1、第第 6 节节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 考试要求1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实 根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.经历从实际情境中抽象出一元二 次不等式的过程， 了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元 二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.借助一元二次函数的图 象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 知 识 梳 理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式不等式叫作一元二次不等 式. 2.三个“二次”间的关系 判别式b24
2、ac000 二次函数 yax2 bxc(a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根 x1， x2(x1x2) 有两相等实根 x1x2 b 2a 没有实数根 ax2bxc0 (a 0)的解集 x|xx2 或 xx1 x|x b 2a R ax2bxc0 (a 0)的解集 x|x1xx2 3.(xa)(xb)0 或(xa)(xb)0 型不等式的解集 不等式 解集 ab (xa)(xb)0 x|xbx|xax|xa (xa)(xb)0 x|axbx|bx0(0(a(a0)的解集为(， a)(a， )； |x|0)的解集为( a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间
3、. 2.解不等式 ax2bxc0(0(0 对任意实数 x 恒成立 ab0， c0 或 a0， 0. (2)不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 ab0， c0 或 a0， 0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc 0 的两个根是 x1和 x2.() (2)若不等式 ax2bxc0 的解集为(x1，x2)，则必有 a0.() (3)不等式 x2a 的解集为 a， a.() (4)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0(a0 时，其解集为 a， a；当 a0 时， 其解集为0，当 a0 时，其解集为. (4)若方程 ax2bxc0(a0(a0)的
4、解集为. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第一册 P55T3 改编)已知集合 Ax|x25x40，Bx|x2x 60，则 AB() A.(2，3)B.(1，3) C.(3，4)D.(2，4) 解析由题意知 Ax|1x4，Bx|2x0， 令 3x22x20，得 x11 7 3 ，x21 7 3 ， 3x22x20 的解集为 ，1 7 3 1 7 3 ， . 答案 ，1 7 3 1 7 3 ， 4.(2020广州期中考试)若不等式 ax2bx20 的解集为 x|1 2x 1 3 ，则 ab 的值是() A.10B.14C.10D.14 解析由题意知，1 2， 1 3是方程 ax 2b
5、x20 的两根，所以 1 2 1 3 b a， 1 2 1 3 2 a， 解 得 a12， b2. 故 ab10. 答案A 5.(2019河北重点中学模拟)不等式 2x2x30 的解集为_. 解析由 2x2x30，得(x1)(2x3)0， 解得 x3 2或 x0 的解集为 x|x3 2，或 x3 2，或 x1 6.(2019苏北调研)已知函数 f(x)ax2ax1，若对任意实数 x，恒有 f(x)0，则 实数 a 的取值范围是_. 解析若 a0，则 f(x)10 恒成立， 若 a0，则由题意，得 a0， a24a0， 解得4a0，综上，得 a4，0. 答案4，0 考点一一元二次不等式的解法 【
6、例 1】 (1)不等式 00， x2x24，即 x2x20， x2x60， 解得 x2 或 x1， 2x3. 故原不等式的解集为x|2x1，或 2x3. 答案x|2x1 或 2x3 (2)解关于 x 的不等式 ax222xax(aR). 解原不等式可化为 ax2(a2)x20. 当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x2 a (x1)0， 解得 x2 a或 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x2 a (x1)0. 当2 a1，即 a2 时，解得1x 2 a； 当2 a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意； 当2 a1，即2a0 时，解得 2 ax1.
7、 综上所述，当 a0 时，不等式的解集为x|x1； 当 a0 时，不等式的解集为 x|x2 a或 x1； 当2a0 时，不等式的解集为 x| 2 ax1； 当 a2 时，不等式的解集为1； 当 a2 时，不等式的解集为 x|1x2 a . 规律方法1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式. (2)确定判别式的符号，若0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若 0，则对应的一元二次方程无根. (3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二 次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程
8、)根 的大小，注意分类讨论思想的应用. 【训练 1】 (1)(2020武汉月考)不等式1x 2x0 的解集为( ) A.2，1B.(2，1 C.(，2)(1，)D.(，2(1，) 解析原不等式化为 （1x）（2x）0， 2x0， 即 （x1）（x2）0， x20， 解得2a2(aR)的解集. 解原不等式可化为 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0， 解得 x1a 4，x 2a 3. 当 a0 时，不等式的解集为 x|x a 3 ； 当 a0 时，不等式的解集为x|x0； 当 a0 时，不等式的解集为 x|x a 4 . 考点二一元二次方程与一元二次不等式 【
9、例 2】 已知不等式 ax2bx10 的解集是x|1 2x 1 3，则不等式 x 2bx a0 的解集是_. 解析由题意，知1 2， 1 3是方程 ax 2bx10 的两个根，且 a0，所以 1 2 1 3 b a， 1 2 1 3 1 a ， 解得 a6， b5. 故不等式 x2bxa0 为 x25x60， 解得 x3 或 x2. 答案x|x3 或 x2 规律方法1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二 次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与 x 轴 的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【训练 2】
10、(2019天津和平区一模)关于 x 的不等式 axb0 的解集是() A.(，1)(3，)B.(1，3) C.(1，3)D.(，1)(3，) 解析关于 x 的不等式 axb0 即 axb 的解集是(1，)，ab0 可化为(x1)(x3)0，解得1x3， 所求不等式的解集是(1，3). 答案C 考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究 角度 1在实数 R 上恒成立 【例 31】 (2020大庆实验中学期中)对于任意实数 x， 不等式(a2)x22(a2)x 40 恒成立，则实数 a 的取值范围是() A.(，2)B.(，2 C.(2，2)D.(2，2 解析当 a20，即 a2 时，40 恒成立；
11、当 a20，即 a2 时， 则有 a20， 2（a2）24（a2）（4）0， 解得2a0， g（1）（x2）x24x40， 解得 x3. 故当 x(，1)(3，)时，对任意的 m1，1，函数 f(x)的值恒大于零. 规律方法1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的 图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给 定的区间上全部在 x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求 最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁 就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 【训练 3】 (1)(角度 1)(
12、2020湘潭联考)若不等式 4x2ax40 的解集为 R，则实 数 a 的取值范围是() A.(16，0)B.(16，0 C.(，0)D.(8，8) (2)(角度 2)(2019湖北八校联考)若不等式(aa2)(x21)x0 对一切 x(0，2恒 成立，则实数 a 的取值范围为_. (3)(角度 3)若 mx2mx10 对于 m1，2恒成立，则实数 x 的取值范围是 _. 解析(1)由题意知a24440，解得8a8，故选 D. (2)x(0，2，a2a x x21 1 x1 x . 要使 a2a 1 x1 x 在 x(0，2上恒成立，则 a2a 1 x1 x max .由基本不等式得 x 1
13、x2，当且仅当 x 1 x，即 x1 时等号成立.则 1 x1 x max 1 2，故 a 2a1 2，解 得 a1 3 2 或 a1 3 2 .故实数 a 的取值范围为 ，1 3 2 1 3 2 ， . (3)设 g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当 m1，2时，图象为 一条线段， 则 g（1）0， g（2）0，即 x2x10， 2x22x10， 解得1 3 2 x1 3 2 ， 故 x 的取值范围为 1 3 2 ，1 3 2. 答案(1)D(2) ，1 3 2 1 3 2 ， (3) 1 3 2 ，1 3 2 考点四一元二次不等式的实际应用 【例 4】 甲厂以 x 千克/时
14、的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)，每 小时可获得利润 100 5x13 x 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？ 并求最大利润. 解(1)根据题意，得 200 5x13 x 3 000， 整理得 5x143 x0，即 5x 214x30， 解得 x3 或 x1 5， 又 1x10，可解得 3x10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是3，10. (2)设利润为 y 元，则 y900 x 100 5x13
15、 x 9104 51 x 3 x2 9104 3 1 x 1 6 2 61 12 ， 故当 x6 时，ymax457 500 元. 即甲厂以 6 千克/时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大， 最大利润 为 457 500 元. 规律方法求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系. (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相 应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果. 【训练 4】 已知产品的总成本 y(万元)与产
16、量 x(台)之间的函数关系式是 y3 000 20 x0.1x2，x(0，240).若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售 收入不小于总成本)时的最低产量是() A.100 台B.120 台 C.150 台D.180 台 解析由题设，产量 x 台时，总售价为 25x；欲使生产者不亏本时，必须满足总 售价大于等于总成本， 即 25x3 00020 x0.1x2， 即 0.1x25x3 0000，x250 x30 0000， 解之得 x150 或 x200(舍去). 故欲使生产者不亏本，最低产量是 150 台. 故选 C. 答案C A 级基础巩固 一、选择题 1.(2019福建三明一
17、中月考)不等式(x1)(x2)0 的解集是() A.(2，1)B.(，2)(1，) C.(1，2)D.(，1)(2，) 解析由(x1)(x2)0 得2x1，故选 A. 答案A 2.不等式 x5 （x1）22 的解集是( ) A. 3，1 2B. 1 2，3 C. 1 2，1(1，3D. 1 2，1(1，3 解析不等式可化为2x 25x3 （x1）2 0， 即（2x1）（x3） （x1）2 0， 解得1 2x1 或 10 的解集为x|1x2ax 的解集为() A.x|2x1B.x|x1 C.x|0 x3D.x|x3 解析由 a(x21)b(x1)c2ax 整理得 ax2(b2a)x(acb)0.
18、 又不等式 ax2bxc0 的解集为x|1x2， 所以 a0，且1，2 是方程 ax2bxc0 的两根， 由根与系数的关系可知 12b a， （1）2c a， 即 b a1， c a2. 将两边同除以 a 得 x2 b a2x 1c a b a 0， 将代入得 x23x0，解得 0 x0 恒成立，则 b 的取值范围是() A.(1，0)B.(2，) C.(，1)(2，)D.不能确定 解析由 f(1x)f(1x)知 f(x)图象的对称轴为直线 x1，则有a 21，故 a2. 由 f(x)的图象可知 f(x)在1，1上为增函数.所以 x1，1时，f(x)minf(1) 12b2b1b2b2，令 b
19、2b20，解得 b2. 答案C 5.(2020河南豫西南五校联考)已知关于 x 的不等式 kx26kxk80 对任意 xR 恒成立，则 k 的取值范围是() A.0，1B.(0，1 C.(，0)(1，)D.(，01，) 解析当 k0 时，不等式 kx26kxk80 可化为 80，其恒成立，当 k0 时，要满足关于 x 的不等式 kx26kxk80 对任意 xR 恒成立， 只需 k0， 36k24k（k8）0，解得 0k1. 综上，k 的取值范围是0，1. 答案A 二、填空题 6. 若 不 等 式 x2 ax 40，即 a216. a4 或 a4. 答案(，4)(4，) 7.规定记号“”表示一种
20、运算，定义 ab abab(a，b 为正实数)，若 1k23，则 k 的取值范围是_. 解析由题意知 k21k23， 化为(|k|2)(|k|1)0，所以|k|1， 所以1k1. 答案(1，1) 8.(2020北京海淀区质检)设 a0，若不等式cos2x(a1)cos xa20 对于任意 的 xR 恒成立，则 a 的取值范围是_. 解析令 tcos x，t1，1，则不等式 f(t)t2(a1)ta20 对 t1，1 恒成立，因此 f（1）0， f（1）0 aa20， 2aa20，a2xm 成立，求实数 m 的取值范围. 解(1)由 f(0)2，得 c2， 所以 f(x)ax2bx2(a0)，
21、由 f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)2ax2bx24ax4a2b， 又 f(x2)f(x)16x，得 4ax4a2b16x， 所以 4a16， 4a2b0，故 a4，b8， 所以 f(x)4x28x2. (2)因为存在 x1，2，使不等式 f(x)2xm 成立， 即存在 x1，2，使不等式 m4x210 x2 成立， 令 g(x)4x210 x2，x1，2， 故 g(x)maxg(2)2，所以 m2， 即 m 的取值范围为(，2). B 级能力提升 11.(2019青岛调研)已知 a，b，c，d 都是常数，ab，cd.若 f(x)2 019(x a)(xb)的零点为 c，d，则下列不等
22、式正确的是() A.acbdB.abcd C.cdabD.cabd 解析由 f(x)2 019(xa)(xb)x2(ab)xab2 019，又 f(a)f(b)2 019，c，d 为函数 f(x)的零点，且 ab，c d，所以可在平面直角坐标系中作出函数 f(x)的大致图象，如 图所示.由图可知 cabd，故选 D. 答案D 12.(2020西安模拟)若不等式 x2ax10 对一切 x 0，1 2 恒成立，则 a 的最小 值是() A.0B.2C.5 2 D.3 解析由于 x 0，1 2 ，若不等式 x2ax10 恒成立， 则 a x1 x ，x 0，1 2 时恒成立， 令 g(x)x1 x，
23、x 0，1 2 ， 易知 g(x)在 0，1 2 上是减函数，则 yg(x)在 0，1 2 上是增函数. yg(x)的最大值是 1 225 2. 因此 a5 2，则 a 的最小值为 5 2. 答案C 13.(2020湖北八校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x) 3x2，且不等式 f(xm2)4f(x)对任意的 xm，m2恒成立，则实数 m 的取值 范围是_. 解析f(x)为奇函数，f(x)f(x). 设 x0，f(x)f(x)3x2， 故 f(x) 3x2（x0）， 3x2（x0）. 从而 4f(x) 3（2x）2（x0）， 3（2x）2（x0） f(2x
24、)， 故不等式 f(xm2)4f(x)同解于 f(xm2)f(2x)， 又 f(x)为 R 上的单调增函数，故 xm22x， 即 m2x 对任意的 xm，m2恒成立， m2m2，即 m1 或 m2. 答案(，12，) 14.某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 成10%)，售出商品数量就增加 8 5x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 yf(x)，并写出定 义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围. 解(1)由题意得，y100 1
25、 x 10 100 1 8 50 x. 因为售价不能低于成本价，所以 100 1 x 10 800，解得 0 x2. 所以 yf(x)40(10 x)(254x)， 定义域为x|0 x2. (2)由题意得 40(10 x)(254x)10 260， 化简得 8x230 x130，解得1 2x 13 4 . 所以 x 的取值范围是 1 2，2. C 级创新猜想 15.(多选题)(2020山东省实验中学月考)当 x(，1时，不等式(m2m)4x 2x0 恒成立，则实数 m 的取值可以是( ) A.0B.1 2 C.3 2 D.2 解析(m2m)4x2x0，m2m2 x 4x 1 2 x .又函数
26、y 1 2 x 在(，1 上单调递减， 1 2 x 1 2 1 2.m2m2，即(m1)(m2)0，解得1m 2.结合选项可知，选 ABC. 答案ABC 16.(多填题)(2019郑州联考改编)已知 f(x)2x2bxc，不等式 f(x)0 的解集 是(1，3)，则 b_；若对于任意 x1，0，不等式 f(x)t4 恒成立， 则实数 t 的取值范围是_. 解析由不等式 f(x)0 的解集是(1，3)，可知1 和 3 是方程2x2bxc0 的根，即 2b 2， 3c 2， 解得 b4， c6，所以 f(x)2x 24x6.所以不等式 f(x)t4 可化为 t2x24x2，x1，0.令 g(x)2x24x2，x1，0，由二次 函数的性质可知 g(x)在1，0上单调递减，则 g(x)的最小值为 g(0)2，则 t 2. 答案4(，2
