1、解析几何热点问题解析几何热点问题 三年真题考情 核心热点真题印证核心素养 直线方程、 定值问题 2019，19；2018，19；2018北 京，19 数学运算、 逻辑推理 椭圆方程、 定点问题 2019北京， 19； 2017， 20； 2017， 20 数学运算、 逻辑推理 直线与椭圆2019，19；2018，20数学运算、 逻辑推理 直线与抛物线 2019， 21； 2019北京， 18； 2018， 19；2017，20 数学运算、 逻辑推理 热点聚焦突破 教材链接高考求曲线方程及直线与圆锥曲线 教材探究(选修 21P49 习题 A5(1)(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过
2、点 P(2 2，0)，Q(0， 5)； (2)长轴长是短轴长的 3 倍，且经过点 P(3，0). 试题评析1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目： 求曲线的方程， 解决的方 法都是利用椭圆的几何性质. 2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们 要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出 a，b 的值，但要讨论焦点的位 置才能写出椭圆方程. 【教材拓展】 设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C 7 2p，0，AF 与 BC 相交于点 E，若|CF|2|AF|，且 ACE 的面积为 3 2
3、，则 p 的值为_. 解析易知抛物线的焦点 F 的坐标为 p 2，0， 又|CF|2|AF|且|CF| 7 2p p 2|3p， |AB|AF|3 2p， 可得 A(p， 2p). 易知AEBFEC，|AE| |FE| |AB| |FC| 1 2， 故 SACE1 3S ACF1 33p 2p 1 2 2 2 p23 2， p26，p0，p 6. 答案6 探究提高1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点 A 的坐标， (2)根据AEBFEC 求出线段比，进而得到面积比并利用条件“SACE3 2” 求解. 2.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用 平
4、面几何的知识，能起到简化运算的作用. 【链接高考】 (2019天津卷)设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 5 5 . (1)求椭圆的方程； (2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点， 点 N 在 y 轴的负半轴上，若|ON|OF|(O 为原点)，且 OPMN，求直线 PB 的斜 率. 解(1)设椭圆的半焦距为 c， 依题意， 2b4， c a 5 5 ， 又 a2b2c2， 可得 a 5， b2，c1. 所以椭圆的方程为x 2 5 y 2 4 1. (2)由题意，设 P(xP
5、，yP)(xP0)，M(xM，0)， 直线 PB 的斜率为 k(k0)， 又 B(0，2)，则直线 PB 的方程为 ykx2，与椭圆方程联立 ykx2， x2 5 y 2 4 1，整理得(4 5k2)x220kx0， 可得 xP 20k 45k2， 代入 ykx2 得 yP810k 2 45k2 ， 进而直线 OP 的斜率为yP xP 45k2 10k . 在 ykx2 中，令 y0，得 xM2 k. 由题意得 N(0，1)，所以直线 MN 的斜率为k 2. 由 OPMN，得45k 2 10k k 2 1，化简得 k224 5 ， 从而 k2 30 5 (满足(20k)24(45k2)0).
6、所以直线 PB 的斜率为2 30 5 或2 30 5 . 教你如何审题圆锥曲线中的证明问题 【例题】 (2019北京卷)已知抛物线 C：x22py(p0)经过点(2，1). (1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M， N，直线 y1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点. 审题路线 自主解答 (1)解由抛物线 C：x22py 经过点(2，1)得 p2. 所以抛物线 C 的方程为 x24y，其准线方程为 y1. (2)证明抛物线 C 的焦点为
7、F(0，1). 设直线 l 的方程为 ykx1(k0). 由 ykx1， x24y 得 x24kx40. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24. 直线 OM 的方程为 yy1 x1x. 令 y1，得点 A 的横坐标 xAx1 y1， 同理得 B 的横坐标 xBx2 y2. 设点 D(0，n)，则DA x1 y1，1n， DB x2 y2，1n， DA DB x1x2 y1y2(n1) 2 x1x2 x 2 1 4 x 2 2 4 (n1)2 16 x1x2(n1) 24(n1)2. 令DA DB 0，即4(n1)20，得 n1 或 n3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y
8、轴上的定点(0，1)和(0，3). 探究提高1.解决本题的关键是直径所对的圆周角为直角，要证明直线经过 y 轴 上定点 D，只需满足DA DB 0，进而求解. 类似的还有角的关系转化为斜率之间的关系，线段的长度比转化为线段端点的坐 标之比. 2.解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推理 及运算，借助几何直观，达到证明的目的. 【尝试训练】 (2018全国卷)设椭圆 C：x 2 2 y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2，0). (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明
9、：OMAOMB. (1)解由已知得 F(1，0)，l 的方程为 x1. 把 x1 代入椭圆方程x 2 2 y21， 可得点 A 的坐标为 1， 2 2 或 1， 2 2 ， 又 M(2， 0)， 所以直线 AM 的方程为 y 2 2 x 2或 y 2 2 x 2. (2)证明当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0. 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线， 所以OMAOMB. 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1 2，x20， 解得 k1，又因为 k0，故 k0 或 0kb0)的右焦点为(
10、1，0)， 且经过点 A(0，1). (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 O 为原点，直线 l：ykxt(t1)与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N.若|OM|ON|2，求证：直线 l 经 过定点. (1)解由题意，得 b21，c1，所以 a2b2c22. 所以椭圆 C 的方程为x 2 2 y21. (2)证明设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线 AP 的方程为 yy11 x1 x1. 令 y0，得点 M 的横坐标 xM x1 y11. 又 y1kx1t，从而|OM|xM| x1 kx1t1|. 同理，|ON| x
11、2 kx2t1|. 由 ykxt， x2 2 y21，得(12k 2)x24ktx2t220， 则 x1x2 4kt 12k2，x 1x22t 22 12k2. 所以|OM|ON| x1 kx1t1| x2 kx2t1| | x1x2 k2x1x2k（t1）（x1x2）（t1）2| | 2t22 12k2 k22t 22 12k2k（t1） 4kt 12k2（t1）2| 2| 1t 1t|. 又|OM|ON|2，所以 2| 1t 1t|2. 解得 t0，所以直线 l 经过定点(0，0). 热点跟踪训练 1.(2020济南模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21 过 A(2，0)，B(0，
12、1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值. (1)解由题意知，a2，b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. 因为 c a2b2 3， 所以椭圆 C 的离心率 ec a 3 2 . (2)证明设 P(x0，y0)(x00，y0b0)的左焦点为 F，上顶点为 B，已知椭圆的 离心率为 5 3 ，点 A 的坐标为(b，0)，且|FB|AB|6 2. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P
13、，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若|AQ| |PQ| 5 2 4 sinAOQ(O 为原点)，求 k 的值. 解(1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有c 2 a2 5 9， 又由 a2b2c2，可得 2a3b. 由已知可得，|FB|a，|AB| 2b， 由|FB|AB|6 2，可得 ab6，从而 a3，b2. 所以，椭圆的方程为x 2 9 y 2 4 1. (2)设点 P 的坐标为(x1，y1)，点 Q 的坐标为(x2，y2). 由已知有 y1y20， 故|PQ|sinAOQy1y2. 又因为|AQ| y2 sinOAB，而OAB 4， 故|AQ| 2y2. 由|AQ| |PQ| 5 2
14、4 sinAOQ，可得 5y19y2. 由方程组 ykx， x2 9 y 2 4 1，消去 x，可得 y1 6k 9k24. 易知直线 AB 的方程为 xy20， 由方程组 ykx， xy20，消去 x，可得 y 2 2k k1. 代入 5y19y2，可得 5(k1)3 9k24， 将等式两边平方，整理得 56k250k110， 解得 k1 2或 k 11 28. 所以，k 的值为1 2或 11 28. 3.(2020湖南湘东六校联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率 e 1 2，点 A(b，0)，B，F 分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|BA|2 6. (1)求
15、椭圆 C 的方程. (2)若过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于 G，H 两点(G 在 M，H 之间)，设直线 l 的斜率 k0，在 x 轴上是否存在点 P(m，0)，使得以 PG，PH 为邻边的平行四 边形为菱形？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由. 解(1)设椭圆的焦距为 2c，由离心率 e1 2得 a2c， 由|BF|BA|2 6，得 a b2b22 6， ab2 3， a2b2c2， 由可得 a24，b23， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)设直线 l 的方程为 ykx2(k0)， 由 ykx2（k0）， x2 4 y 2 3 1
16、消 y 得(34k2)x216kx40， 可得0，k1 2. 设 G(x1，y1)，H(x2，y2)，则 x1x2 16k 4k23，PG PH (x1x22m，k(x1x2) 4)，GH (x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1). 菱形的对角线互相垂直，(PG PH )GH 0， (1k2)(x1x2)4k2m0，得 m 2k 4k23， 即 m 2 4k3 k ，k1 2， 3 6 m0 当且仅当3 k4k 时，等号成立. 存在满足条件的实数 m，m 的取值范围为 3 6 ，0 . 4.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1(1，0)，F2(1
17、，0)，点 A 1， 2 2 在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当该直线与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时， 能在直线 y5 3上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足PM NQ ？若存在， 求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解(1)设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c1， 因为 A 1， 2 2 在椭圆 C 上，所以 2a|AF1|AF2|2 2，则 a 2，b2a2c2 1. 故椭圆 C 的方程为x 2 2 y21. (2)椭圆 C 上不存在这样的点 Q，理由如下： 设直线的方程为 y2xt，M(x1，y1)，N(x2，y
18、2)，P x3，5 3 ，Q(x4，y4)， 由 y2xt， x2 2 y21，消去 x 得 9y 22tyt280， 所以 y1y22t 9 ，且4t236(t28)0， 即3t3. 由PM NQ 得 x1x3，y15 3 (x4x2，y4y2)， 所以有 y15 3y 4y2，y4y1y25 3 2 9t 5 3. 又3t3，所以7 3y 4b0)的左、右焦点分别为 F 1(1， 0)，F2(1，0)，左、右顶点分别为 A1，A2，P 为椭圆 E 上的 动点(不与 A1，A2重合)，且直线 PA1与 PA2的斜率的乘积 为3 4. (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点F2作两条互相垂直的
19、直线l1与 l2(均不与x 轴重合)分别与椭圆 E相交于 A， B，C，D 四点，线段 AB，CD 的中点分别为 M，N，求证：直线 MN 过定点，并 求出该定点的坐标. (1)解设 P(x0，y0)(y00)，则x 2 0 a2 y20 b21. 整理，得 x20a2a 2y2 0 b2 . 由题意，得 y0 x0a y0 x0a 3 4. 整理，得 x20a24 3y 2 0. a 2y2 0 b2 4 3y 2 0，又 y00，即 a24 3b 2. c1，a2b2c2，a24，b23. 故椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)证明设直线 AB 的方程：yk(x1)(k0
20、)， A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 yk（x1）， 3x24y212 消 y 得(4k23)x28k2x4k2120. x1x2 8k2 4k23. xMx1x2 2 1 2 8k2 4k23 4k2 4k23， yMk(xM1) 3k 4k23. 用1 k替换点 M 坐标中的 k，可得 x N 4 3k24，y N 3k 3k24. 若直线 AB关于 x轴对称后得到直线 AB， 直线CD关于 x轴对称后得到直线 CD， 线段 AB，CD的中点分别为 M，N，则直线 MN与直线 MN 关于 x 轴对称. 若直线 MN 经过定点，则该定点一定是直线 MN与 MN 的交点，该交点必在
21、x 轴上. 设该交点为 T(s，0)，则MT (sxM，yM)，NM (xMxN，yMyN). 由MT NM ，得 sxNyMxMyN yMyN . 代入点 M，N 的坐标并化简，得 s4 7. 经过的定点为 4 7，0. 6.(2020广州质量监测)如图， 椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右焦点分别为 F 1， F2，离心率为 3 2 ，过焦点 F2且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)点 P(x0，y0)(y00)为椭圆 C 上一动点，连接 PF1，PF2，设F1PF2的角平分线 PM 交椭圆 C 的长轴于点 M(m
22、，0)，求实数 m 的取值范围. 解(1)将 xc 代入x 2 a2 y2 b21 中，由 a 2c2b2， 可得 y2b 4 a2，所以弦长为 2b2 a . 由 2b2 a 1， c a 3 2 ， a2b2c2， 解得 a2， b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)法一因为点 P(x0，y0)(y00)，F1( 3，0)，F2( 3，0)， 所以直线 PF1，PF2的方程分别为 l1：y0 x(x0 3)y 3y00， l2：y0 x(x0 3)y 3y00. 由题意可知 |my0 3y0| y20（x0 3）2 |my0 3y0| y20（x0 3）2. 由于点 P
23、 为椭圆 C 上除左、右顶点外的任一点，所以x 2 0 4 y201(y00)， 所以 |m 3| 3 2 x02 2 |m 3| 3 2 x02 2， 因为 3m 3，2x02， 所以 m 3 3 2 x02 3m 2 3 2 x0 ，即 m3 4x 0， 因此，3 2m 3 2. 法二设|PF1|t， 在PF1M 中，由正弦定理得 t sinPMF1 m 3 sinMPF1， 在PF2M 中，由正弦定理得 4t sinPMF2 3m sinMPF2， 因为PMF1PMF2，MPF1MPF2， 所以 t 4t 3m 3m，解得 m 1 4(2 3t4 3)， 因为 t(ac，ac)，即 t(2 3，2 3)， 所以3 2m 3 2.
