1、第第 6 节节对数与对数函数对数与对数函数 考试要求1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成 自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助 计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3.知道对数函数 ylogax 与指数函数 yax互为反函数(a0，且 a1). 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其 中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a
2、0，且 a1). (2)对数的运算性质 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN； logaM Nlog aMlogaN； logaMnnlogaM(nR). (3)换底公式：logbNlogaN logab(a，b 均大于零且不等于 1，N0). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的 定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质 a10a1 时，y0； 当 0 x1 时，y1 时，y0； 当 0 x0 在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数 4.反函数 指数函数 yax(a0，且
3、 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数， 它们的图象关于直线 yx 对称. 常用结论与微点提醒 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab 1 logba(a0，且 a1；b0，且 b1). (2)logambnn mlog ab(a0，且 a1；b0；m，nR，且 m0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)， 1 a，1， 函数图象只在第一、四象限. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)log2x22log2x.() (2
4、)函数 ylog2(x1)是对数函数.() (3)函数 yln 1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( ) (4)当 x1 时，若 logaxlogbx，则 ab.() 解析(1)log2x22log2|x|，故(1)错. (2)形如 ylogax(a0，且 a1)为对数函数，故(2)错. (4)若 0b1bcB.acb C.cbaD.cab 解析0a1，b1.cab. 答案D 4.(2018全国卷)设 alog0.20.3，blog20.3，则() A.abab0B.abab0 C.ab0abD.ab00，1 blog 0.320. 01 a 1 blog 0.30.41，
5、即 0ab ab 0，b0，故 abab0，且 a1)的图象如图，则下列结论成立的是() A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1 D.0a1，0c1 解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0a0， 即 logac0，所以 0c1. 答案D 6.(2020河北“五个一”名校联盟诊断)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0，且 a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运 算中应注意互化. 【训练 1】 (1)(2019北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来 描述.两颗星的星等与亮度满足 m2m15 2lg E1 E2， 其中星等为 m k的星的亮度为
6、Ek(k 1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮 度的比值为() A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10 10.1 (2)(多填题)已知ab1， 若logablogba5 2， a bba， 则a_， b_. 解析(1)依题意， m126.7， m21.45， 代入所给公式得 5 2lg E1 E21.45( 26.7)25.25. 所以 lg E1 E225.25 2 510.1，即 E1 E210 10.1. (2)设 logbat，则 t1，因为 t1 t 5 2， 所以 t2，则 ab2.又 abba， 所以 b2bbb2，即 2
7、bb2， 又 ab1，解得 b2，a4. 答案(1)A(2)42 考点二对数函数的图象及应用 【例 2】 (1)(2020济南调研)已知 lg alg b0，则函数 f(x)a x 与函数 g(x) logbx 的图象可能是() (2)已知函数 f(x) log2x，x0， 3x，x0， 且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实 根，则实数 a 的取值范围是_. 解析(1)由 lg alg b0，得 ab1. f(x)a x 1 b x bx， 因此 f(x)bx与 g(x)logbx 单调性相同. A，B，D 中的函数单调性相反，只有 C 的函数单调性相同. (2)如图，在同一坐标
8、系中分别作出 yf(x)与 yxa 的 图象，其中 a 表示直线 yxa 在 y 轴上的截距. 由图可知， 当 a1 时，直线 yxa 与 yf(x)只有一个交 点. 答案(1)C(2)(1，) 规律方法1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特 殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法 求解. 【训练 2】 (1)若函数 f(x)log2(x1)，且 abc0，则f（a） a ， f（b） b ， f（c） c 的 大小关系是() A.f（a） a f（b） b f（c） c
9、B.f（c） c f（b） b f（a） a C.f（b） b f（a） a f（c） c D.f（a） a f（c） c f（b） b (2)当 x(1，2)时，不等式(x1)2bc 时，f（c） c f（b） b f（a） a . (2)由题意，易知 a1. 如图，在同一坐标系内作出 y(x1)2，x(1，2)及 ylogax， x(1，2)的图象. 若 ylogax 过点(2，1)，得 loga21，所以 a2. 根据题意，函数 ylogax，x(1，2)的图象恒在 y(x1)2，x(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2. 答案(1)B(2)C 考点三解决与对数函数性质有
10、关的问题多维探究 角度 1比较大小 【例 31】 (1)已知 alog23log23，blog29log23，clog32，则 a，b， c 的大小关系是() A.abcC.abbc (2)(2019天津卷)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系 为() A.acbB.abc C.bcaD.ca1，blog29log23 log23 3a，clog32c. (2)因为 ylog5x 是增函数， 所以 alog52log0.50.51. 因为 y0.5x是减函数，所以 0.50.51c0.50.20.501， 即 0.5c1.所以 ac2 的解集为(
11、) A.(2，)B. 0，1 2 (2，) C. 0， 2 2 ( 2，)D.( 2，) (2)已知函数 f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在区间1，2上恒成立， 则实数 a 的取值范围是_. 解析(1)因为偶函数 f(x)在(，0上是减函数，所以 f(x)在(0，)上是增函 数，又 f(1)2，所以不等式 f(log2x)2，即|log2x|1，解得 0 x2. (2)当 a1 时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由 f(x)1 在区间1，2上恒 成立， 则 f(x)minf(2)loga(82a)1，且 82aa， 解得 1a8 3. 当 0a1
12、在区间1，2上恒成立， 知 f(x)minf(1)loga(8a)1，且 82a0. 8a0，此时解集为. 综上可知，实数 a 的取值范围是 1，8 3 . 答案(1)B(2) 1，8 3 规律方法形如 logaxlogab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的 取值不确定，需分 a1 与 0a0 恒成立. 即 a 1 2x恒成立，由于 1 2x(，0)， 故只要 a0，则 a 的取值范围是0，). (3)由已知得函数 f(x)是减函数，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0)log2(1 a)，最小值是 f(1)log2 1 2a. 由题设得 log2(1a)log
13、2 1 2a2， 则 log2(1a)log2(4a2). 1a4a2， 4a20， 解得1 2a 1 3. 故实数 a 的取值范围是 1 2， 1 3 . 规律方法1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都 在定义域上进行. 2.解题注意几点：(1)由 f(0)0，得 a0，需验证 f(x)f(x).(2)f(x)的定义域 为 R，转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想，把对数不等式转化为 等价的代数不等式. 【训练 3】 (1)(多选题)(角度 1)设不为 1 的实数 a，b，c 满足 abc0，下列 选项错误的是() A.logcblogabB.loga
14、blogac C.babcD.abcb (2)(角度2)设f(x)lg 2 1xa是奇函数， 则使f(x)0，且 a1)的图象恒过定点(m，n)， 且函数 g(x)mx22bxn 在1，)上单调递减，则实数 b 的取值范围是 _. 解析(1)因为 b 为定值，当 ac1 时，logcblogab；当 1ac0 时，logcb logab，故 A 错误；因为底数 a，b 与 1 的大小关系不确定，故 B，C 错误；因 为 yxb(b0)为(0，)上的增函数，而 ac0，故 abcb，故 D 正确，故选 ABC. (2)由 f(x)是奇函数可得 a1， f(x)lg1x 1x，定义域为(1，1).
15、 由 f(x)0，可得 01x 1x1，1x0，且 a1)的图象恒过定点(m，n)，令 x21， 求得 x1，f(x)3，可得函数的图象经过定点(1，3)，m1，n3. 函数 g(x)mx22bxnx22bx3， 在1，)上单调递减，2b 2 1，即 b1， 所以实数 b 的取值范围为1，). 答案(1)ABC(2)(1，0)(3)1，) 赢得高分基本初等函数的应用“瓶颈题”突破 以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、 参数的求值交汇， 如 2017全国卷T15， 2018全国卷T9， 2019全国卷T11， 解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具
16、作用. 【典例】 (2020淄博模拟)已知函数 f(x)ex，g(x)ln x 2 1 2，对任意 aR，存 在 b(0，)，使 f(a)g(b)，则 ba 的最小值为() A.2 e1B.e21 2 C.2ln 2D.2ln 2 解析存在 b(0，)，使 f(a)g(b)， 则 ealn b 2 1 2，令 te aln b 2 1 20. aln t，b2et 1 2，则 ba2e t1 2ln t. 设(t)2et 1 2ln t，则(t)2e t1 2 1 t (t0). 显然(t)在(0，)上是增函数，当 t1 2时， 1 2 0. (t)有唯一零点 t1 2. 故当 t1 2时，(
17、t)取得最小值 1 2 2ln 2. 答案D 思维升华1.解题的关键：(1)由 f(a)g(b)，引入参数 t 表示 a，b 两个量.(2)构造 函数，转化为求函数的最值. 2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具. 【训练】 (2020石家庄一中检测)函数 f(x) |2x1|，x2， x5，x2. 若互不相等的实数 a， b， c 满足 f(a)f(b)f(c)， 则 2a2b2c的取值范围是() A.(16，32)B.(18，34) C.(17，35)D.(6，7) 解析画出函数 f(x)的图象如图所示. 不妨设 abc，则 a0. 由 f(a)f(b)，得 12
18、a2b1，则 2a2b2. 又 f(a)f(b)f(c)， 结合图象，得 05c1，则 4c5. 162c32.故 182a2b2c34. 答案B A 级基础巩固 一、选择题 1.已知函数 f(x) 2x，x4， f（x1），x4，则 f(2log 23)的值为() A.24B.16C.12D.8 解析因为 32log234，所以 f(2log23)f(3log23)23log2382log23 24. 答案A 2.(2020湖南长郡中学联考)已知实数 a2ln 2，b22ln 2，c(ln 2)2，则 a，b， c 的大小关系是() A.cbaB.acb C.bacD.cab 解析由于 0l
19、n 22，c(ln 2)2(0，1). 因此 bac. 答案D 3.若函数 f(x)axa x(a0 且 a1)在 R 上为减函数，则函数 yloga(|x|1)的图 象可能是() 解析由 f(x)在 R 上是减函数，知 0a1 时， yloga(x1)的图象由 ylogax 的图象向右平移一个单位得到.因此 选项 D 正确. 答案D 4.(2020潍坊调研)若函数 f(x)|x|x3，则 f(lg 2)f lg 1 2 f(lg 5)f lg 1 5 () A.2B.4C.6D.8 解析由于 f(x)|x|x3，得 f(x)f(x)2|x|. 又 lg 1 2lg 2，lg 1 5lg 5.
20、 所以原式2|lg 2|2|lg 5|2(lg 2lg 5)2. 答案A 5.若函数 f(x)loga x23 2x(a0，且 a1)在区间 1 2，内恒有 f(x)0，则 f(x) 的单调递增区间为() A.(0，)B.(2，) C.(1，)D. 1 2， 解析令 Mx23 2x， 当 x 1 2，时， M(1， )， 恒有 f(x)0， 所以 a1， 所以函数 ylogaM 为增函数，又 M x3 4 2 9 16， 因为 M 的单调递增区间为 3 4，. 又 x23 2x0，所以 x0 或 x 3 2， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，). 答案A 二、填空题 6.(2020肇庆
21、统考)已知 23log4x27，则 x 的值为_. 解析23log4x2 3 2 log2xx3 2，又 273 3(32)3 29 3 2，所以 x 3 29 3 2，所以 x9. 答案9 7.(2019全国卷)已知 f(x)是奇函数，且当 x0，x1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_. 解析当 x1 时，由 21 x2，解得 x0，所以 0 x1； 当 x1 时，由 1log2x2，解得 x1 2，所以 x1. 综上可知，x0. 答案0，) 三、解答题 9.已知函数 f(x)log21ax x1 (a 为常数)是奇函数. (1)求 a 的值与函数 f(x)的定义域； (2)若当
22、x(1，)时，f(x)log2(x1)m 恒成立，求实数 m 的取值范围. 解(1)因为函数 f(x)log2 1ax x1 是奇函数， 所以 f(x)f(x)， 所以 log2 1ax x1log 21ax x1 ， 即 log2ax1 x1 log2 x1 1ax， 所以 a1，f(x)log21x x1， 令1x x10，解得 x1， 所以函数的定义域为x|x1. (2)f(x)log2(x1)log2(1x)， 当 x1 时，x12，所以 log2(1x)log221. 因为 x(1，)时，f(x)log2(x1)m 恒成立， 所以 m1，所以 m 的取值范围是(，1. 10.已知函数
23、 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(0)0，当 x0 时，f(x)log1 2x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解(1)当 x0，则 f(x)log1 2(x). 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)log1 2(x)， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x) log1 2x，x0， 0，x0， log1 2（x），x2， 所以不等式 f(x21)2 转化为 f(|x21|)f(4). 又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数， 所以|x21|4，解得 5x0，且 a1) 的图象可能是() 解析若 a1， 则 y 1 ax单调递减，
24、 A， B， D 不符合， 且 ylog a x1 2 过定点 1 2，0， C 项不符合，因此 0a1. 当 0a1 时，函数 yax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，于是函数 y 1 ax 的图象过定点(0， 1)， 在 R 上单调递增， 函数 yloga x1 2 的图象过定点 1 2，0， 在 1 2，上单调递减.因此， 选项 D 中的两个图象符合. 答案D 12.(2017全国卷)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则() A.2x3y5zB.5z2x3y C.3y5z2xD.3y2x1. 则 xlog2tlg t lg 2，同理，y lg t lg 3，z lg t
25、 lg 5. 2x3y2lg t lg 2 3lg t lg 3 lg t（2lg 33lg 2） lg 2lg 3 lg t（lg 9lg 8） lg 2lg 3 0， 2x3y. 又2x5z2lg t lg 2 5lg t lg 5 lg t（2lg 55lg 2） lg 2lg 5 lg t（lg 25lg 32） lg 2lg 5 0， 2x5z，3y2x5z. 答案D 13.设实数 a，b 是关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实数根，且 ab10，则 abc 的取值范围是_. 解析由题意知，如图，在(0，10)上，函数 y|lg x|的图象和直线 yc 有两个 不同交点，所以
26、 ab1，0ckg(x)恒成立，求实数 k 的取值范围. 解(1)h(x)(42log2x)log2x22(log2x1)2 因为 x1，4，所以 log2x0，2， 故函数 h(x)的值域为0，2. (2)由 f(x2)f( x)kg(x)， 得(34log2x)(3log2x)klog2x， 令 tlog2x，因为 x1，4， 所以 tlog2x0，2， 所以(34t)(3t)kt 对一切 t0，2恒成立， 当 t0 时，kR； 当 t(0，2时，k（34t）（3t） t 恒成立， 即 k4t9 t 15， 因为 4t9 t 12，当且仅当 4t9 t ，即 t3 2时取等号， 所以 4t9 t 15 的最小值为3. 所以 k0，且 a1)是“半保值函 数”，则 t 的取值范围为() A. 0，1 4B. 1 2，0 0，1 2 C. 0，1 2D. 1 2， 1 2 解析函数 f(x)loga(axt2)(a1 时，zaxt2在 R 上递增，ylogaz 在(0，)上递增，可得 f(x)为 R 上 的增函数；当 0a0，则 u 2ut20 有两个不相等的正实根. 得14t20，且 t20， 0t21 4，解得 t 1 2，0 0，1 2 . 答案B
