 所 以 sin 120， sin 5 12 0， 得 12k 1， 5 12k 2， (k1，k2Z)，两式
26、相减得， 1 2k 2k1(k1，k2Z).因为 03， 且 k2k1是整数，所以2.将点 12，0看作五点中的“第一点”，则 6 0，所以 6，满足|0)，所以 2 k1(k 1N)，所以2k1(k1N)，又 03，所以当 k1 1 时，2.所以 f(x)sin(2x).由 f 12 0，得 6k 2(k2Z)，所以 k2 6(k 2Z)，又| 2，所以 6，则 f(x)sin 2x 6 ，所以 f()1 2. 答案 1 2 14.已知函数 f(x)cos 2x 3 2sin x 4 sin x 4 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)将 yf(x)的图象向左平移 3个单位长度
27、，再将得到的图象横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 yg(x)的图象.若函数 yg(x)在区间 2， 13 4上的图象与 直线 ya 有三个交点，求实数 a 的取值范围. 解(1)f(x)cos 2x 3 2sin x 4 sin x 4 1 2cos 2x 3 2 sin 2x(sin xcos x)(sin xcos x) 1 2cos 2x 3 2 sin 2xsin2xcos2x 1 2cos 2x 3 2 sin 2xcos 2x sin 2x 6 . 令 2k 22x 62k 2，kZ， 得 k 6xk 3，kZ， 所以函数 f(x)的单调递增区间是 k 6，k 3 ，k
28、Z. (2)将 f(x)的图象向左平移 3个单位长度，得 ysin 2 x 3 6 sin 2x 2 cos 2x 的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得 g(x) cos x 的图象. 作函数 g(x)cos x 在区间 2， 13 4上的图象，及直线 ya.根据图象知，实数 a 的取值范围是 2 2 ，0 . C 级创新猜想 15.(多选题)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再将所 得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的2 3，得到函数 g(x)Asin(x) A0，0，| 2 的图象.已知函数g(x 的部分图象如图所示，则下列关于函数 f(x)的
29、说法正确的是() A.f(x)的最小正周期为，最大值为 2 B.f(x)的图象关于点 6，0中心对称 C.f(x)的图象关于直线 x 6对称 D.f(x)在区间 6， 3 上单调递减 解析由图可知，A2，T4 2 9 18 2 3 ，2 T 3.又由 g 2 9 2 可得 6 2k(kZ)，且| 2 ， 6 .g(x)2sin 3x 6 ，f(x) 2sin 2x 6 .f(x)的最小正周期为，最大值为 2，选项 A 正确.对于选项 B，令 2x 6 k(kZ)，得 x k 2 12 (kZ)，函数 f(x)图象的对称中心为 k 2 12，0(kZ)，由k 2 12 6，得 k 1 2，不符合
30、 kZ，B 错误；对于选项 C，令 2x 6 2k(kZ)，得 x 6 k 2 (kZ)，函数 f(x)图象的对称轴为直 线 x 6 k 2 (kZ)， 当 k0 时， x 6， 故 C 正确.当 x 6， 3 时， 2x 6 2， 5 6 ， f(x)在区间 6， 3 上单调递减，选项 D 正确.故选 ACD. 答案ACD 16.(新定义题)(2020江西红色七校联考)已知函数 yf(x)(xR)，对函数 y g(x)(xI)，定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数”为 yh(x)(xI)，yh(x)满足：对 任意 xI，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称，若 h(x)asin x 是 g(x)关于 f(x)cos x 4 cos x 4 的“对称函数”，且 g(x)在 6， 2 上是减函数， 则实数 a 的取值范围是_. 解析根据“对称函数”的概念可知 h(x)g(x)2f(x)，即 g(x)2f(x)h(x) cos 2xasin x2sin2xasin x1， 令 tsin x(因为 x 6， 2 ， 所以 t 1 2，1)， 则 y2t2at1， 其图象的对称轴为 ta 4， 开口向下.由于 g(x)在 6， 2 上递减， ysin x 在 6， 2 上递增，根据复合函数的单调性可知a 4 1 2，a2. 答案(，2
