1、2.4指数与指数函数指数与指数函数 考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通 过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.3.理解指 数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用 1根式 (1)如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 (2)式子 n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数 (3)( n a)na. 当 n 为奇数时， n ana， 当 n 为偶数时， n an|a| a，a0， a，a0，m，nN*，n1) 正数的负分数指数幂， 1 m n m n a a 1 n am (a0，m，
2、nN*，n1) 0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂没有意义 3指数幂的运算性质 arasar s；(ar)sars；(ab)rarbr(a0，b0，r，sQ) 4指数函数及其性质 (1)概念：函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R， a 是底数 (2)指数函数的图象与性质 a10a0 时，y1； 当 x0 时，0y1 当 x1； 当 x0 时，0y0 且 a1. 2.如图所示是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则 a，b，c，d 与 1 之 间的大小关系是什么？ 提示cd1ab0. 题组一思考辨析 1
3、判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1) 4 444.() (2)2a2b2ab.() (3)函数 y32x与 y2x 1都不是指数函数( ) (4)若 am0，且 a1)，则 mn.() 题组二教材改编 2化简 4 16x8y4(x0，y0 且 a1)的图象恒过定点_ 答案(1,3) 4已知 113 344 333 , 552 abc 则 a，b，c 的大小关系是_ 答案cbb1， 又 0 3 4 3 = 3 2 1 2 c ，cb0 且 a1， 解得 a2. 6函数 f(x)ax在1,1上的最大值为 2，则 a_. 答案2 或1 2 解析当 a1 时，f(x)ax为增函数，
4、则 a12， a2 满足题意， 当 0a0，b0) 答案 8 5 解析原式 333 222 33 22 2 48 5 10 a b a b . 3若 11 22 3xx ，则 33 22 22 3 2 xx xx _. 答案 1 3 解析由 11 22 3xx ，两边平方，得 xx 17， 再平方得 x2x 247. x2x 2245. 331111 331 222222 ()()()(1)3 (7 1)18.xxxxxxxx 33 22 22 3 2 xx xx 1 3. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算， 还应注意： 必须同底数幂相乘，指
5、数才能相加 运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 题型二 指数函数的图象及应用 例 1 (1)(多选)已知实数 a，b 满足等式 2 021a2 022b，下列等式可以成立的是() Aab0Bab0 C0abD0ba 答案ABD 解析如图，观察易知，ab0 或 0ba 或 ab0，故选 ABD. (2)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_ 答案(0,2) 解析在同一平面直角坐标系中画出 y|2x2|与 yb 的图象，如图所示 当 0b1，b1，b0 C0a0 D0
6、a1，b0 答案D 解析由 f(x)ax b的图象可以观察出，函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1. 又 f(0)a b0，即 b0. 题型三 指数函数的性质及应用 命题点 1比较指数式的大小 例 2 (2020全国)若 2x2y0Bln(yx1)0Dln|xy|0 答案A 解析设函数 f(x)2x3 x. 因为函数 y2x与 y3 x在 R 上均单调递增， 所以 f(x)在 R 上单调递增 原式等价于 2x3 x2y3y，即 f(x)f(y)， 所以 x0，所以 A 正确，B 不正确 因为|xy|与 1 的大小关系不能确定，所以 C，D 不正确 高考改编题若 eabe ba，
7、下列结论一定成立的是( ) Aab0Bab0 Cab0Dab0 答案D 解析eabe ba， ea aebb， 令 f(x)ex x， 则 f(x)是 R 上的增函数， 式即为 f(a)f(b)， ab，即 ab0. 命题点 2解简单的指数方程或不等式 例 3 (1)若 2 2 1 1 2 4 x x ，则函数 y2x的值域是() A. 1 8，2B. 1 8，2 C. ，1 8D2，) 答案B 解析 1 4 x2(22)x222x4， 2 124 22, xx 即 x212x4，即 x22x30， 3x1，此时 y2x的值域为2 3，21， 即为 1 8，2. (2)已知实数 a1，函数 f
8、(x) 4x，x0， 2a x，x0， 若 f(1a)f(a1)，则 a 的值为_ 答案 1 2 解析当 a1 时，代入不成立故 a 的值为1 2. 命题点 3指数函数性质的综合应用 例 4 (1)已知函数 f(x)2|2x m|(m 为常数)，若 f(x)在区间2，)上单调递增，则 m 的取值范 围是_ 答案(，4 解析令 t|2xm|，则 t|2xm|在区间 m 2，上单调递增，在区间 ，m 2 上单调递 减 而 y2t是增函数， 所以要使函数 f(x)2|2x m|在2， )上单调递增， 则有m 2 2， 即 m4， 所以 m 的取值范围是(，4 (2)不等式 4x2x 1a0 对任意
9、xR 都成立，则实数 a 的取值范围是_ 答案(1，) 解析原不等式可化为 a4x2x 1对 xR 恒成立， 令 t2x，则 t0，y4x2x 1t22t(t1)211， 当 t1 时，ymax1，a1. 思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则， 比较大小还可以借助中间量 (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最 值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断 跟踪训练 2 (1)(多选)下列各式比较大小正确的是() A1.72.51.73B. 3 4 2 3 1 2 2 C1.70.30.93.1D.
10、32 43 23 34 答案BCD 解析y1.7x为增函数，1.72.51，而 0.93.1(0,1)，1.70.30.93.1，故 C 正确； y 2 3 x为减函数， 32 43 22 , 33 又 2 3 yx在(0，)上递增， 22 33 32 , 34 22 3 3 34 3 334 22 ，故 D 正确 (2)设 m，nR，则“m1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案C 解析 1 2 mn1， 即 1 2 mn 1 2 0， mn0，mn. 故“m1”的充要条件 (3)函数 2 43 1 ( ) 3 axx f x .若 f(x)
11、在(，3)上单调递减，则 a 的取值范围是_ 答案 ，2 3 解析令 tax24x3，则 y 1 3 t， y 1 3 t为减函数， tax24x3 在(，3)上单调递增， 则 a0，则下列等式成立的是() A(2) 24 B2a 31 2a3 C(2)01D 1 4 4 1 ()a a 答案D 解析对于 A，(2) 21 4，故 A 错误；对于 B,2a 32 a3，故 B 错误；对于 C，(2) 01， 故 C 错误；对于 D， 1 4 4 1 ()a a ，故 D 正确 2已知 a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则 a，b，c 的大小关系是() AabcBacb CcabDbc
12、a 答案A 解析y0.4x为减函数， 0.40.60.40.21，即 abc. 3(2020东北四校联考)已知函数 f(x) 12 x，x0， 2x1，x0，a1)的图象可能是() 答案BC 解析当 a1 时，yaxa 为增函数，且过点(1,0)， 当 x0 时，y1a0，故选项 A 不正确，B 正确 当 0a0 Df x1x2 2x2，则 f(x1)f(x2)，则fx1fx2 x1x2 0， 若 x1x2，则 f(x1)0，故 C 正确， f x1x2 20，b0)_. 答案 1 a 解析原式 1111 1 1111 5 3322 3 2623 6 15 66 1 . a bab ab a
13、a b 8已知函数 f(x)ax(a0，且 a1)在1,2上的最大值比最小值大a 2，则 a 的值为_ 答案 1 2或 3 2 解析当 0a1 时，a2aa 2， a3 2或 a0(舍去) 综上所述，a1 2或 3 2. 9(2020西安调研)已知 0ba1，则 ab，ba，aa，bb中最大的是_ 答案ab 解析0baaa，babb. 综上，ab最大 10 已知函数f(x) 1 2 x，ax0， x22x，0 x4 的值域是8,1， 则实数a的取值范围是_ 答案3,0) 解析当 0 x4 时，f(x)8,1， 当 ax0 时，f(x) 1 2a，1， 所以 1 2a，18,1， 即8 1 2a
14、1，即3a0，a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24) (1)求 f(x)的解析式； (2)若不等式 1 a x 1 b xm0 在(，1上恒成立，求实数 m 的取值范围 解(1)因为 f(x)的图象过 A(1,6)，B(3,24)， 所以 ba6， ba324. 所以 a24， 又 a0，所以 a2，b3.所以 f(x)32x. (2)由(1)知 a2，b3， 则当 x(，1时， 1 2 x 1 3 xm0 恒成立， 即 m 1 2 x 1 3 x在(，1上恒成立 又因为 y 1 2 x与 y 1 3 x在(，1上均单调递减，所以 y 1 2 x 1 3 x在(，1上也单调 递减，所
15、以当 x1 时，y 1 2 x 1 3 x有最小值5 6，所以 m 5 6，即 m 的取值范围是 ，5 6 . 12已知函数 f(x)4 xm 2x 是奇函数 (1)求实数 m 的值； (2)设 g(x)2x 1a，若函数 f(x)与 g(x)的图象有公共点，求实数 a 的取值范围 解(1)f(x)为奇函数，f(0)0，得 m1， 经检验当 m1 时，f(x)为奇函数，m1. (2)令4 x1 2x 2x 1a， 令 t2x，t0， t 21 t 2ta， 即 at1 t ， 方程 at1 t 有正实数根， t1 t 2，当且仅当 t1 时取等号a2. 即实数 a 的取值范围是2，) 13 若
16、关于 x 的方程|ax1|2a(a0， 且 a1)有两个不相等的实根， 则 a 的取值范围是() A. 0，1 2 (1，)B. 0，1 2 C. 1 2，1D(1，) 答案B 解析方程|ax1|2a(a0， 且 a1)有两个不相等实根转化为函数 y|ax1|与 y2a 的图象 有两个交点 (1)当 0a1 时，如图，所以 02a1，即 0a1 时，如图，而 y2a1 不符合要求 所以 0a0，且 a1)在区间1,1上的最大值是 14，则 a 的值为 _ 答案3 或1 3 解析令 axt，则 ya2x2ax1t22t1(t1)22.当 a1 时，因为 x1,1，所以 t 1 a，a，又函数 y
17、(t1)22 在 1 a，a上单调递增，所以 ymax(a1)2214，解得 a 3(负值舍去)当 0a1 时，因为 x1,1，所以 t a，1 a ，又函数 y(t1)22 在 a，1 a 上单调递增，则 ymax 1 a1 2214，解得 a1 3(负值舍去)综上，a3 或 a 1 3. 15 (2019全国)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆， 我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面 与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地 月拉格朗日 L2点的轨道运行L2点是平衡点
18、，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M1， 月球质量为 M2，地月距离为 R，L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程： M1 Rr2 M2 r2 (Rr)M1 R3 .设 r R .由于的值很小，因此在近似计算中 33345 12 33，则 r 的近似值为() A. M2 M1R B. M2 2M1R C. 3 3M2 M1 RD. 3 M2 3M1R 答案D 解析由 M1 Rr2 M2 r2 (Rr)M1 R3， 得 M1 1r R 2 M2 r R 2 1r R M1.因为r R， 所以 M1 12 M2 2 (1)M1，得3 3345 12 M2 M1.由 33345 12 33，得 33M2 M1，即 3 r R 3M2 M1，所以 r 3 M2 3M1R，故选 D. 16已知定义在 R 上的函数 f(x)2x 1 2|x|. (1)若 f(x)3 2，求 x 的值； (2)若 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1,2恒成立，求实数 m 的取值范围 解(1)当 x0，所以 x1. (2)当 t1,2时，2t 22t 1 22tm 2t1 2t0， 即 m(22t1)(24t1)， 因为 22t10 ， 所以 m(22t1)， 因为 t1,2， 所以(22t1)17，5， 故实数 m 的取值范围是5，)
