1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 ,由递推公式判定数列的单调性、两个经典不等式,在数列中的应用) 数列的压轴小题，常以递推公式的形式出现，灵活性强且难度较大 常用方法主要有： (1)利用单调性直接判定； (2)利用叠代函数； (3)利用代数不等式 exx1，ln xx1(x0) 题型一由递推公式判定数列的单调性 【例 1】 (1)(2021名校冲刺卷二)已知数列an，bn满足：a11，b12，an1 1an bn an，bn11bn an bn
2、，则() Aa2 020a2 021Ba2 020b2 020 Cb2 0205Da2 0200， 数列an满足 an1|pan|2anp(nN*)， 首项为 a1，前 n 项和为 Sn.若 SnS3对任意 nN*恒成立，则a1 p 的取值范围为 _ 答案(1)D(2)6，4 解析(1)由题意 a10，b10 及递推关系可知 an0，bn0.因为 1an1 （1an） （1bn） bn ，所以1an 1 1an 1 1 bn1，即 a n1an，故数列an单调递增， an11（an1） （bn1） bn ， bn11（an1） （bn1） an ， 即 1 an11 bn （an1） （bn1
3、）， 1 bn11 an （an1） （bn1）， 所以 1 1an1 1 1bn1 bnan （1an） （1bn） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1 1an 1 1bn 1 1an1 1 1bn1 1 1a1 1 1b1，而 1 1a1 1 1b1 1 6是一个 常数，所以 1 1an 1 1bn 1 6 1 6，解得 a n5，故 a2 020 1 1bn，所以 a n0， 即 an1an， 数列an 递增又 SnS3，因此 a1a2a30a4
4、a50， 解得 6a1 p 4，即a1 p 的取值范围是6，4 感悟升华(1)对递推公式适当变换，判定出函数的单调性(避开求通项公式)；(2) 注意运用不等式的性质 【训练 1】 (1)(2021宁波十校联考)数列an满足 a12，an1a2nan1，nN*， 则() A存在 kN*，使 2k 2ak2k1 B存在 m，kN*，有 amkak C存在 m，kN*，有 ammak D. 1 a1 1 a2 1 an1 3的正整数 n 的最小值是( ) A2 018B2 019C2 020D2 021 答案(1)D(2)C 解析(1)由 an1a2nan1，nN*得 an1an(an1)2，由于
5、a121，所以(an 1)20，则 an1an0，所以an为递增数列，故当 n2 时，an 1 an an 1 an1a 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1 a212，所以 a na22n 22n1(n2)又 a12，所以不存在 kN*，使 2k 2akk， 因为 an11an(an1)， a12Z， 则 anZ， 由累乘法得 an1an1an 2am(am1)，所以a n ama n1an2am1(am1) 1 amZ，故选项 B，C 错误； 由
6、 an11an(an1)得 1 an11 1 an（an1） 1 an1 1 an， 即 1 an 1 an1 1 an11， 由累加法得 1 a1 1 a2 1 an 1 a11 1 an111 1 an11，由a n为递增数列，可 得 1 an110，则 1 1 an111，即 1 a1 1 a2 1 an0 得数列a n单调递增，且 1 an1 2 018 an（an2 018） 1 an 1 an2 018，所以 1 an 1 an1 1 an2 018，可得 4 1 an 1 a1 1 an 1 a12 018 1 a22 018 1 an12 018 ，当 n 2 019 时，因为
7、 1 4 a1a2a2 018，所以 4 1 a2 019 2 018 a12 0181，解得 a 2 019 2 019 a2 0192 018 2 019 12 0181，得 a 2 0201 3，故选 C. 题型二迭代函数在数列中的应用 【例 2】 (1)(2021浙江考前冲刺卷五)已知函数 f(x)xln(4x)，数列an满足： a11，an1f(an)，an的前 n 项和为 Sn，则下列选项不正确的是() A数列an是递增数列Ba193 CSn3n2D存在 nN*，使得 an7 2 (2)(2021浙江名校联盟一联)已知数列an满足 an1 1 an12a n 1 an(nN *)，
8、则 () 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A当 0anan B当 an1(nN*)时，an1 2n4 D当 a12 时，an1 1 an1 3n20 答案(1)D(2)C 解析(1)因为 f(x)xln(4x)，所以函数 f(x)的定义域为(，4)，且 f(x)1 1 4x 3x 4x，所以函数 f(x)在(，3)上单调递增，在(3，4)上单调递减，所以 f(x)f(3)3ln 13.又 a11， an1f(an)， 所以 a21ln 3， 1a2f(
9、a1)， 即 a3f(a2)f(a1)a2，依次传递可得 an1an，故数列an是递增数列，所以 A 正 确；易知 f(an)f(3)3，则 a193，所以 B 正确；因为 an3，所以 Sna1a2 an1333n2，所以 C 正确；因为 an3，所以不存在 nN*， 使得 an7 2，故 D 错误，故选 D. (2)依题意， 注意到函数 f(x)x1 x在(0， 1)上单调递减， 在(1， )上单调递增 当 an0 时，an1 1 an12a n 1 ana n 1 an，即 f(a n1)f(an)，因此 A，B 均不正确对 于 C，当 a11 2时，(a n1 1 an1) 2 2an
10、 1 an 2 an 1 an 2 3a2n2， an1 1 an1 2 an 1 an 2 2，由此可得(an1 1 an1) 2(a11 a1) 22n2n25 4 2n4， an1 1 an1 2n4，C 正确；对于 D，当 a12 时，a2 1 a22a 1 1 a1 9 2 20.25a12， 则 a3 1 a32a 2 1 a2a 2a2 1 a2 a22a1 1 a1a 29 22 9 2 3220，因此 D 不正确综上所述，选 C. 感悟升华此类问题有两种情形 (1)给出函数型，利用函数的单调性得到数列的单调性，或者利用函数得出数列的 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
11、 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 通项公式、递推公式； (2)结合数列的条件，寻找其对应的函数，借助函数研究数列的性质 【训练 2】 (1)(2021浙江名师预测三)已知函数 f(x)ln x x (2)，点(n，an)在函 数 f(x)的图象上，Sn是数列an的前 n 项和，则下列选项错误的是() Aa10Ba23 4 CS21DSn0， 且 a2n3a2n12an1(nN*)， 下列说法正确的是() A若 a11 2，则 a nan1 B若 a12，则 an1 3 7 n1 Ca1a52a3
12、 D|an2an1| 3 3 |an1an| 答案(1)C(2)B 解析(1)由题意易得 a10.当 n2 时，anf(n)ln n n ln n 2 n2 n21 n2 1 1 n（n1）1 1 n 1 n1 (2)，所以 a22 21 22 3 4，所以 S n01 1 2 1 3 1 1 3 1 4 1 1 n 1 n1 n11 2 1 n1 2n2n1 2（n1），所以 S 20， 所以 an1 与 an11 同号 又由 a2n3a2n12an1得 a2n1 a2na2n1(3a2n12an1)2an1(1an1)当 a11 2时，a 110，则 an110，所以 an1an，故 A
13、错误； 当 a12 时，a110，则 an110，所以 a2n1a2na2n1(3a2n12an1) 2an1(1an1)0，所以 1an1 an1 3an1 1 3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2 3（3an1） 1 3 2 3（321） 3 7，则 a n1 3 7 n1 (a11) 3 7 n1 ，则 an 3 7 n1 1，故 B 正确；由 a2n3a2n12an1得 an1 3a2n11 3 (an0)，因 为函数 f(x) 3x211
14、3 为下凸函数，所以1 2f(x 1)f(x2)f x1x2 2，所以 a1 a52a3， 故 C 错误； 取 a23 4， 则 a 1 3 4 ， a34 43 12 ， 显然不满足|a3a2| 3 3 |a2 a1|，故 D 错误综上所述，故选 B. 题型三不等式 exx1，ln xx1(x0)在数列中的应用 【例 3】 (1)(一题多解)(2018浙江卷)已知 a1，a2，a3，a4成等比数列，且 a1a2 a3a4ln(a1a2a3)若 a11，则() Aa1a3，a2a3，a2a4 Ca1a4Da1a3，a2a4 (2)(2021龙湾中学检测)已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足
15、 an 1 np 1（np1）， 则下列说法正确的是() A当 p1 时，则 S2 019 C当 p1 2时，则 S 2 0191 D当 p1 时，则 S2 0191 答案(1)B(2)B 解析(1)法一因为 ln xx1(x0)，所以 a1a2a3a4ln(a1a2a3)a1 a2a31，所以 a41，又 a11，所以等比数列的公比 q1，所以 ln(a1a2a3)0， 与 ln(a1a2a3)a1a2a3a40 矛盾， 所以1q0， a2a4a1q(1q2)a3， a21，所 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数
16、学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 以等比数列的公比 q1， 所以 ln(a1 a2a3)0，与 ln(a1a2a3)a1a2a3a40 矛盾， 所以1q0， a2a4a1q(1q2)a3，a22 019 1 2 1 2 1 2 2 019 2 ，故 A 错误；当 p0 时，an 1 2n.因为 1 nln 11 n ln n1 n ，所以 S2 0191 2ln 2 1 3 2 2 020 2 019 ln 2 020 2 7.6 2 ，故 B 正确；当 p1 2时， an 1 n3 2 n1 21 1 n2n3 2 1 n2n 1 n 1 n1，则 S 2 019
17、11 2 1 2 1 3 1 2 019 1 2 020 2 019 2 0201，故 C 错误；当 p1 时，a n 1 n2（n1） 1 n2n 1 n 1 n1，则 S2 01911 2 1 2 1 3 1 2 019 1 2 020 2 019 2 0201，故 D 错误综上所述，故选 B. 感悟升华当数列条件中出现了指数、对数形式时，注意联想运用这两个代数不 等式，实现把指数、对数放缩为一次式 【训练 3】 (1)(2021浙江新高考仿真一)已知数列an的通项公式为 an ln 1 2 3 n ，其前 n 项和为 Sn，且 Snn1 3. A0B1C2D3 答案(1)A(2)D 解析
18、(1)因为 ln(1x)0)，所以 ln 1 2 3 n 2 3 n ，故 Snln 12 3 ln 1 2 3 2 ln 1 2 3 n 2 3 2 3 2 2 3 n 2 3 1 2 3 n 12 3 2 1 2 3 n 2，即 Sn1 可知，an10，即 an1，所以 ln an0，所以 an1nln e1 3n 1 3，正确故均正确，选 D. 一、选择题 1(2021义乌一模)若数列an满足 a11 2，a n11 2a 2 nanm，若对任意的正整数 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群
19、 483122854 期待你的加入与分享 n 都有 an2， 则an1anm2， a2a1m 2，a3a2m2，anan1m2(n2)，于是有 ana1(n1)(m2)， 即 ana1(n1)(m2)(n2)，因此数列an中存在超过 2 的项，这与 an2 不适合题意当 m2 时，an1an1 2(a n2)20， an1an.又 a11 2，因此 a na11 20.又 a n121 2a n(an2)，故 an12 与 an2 同号又 a120，因此 an20，即有 an2.结合各选项知，选 C. 2(2021上虞区期末调测)已知数列an中，a12，若 an1a2nan，设 Sm 2a1
20、a11 2a2 a21 2am am1，若 S man，且 an16.又 an1an(an1)，两边取 倒数得 1 an1 1 an 1 an1， 即 1 an1 1 an 1 an1， 所以 1 a11 1 a21 1 am1 1 a1 1 am1，故 S m m k1 2ak ak1 m k1 2 2 ak1 2m2 1 a1 1 am12m11 32 020，解 得 m3 031 3 ，即正整数 m 最大值为 1 010，故选 B. 3(2021杭州七校三联)若正项数列an满足 an1anln an，0a11，设 Sna1 a2a3an，Tna1a2a3an，nN*，则下列说法一定正确的
21、是() A对任意的 nN*，恒有 0Snn 答案C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析设函数 f(x)xln x(x0)，则 f(x)11 x x1 x ，所以函数 f(x)在(0，1)上 单调递减，在(1，)上单调递增，故 f(x)minf(1)1.又 an1anln an，所以 an11.因为 0a11，即 0S1n11，此时可 排除 A.因为 an1anln an，所以 anan1ln an，所以 a1an1(a1a2)(a2 a3)(anan
22、1)ln a1ln a2ln anln(a1a2an)0， 故a1a2an1， 即 0Tn1，故排除 D，选 C. 4(2021浙江名校联考信息卷十)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n 12， 数列bn满足 bnan 2 n1，若对于任意 nN*，不等式 bn1bn都成立，则实 数的取值范围是() A. 1 3，B. ，1 3 C. ，1 3D0，) 答案A 解析当 n1 时，a1S12222，当 n2 时，anSnSn1(2n 12)(2n 2)2n，因为当 n1 时，a1221也满足上式，所以数列an的通项公式为 an 2n，所以 bn2n 2 n1.因为 bn1bn，所以
23、2n 1 2 n22n 2 n1，即 2 2 n2 4 n2 2 n1.令 g(x) 4 x2 2 x1(x1)，则 g(x) 4 （x2）2 2 （x1）2 2（x22） （x1）2（x2）2 2（x 2） （x 2） （x1）2（x2）2 ，易得 x 2时，g(x)取得最大值，因为 nN*，所以 g(n) 的最大值为 g(1)或 g(2)，又 g(1)g(2)1 3，所以 1 3，故选 A. 5(2020湖州、衢州、丽水三市质检)设数列an满足 a11，an1eanm1， nN*，若对一切 nN*，an2，则实数 m 的取值范围是() A2，)B1，2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全
24、 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C3，)D2，3 答案A 解析由 an2 得 an12， 所以 eanm1， anm0， 所以 anm， 因为 an2， 所以 m2，故选 A. 6(2021绍兴柯桥区期末)已知数列an满足 0a11，an14ant an2 (tR)，若对于 任意 nN*，都有 0anan13，则 t 的取值范围是() A(1，3B0，3 C(3，8)D(8，) 答案A 解析因为任意的 nN*，都有 0anan10，即 ta2n2an在 an(0，3)上有解，故 t1.又
25、 an14ant an2 3， 即 t6an，故 t3.综上，10 时，an1an B当 a0 时，an1an C当 0a1 2时，a 1a2an1 D当 01 答案C 解析由于数列an的递推关系满足函数 y x2 x2x1，则当 a0 时，a 10， 故对任意的 n2， 有an 1 an an a2nan1 an 2anan1， 故数列a n从第 2 项起可能为 递减数列，也可能为常数列，故排除 A，B；当 0a1 时，0an1an1，则 an1 a2n a2n（1an） a2n 1ana n an 1an， 且 an1 1an1 a2n 1ana n an 1an， 故依 本资料分享自新人
26、教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 次迭代得 anan1 an1 1an1a n1an2 an2 1an2(a n1an2 a2a1) a1 1a1，即 a 1a2an a1 1a11 12a1 1a1 ，所以当 0a1 2时，a 1a2 an210B当 a 2时，a102 C当 a1 3时，a 10210D当 a16 5 时，a102 答案C 解析令函数 f(x)x(x2)3， 则 f(x)13(x2)2， 易得函数 f(x) x(x2)3在 ，2 3 3 ， 2 3
27、3 ， 上单调递减，在 2 3 3 ，2 3 3 上单调递增在平面直角坐标系内 画出函数 f(x)x(x2)3的图象如图所示，则由蛛网法得当 a14 时， a2n4， A 错误； 当 a1(1， 2)时， an(1， 2)， B 错误； 当 a116 5 时， a2(1， 2)， 则 an(1， 2)， n2， D 错误； 由 an1an(an2)3得 an2an(an2)3(an 2)2131当 a11 3时，a 24，则 a4a2208，故 a10a2(a4a2)(a10 a8)210，故选 C. 9(2021浙江五校联考)已知数列an满足 an1an n an(nN *)，a10，则当
28、n2 时，下列判断不一定正确的是() Aann Ban2an1an1an C.an 2 an1 an1 an D存在正整数 k，当 nk 时，ann1 恒成立 答案C 解析因为 a10，则 an1an n an0，且 a 2a1 1 a12.又 a n1(n1) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a2n（n1）ann an （ann） （an1） an ，故 an1(n1)与 ann 同号，所以 an n 与 a22 同号，因此 ann，即 A 正确；因
29、为数列an单调递增，又an 1 an 1 n a2n1 1 n，则 n1 an1 n an，故(a n2an1)(an1an)n1 an1 n an0，即 a n2 an1an1an，即 B 正确；因为 ann，假设 nkN*，kakk1，因为函数 yxk x在 k，)上单调递增，则 a k1ak k ak kk k，k1 k k1 k1， k2)，即对任意的 n2，都有 ann1，从而由数学归纳法知 D 正确；因为an 2 an1 an 1 an 1n1 a2n1 1 n a2nn1 a2n1 n a2n n1 n2 n （n1）2 3n（n1）1 n2（n1）2 ，因 此无法判断an 2
30、an1 an1 an 的符号，故选 C. 10(2021温州市适应性考试)已知数列xn满足 x12，xn1 2xn1(nN*)给 出以下两个命题： 命题 p：对任意 nN*，都有 1xn11(若数列xn中存在某项 xk且1 2x k1，k2，kN*，则 有 0 2xk111，由此解得1 2x k11，以此类推，得 x11，这与 x12 矛盾， 因此数列xn的所有项均大于 1)，且 xn1xn 2xn1xn（x n1）2 2xn1xn 0，即 xn1xn，于是有 1xn1xn，命题 p 为真命题 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自
31、新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 又 xn11 2xn11 2（xn1） 2xn11， 所以 xn11 xn1 2 2xn11 2 xn11， 所以 xn1(x11)x21 x11 x31 x21 xn1 xn11 2 x21 2 x31 2 xn1(其中 n2， nN *) 假 设存在 r(0， 1)， 使得对任意 nN*， 都有 r n1 2 x21 2 x31 2 xn1成立 由 1xn1xn得 2 x21 2 x31 2 xn11，把函数 yf(x)的图象与直线 yx 的交点的横坐标按从小到 大的顺序排成一个数列an，则数列an的前 n 项和 Sn_ 答案n2 解析当 x1 时，f(x)ex 1；当 1x3 时，1x21，f(x)f(x2)2 ex 32；当 3x5 时，1x23，f(x)f(x2)2ex54；当 5x7 时， 3x25，f(x)f(x2)2ex 76易得当 2n3x2n1(nN*)时，f(x) ex 2n12n2.设 g(x)ex2n12n2x，令 x2n1t，g(t)ett1.易 知 ett10 有唯一解 t0，所以当 g(x)0 时，x2n1(nN*)，故 an2n 1(nN*)，所以 Snn（12n1） 2 n2.
