1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 3 节直线与圆、圆与圆的位置关系 知 识 梳 理 1直线与圆的位置关系 设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的 距离为 d，由 （xa）2（yb）2r2， AxByC0 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为. 方法 位置关系 几何法代数法 相交d0 相切dr0 相离dr0)上存在点 P，且点 P 关于直线 xy0 的对称点 Q 在圆
2、 C2：(x2)2 (y1)21 上，则 r 的取值范围是_ (2)已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为() A. 6 2 B.3 2 C.9 4 D2 3 答案(1) 21， 21(2)C 解析(1)C2关于直线 xy0 的对称圆 C：(x1)2(y2)21，由题意，圆 C 与圆 C1有交点，所以 r1 2r1，所以 r 的范围是 21， 21 (2)由圆 C1与圆 C2相外切，可得 （ab）2（22）2213，即(ab)2 9， 根据基本不等式可知 ab ab 2 2 9 4， 当且仅当 ab 时等号成立 基础巩固题组 一、
3、选择题 1(2021北京朝阳区期末)在平面直角坐标系 xOy 中，过 A(4，4)，B(4，0)，C(0， 4)三点的圆被 x 轴截得的弦长为() A4B4 2C2D2 2 答案A 解析根据题意，设过 A、B、C 的圆为圆 M，其方程为 x2y2DxEyF0， 又由 A(4，4)，B(4，0)，C(0，4)， 则有 324D4EF0， 164DF0， 164EF0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 可得 D4，E4，F0， 即圆 M 的方程为 x2y2
4、4x4y0， 令 y0 可得 x24x0，可得 x10，x24， 即圆与 x 轴的交点的坐标为(0，0)，(4，0)， 则圆被 x 轴截得的弦长为 4. 2 若过点(3， 1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条， 则该切线的方程为() A2xy50B2xy70 Cx2y50Dx2y70 答案B 解析过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3，1)在圆(x 1)2y2r2上， 圆心与切点连线的斜率 k10 31 1 2， 切线的斜率为2， 则圆的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70.故选 B. 3(2021温州适考)已知直线 l：axbyb0，圆 C：x2y22x
5、0，则“a0” 是“直线 l 与圆 C 相切”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析依题意，圆心坐标为 C(1，0)，圆 C 的半径为 1，所以圆心 C 到直线 l 的距 离 d |ab| a2b2，所以直线与圆相切，即 d |ab| a2b21，解得 a0 或 b0，所以 “a0”是“直线 l 与圆 C 相切”的充分不必要条件，故选 A. 4(2020全国卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2xy3 0 的距离为() A. 5 5 B.2 5 5 C.3 5 5 D.4 5 5 答案B 解析由题意可知圆心在第一象限，设
6、圆心坐标为(a，b)(a0，b0) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 圆与两坐标轴均相切，ab，且半径 ra， 圆的标准方程为(xa)2(ya)2a2. 点(2，1)在圆上，(2a)2(1a)2a2， a26a50，解得 a1 或 a5. 当 a1 时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线 2xy30 的距离 d |2113| 22（1）2 2 5 5 ； 当 a5 时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线 2xy30 的距离 d |2553| 22（1
7、）2 2 5 5 . 综上，圆心到直线 2xy30 的距离为2 5 5 . 5(2021浙江名校新高考研究联盟三联)“a3”是“圆 O：x2y22 与圆 C： (xa)2(ya)28 外切”的() A必要不充分条件 B充分不必要条件 C必要条件 D既不充分条件也不必要条件 答案B 解析由题可得两圆的圆心分别为 O(0，0)，C(a，a)，则圆心距|OC| 2|a|，两 圆的半径分别为 2，2 2.若两圆外切，则|OC| 2|a| 22 23 2，所以 a 3.所以“a3”是“圆 O：x2y22 与圆 C：(xa)2(ya)28 外切”的充分 不必要条件，故选 B. 6(2021北京房山区期末)
8、已知点 A(4，0)，B(6，0)，点 P 在圆 x2(y4)24 上 运动，M 为线段 BP 的中点，则使OAM(O 为坐标原点)为直角三角形的点 M 的 个数为() A1B2C3D4 答案C 解析设 M(x，y)，P(a，b)，由 B(6，0)，M 是 BP 的中点，故有 a2x6，b 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2y，又 P 为圆 x2(y4)24 上一动点，(2x6)2(2y4)24，整理得(x3)2 (y2)21.故 AP 的中点 M 的
9、轨迹方程是(x3)2(y2)21.OAM(O 为坐标 原点)为直角三角形， 若OMA90， 以 OA 为直径的圆的方程为(x2)2y24， 此时两圆圆心距为 21 （32）2（20）2 512，故两圆相交，故 M 有两个；若OAM90，x4 与圆(x3)2(y2)21 相切，这样的 M 点有 一个；若AOM90，这样的 M 点不存在，故使OAM(O 为坐标原点)为直角 三角形的点 M 的个数为 3 个 二、填空题 7已知直线 l：x 3y60 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|_ 答案4 解析设 A(x1，y1)，B(
10、x2，y2)，由 x 3y60， x2y212， 得 y23 3y60，解得 y1 3，y22 3， A(3， 3)，B(0，2 3) 过 A，B 作 l 的垂线方程分别为 y 3 3(x3)，y2 3 3x，令 y0， 得 xC2，xD2，|CD|2(2)4. 8由直线 yx1 上的一点向圆(x3)2y21 引切线，则切线长的最小值为 _. 答案7 解析设直线上一点为 P，切点为 Q，圆心为 M，则|PQ|即切线长，MQ 为圆 M 的半径，长度为 1，|PQ| |PM|2|MQ|2 |PM|21. 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线 yx1 上的点到圆心 M 的最小距离
11、 设圆心到直线 yx1 的距离为 d， 则 d |301| 12（1）22 2.所以|PM|的最小值 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 为 2 2.所以|PQ| |PM|21 （2 2）21 7. 9若点 P 在圆 C1：x2y28x4y110 上，点 Q 在圆 C2：x2y24x2y1 0 上，则|PQ|的最小值是_；|PQ|的最大值是_ 答案3 553 55 解析把圆 C1、圆 C2的方程都化成标准形式，得 (x4)2(y2)29，(x2)2(y1)
12、24. 圆 C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是 3；圆 C2的圆心坐标是(2，1)，半径长 是 2. 圆心距 d （42）2（21）23 5. 所以|PQ|的最小值是 3 55，|PQ|的最大值为 3 55. 10 若实数 x， y 满足 x2y22 3x2y30， 则 x2y2的取值范围是_， y x的取值范围是_ 答案1，90， 3 解析由条件得(x 3)2(y1)21. x2y2可以看成圆(x 3)2(y1)21 上的点与坐标原点的距离，则其最大值 是 3，最小值是 1，所以 x2y21，9 y x可以看成圆(x 3) 2(y1)21 上的点与坐标原点连线的斜率，则y x0， 3 三、
13、解答题 11(一题多解)已知直线 l：ykx1，圆 C：(x1)2(y1)212. (1)试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长 法一(1)证明由 ykx1， （x1）2（y1）212， 消去 y 得(k21)x2(24k)x70， 因为(24k)228(k21)0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点 (2)解设直线与圆交于 A(
14、x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB| 1k2|x1x2| 2 84k11k2 1k2 2114k3 1k2， 令 t4k3 1k2，则 tk 24k(t3)0， 当 t0 时，k3 4，当 t0 时，因为 kR， 所以164t(t3)0，解得1t4，且 t0， 故 t4k3 1k2的最大值为 4，此时|AB|最小为 2 7. 法二(1)证明因为不论 k 为何实数，直线 l 总过点 P(0，1)，而|PC| 52 3 r，所以点 P(0，1)在圆 C 的内部，即不论 k 为何实数，直线 l 总经过圆 C 内部的 定点 P.所以不论 k 为何实数，直线 l
15、 和圆 C 总有两个交点 (2)解由平面几何知识知过圆内定点 P(0，1)的弦，只有与 PC(C 为圆心)垂直时 才最短，而此时点 P(0，1)为弦 AB 的中点，由勾股定理，知|AB|2 1252 7， 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. 12已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M， N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径 r1， 由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1， 因为 l 与 C 交于两点，所以|2k31| 1k2
16、1. 解得4 7 3 k4 7 3 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 k 的取值范围为 4 7 3 ，4 7 3. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70. 所以 x1x24（1k） 1k2 ，x1x2 7 1k2. OM ON x1x2y1y2 (1k2)x1x2k(x1x2)14k（1k） 1k2 8. 由题设可得4k（1k） 1k2 812， 解得
17、 k1，所以 l 的方程为 yx1. 故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2. 能力提升题组 13设直线 l：3x4ya0，圆 C：(x2)2y22，若在圆 C 上存在两点 P，Q， 在直线 l 上存在一点 M，使得PMQ90，则 a 的取值范围是() A18，6 B65 2，65 2 C16，4 D65 2，65 2 答案C 解析设直线 l：3x4ya0 上任意一点 M1.当 M1Q，M1P 分别与圆相切时， PM1Q 最大，随着 M1的运动，当 CM1与直线 l 垂直时，PM1Q 取到最大值， 此时四边形 CPM1Q 为正方形，|CM1|2.利用点到直线的距离公式得 |6a| 32422，
18、 解得 a16 或 a4， 只需PM1Q90， 即|CM1|2， 即可存在点 M 满足题意， 所以 a 的取值范围是16，4 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 14(2020全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线 l：2xy20，P 为 l 上的动点过点 P 作M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，当|PM|AB|最小时， 直线 AB 的方程为() A2xy10B2xy10 C2xy10D2xy10 答案D 解析M：(x1)2(y1)24， 则圆心
19、 M(1，1)，M 的半径为 2. 如图，由题意可知 PMAB， S 四边形PAMB1 2|PM|AB|PA|AM|2|PA|， |PM|AB|4|PA|4 |PM|24. 当|PM|AB|最小时，|PM|最小，此时 PMl. 故直线 PM 的方程为 y11 2(x1)，即 x2y10. 由 x2y10， 2xy20，得 x1， y0， P(1，0) 又直线 x1，即 PA 与M 相切， PAx 轴，PAMA，A(1，1) 又直线 AB 与 l 平行， 设直线 AB 的方程为 2xym0， 将 A(1，1)的坐标代入 2xym0，得 m1. 直线 AB 的方程为 2xy10. 故选 D. 15
20、在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 3 2 ，0 ，A，B 是圆 C：x2 y1 2 2 36 上的两个动点，满足|PA|PB|，则PAB 面积的最大值是_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案10 5 解析连接 CA，CB，则|CA|CB|，连接 CP，由|PA|PB| 且|CA|CB|得 AB 的垂直平分线是直线 CP.设圆心 C 到 AB 的距离为 d(0d6)，易知当PAB 的面积最大时，点 P 到 直线 AB 的距离为 d|PC|d1，|
21、AB|2 36d2，PAB 的 面 积 S 1 2 |AB|(d 1) 1 2 236d2(d 1) 36（d1）2d2（d1）2.令 d1t，t1，7)，则 S 36t2（t1）2t2.令 f(t)36t2(t1)2t2t42t335t2，t1，7)，则 f(t)4t36t270t 2t(t5)(2t7)，由 f(t)0 及 t1，7)，得 t5，则当 t1，5)时，f(t)0， f(t)单调递增，当 t(5，7)时，f(t)0，f(t)单调递减，所以 f(t)maxf(5)500，则 PAB 面积的最大值为 10 5. 16已知圆 O1和圆 O2都经过点 A(0，1)，若两圆与直线 4x3
22、y50 及 y1 0 均相切，则|O1O2|_ 答案5 解析设圆 O1的圆心为(a1，b1)，半径为 r1，则由题意，有 r1|b11|， a21（1b1）2r21， |4a13b15| 5 |b11|， 设圆 O2的圆心为(a2，b2)，半径为 r2，将代入中， 得 a214b1，将代入中， |4a13a 2 1 4 5| 5 |a 2 1 4 1|，解得 a10 或 a12， a10 b10或 a12， b11， 同理 a20， b20 或 a22， b21， 所以|O1O2| （a1a2）2（b1b2）2 5. 17已知直线 l：4x3y100，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心
23、C 在 x 轴上且 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 在直线 l 的右上方 (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M(1，0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上 是否存在定点 N，使得 x 轴平分ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在， 请说明理由 解(1)设圆心 C(a，0) a5 2 ，则|4a10| 5 2a0 或 a5(舍) 所以圆 C 的方程为 x2y24. (2)当直线 ABx 轴时，x 轴
24、平分ANB. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 由 x2y24， yk（x1） ，得(k 21)x22k2xk240， 所以 x1x2 2k2 k21，x 1x2k 24 k21. 若 x 轴平分ANB，则 kANkBN y1 x1t y2 x2t0 k（x11） x1t k（x21） x2t 02x1x2(t1)(x1x2)2t02（k 24） k21 2k 2（t1） k21 2t0t4，所以当 点 N 为(4，0)时，能使得ANMBNM 总成立 18已知圆 O：x2y24 和点 M(1，a) (1)若过
25、点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切，求实数 a 的值，并求出切线方程 (2)若 a 2， 过点 M 作圆 O 的两条弦 AC， BD 互相垂直， 求|AC|BD|的最大值 解(1)由条件知点 M 在圆 O 上， 所以 1a24，则 a 3. 当 a 3时，点 M 为(1， 3)，kOM 3，k 切 3 3 ， 此时切线方程为 y 3 3 3 (x1) 即 x 3y40， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 a 3时，点 M 为(1， 3)，kOM
26、3，k 切 3 3 . 此时切线方程为 y 3 3 3 (x1)即 x 3y40. 所以所求的切线方程为 x 3y40 或 x 3y40. (2)设 O 到直线 AC，BD 的距离分别为 d1，d2(d1，d20)， 则 d21d22OM23. 又有|AC|2 4d21，|BD|2 4d22， 所以|AC|BD|2 4d212 4d22. 则(|AC|BD|)24(4d214d222 4d21 4d22) 452 164（d21d22）d21d22 4(52 4d21d22) 因为 2d1d2d21d223，所以 d21d229 4， 当且仅当 d1d2 6 2 时取等号， 所以 4d21d225 2， 所以(|AC|BD|)24 525 2 40. 所以|AC|BD|2 10， 即|AC|BD|的最大值为 2 10.
