1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 6 节双曲线的方程与性质 知 识 梳 理 1双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且 大于零)，则点的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫 焦距其数学表达式：集合 PM|MF1|MF2|2a， |F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0： (1)若 ac 时，则集合 P 为空集 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2
2、 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性 质 范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线yb ax ya bx 离心率ec a，e(1，) 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴， 它的长|B1B2|2b； a 叫做双曲线的实半 轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系c2a2b2 1双曲线中的几个常用结论 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 32303138
3、0 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线 (3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e 2双曲线的两条渐近线互相垂直 (位置关系) (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a . (5)过双曲线焦点 F1的弦 AB 与双曲线交在同支上， 则 AB 与另一个焦点 F2构成的 ABF2的周长为 4a2|AB|. 2 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时， 只要令双曲线的标准方程中 “1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2 a
4、2 y2 b20 就是双曲线 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) 的两条渐近线方程 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线() (2)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线() (3)方程x 2 m y2 n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线() (4)双曲线x 2 m2 y2 n2(m0， n0， 0)的渐近线方程是 x2 m2 y2 n20， 即 x m y n0.( ) (5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.() 答案(1)(2)
5、(3)(4)(5) 解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线 (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部 (3)当 m0，n0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m0，n0 时则表示焦点 在 y 轴上的双曲线 2(2019浙江卷)渐近线方程为 xy0 的双曲线的离心率是() A. 2 2 B1C. 2D2 答案C 解析由题意可得b a1，e 1b 2 a2 11 2 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故
6、选 C. 3(2021宁波期末)双曲线y 2 4 x 2 9 1 的渐近线方程是() Ay2 3x By3 2x Cy9 4x Dy4 9x 答案A 解析双曲线y 2 4 x 2 9 1 的渐近线方程为y 2 4 x 2 9 0，即 y2 3x，故选 A. 4设双曲线x 2 9 y 2 b21(b0)的焦点为 F 1，F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|5， 则|PF2|_ 答案11 解析2a6|PF2|11. 5(选修 21P62A6 改编)经过点 A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲 线方程为_ 答案 x2 8 y 2 8 1 解析设双曲线的方程为：x2y2(0)，把点 A(
7、3，1)代入，得8，故所 求方程为x 2 8 y 2 8 1. 6(2021杭州质检)若双曲线 M：x2y 2 m1 的离心率小于 2，则 m 的取值范围是 _；若 m2，双曲线 M 的渐近线方程为_ 答案(0，1)y 2x 解析由题意得双曲线的半焦距 c 1m，则双曲线的离心率 ec 1 1m， 则由 1 1m 2，得 0m1.当 m2 时，双曲线 M 的方程为 x2y 2 2 1，则 渐近线方程为 x2y 2 2 0，即 y 2x. 考点一双曲线的定义及其应用 【例 1】 (1)(2021北京朝阳区质检)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2 y29，动圆 M 同时与圆 C
8、1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 _ (2)(2021浙江教育绿色评价联盟适考)已知点 M 为双曲线 x2y 2 8 1 左支上一动点， 右焦点为 F，点 N(0，6)，则该双曲线的离心率为_；|MN|MF|的最小值 为_ 答案(1)x2y 2 8 1(x1)(2)323 5 解析(1)如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|，
9、|MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小)， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1) (2)由双曲线的标准方程，得 a21，b28，c2a2b29，则离心率 ec a3； 取双曲线的左焦点 F，由双曲线的定义，得|MN|MF|MN|(2a|MF|)2 (|MN|MF|)2|NF|23 5. 感
10、悟升华“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常 使用 (2)技巧： 经常结合|PF1|PF2|2a， 运用平方的方法， 建立它与|PF1|PF2|的联系 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 提醒利用双曲线的定义解决问题，要注意三点 距离之差的绝对值2a|F1F2|.焦点所在坐标轴的位置 【训练 1】 (1)如果双曲线x 2 4 y 2 121 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么
11、点 P 到它的左焦点的距离是() A4B12C4 或 12D不确定 (2)(2021北仑中学模拟)若过双曲线 x2 16 y2 9 1 左焦点 F1的弦 AB 长为 6，则 ABF2(F2为右焦点)的周长是() A12B14C22D28 答案(1)C(2)D 解析(1)由双曲线方程，得 a2，c4.设 F1，F2分别为双曲线的左、右焦点， 根据双曲线的定义|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a84， |PF1|12 或|PF1|4. (2)因为|AF2|AF1|8，|BF2|BF1|8，所以|AF2|BF2|16|AB|22，所以 ABF2(F2为右焦点)的周长 C|AF2|BF2|A
12、B|22628，故选 D. 考点二双曲线的方程 【例 2】 (1)(2021温州中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双 曲线 x2y 2 3 1 有公共的渐近线，且经过点 P(2， 3)，则双曲线 C 的方程为 _ (2)(2021绍兴调测)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距 离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为() A.x 2 4 y 2 121 B.x 2 12 y2 4 1 C.x 2 3 y 2 9 1D.x 2 9
13、y 2 3 1 答案(1)x 2 3 y 2 9 1(2)C 解析(1)双曲线 C 与双曲线 x2y 2 3 1 有公共的渐近线，设双曲线 C 的方程 为 x2y 2 3 (0)，双曲线 C 经过点 P(2， 3)，413，双曲线 C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 的方程为x 2 3 y 2 9 1. (2)由 d1d26， 得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3， 所以 b3.因为双曲线x 2 a2 y 2 b21(a0，b0)的离心率为 2，所以
14、c a2，所以 a2b2 a2 4，所以a 29 a2 4，解 得 a23，所以双曲线的方程为x 2 3 y 2 9 1，故选 C. 感悟升华用待定系数法求双曲线方程的步骤： (1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标 轴都有可能； (2)设方程：根据上述判断设方程x 2 a2 y2 b21(a0，b0)或 y2 a2 x2 b21(a0，b0)； (3)找关系：根据已知条件，建立关于 a，b，c 的方程组； (4)得方程，解方程组，将解代入所设方程，即为所求 【训练 2】 (1)已知双曲线 C1，C2的顶点重合，C1的方程为x 2 4 y21，若 C2
15、的一 条渐近线的斜率是 C1的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 C2的方程为_ (2)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y 5 2 x，且与椭圆x 2 12 y 2 3 1 有公共焦点，则 C 的方程为() A.x 2 8 y 2 101 B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 5 y 2 4 1D.x 2 4 y 2 3 1 答案(1)x 2 4 y 2 4 1(2)B 解析(1)因为 C1的方程为x 2 4 y21，所以 C1的一条渐近线的斜率 k11 2，所以 C2的一条渐近线的斜率 k21，因为双曲线 C1，C2的顶点重合，即焦点都在 x 轴
16、 上，设 C2的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，所以 ab2，所以 C 2的方程为x 2 4 y 2 4 1. (2)由题设知b a 5 2 ， 又由椭圆x 2 12 y2 3 1 与双曲线有公共焦点， 易知 a2b2c29， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由解得 a2，b 5，则双曲线 C 的方程为x 2 4 y 2 5 1. 考点三双曲线的几何性质 【例 3】 (1)(2019全国卷)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a
17、0，b0)的左、右焦点分 别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1A AB ， F1B F2B 0，则 C 的离心率为_ (2)(2020全国卷)设 O 为坐标原点， 直线 xa 与双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0) 的两条渐近线分别交于 D，E 两点若ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值 为() A4B8C16D32 答案(1)2(2)B 解析(1)因为F1B F2B 0，所以 F1BF2B，如图 所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO， 所以BOF22BF1O.因为F1A AB ，所以点 A 为 F1B 的中点，又点
18、O 为 F1F2 的中点，所以 OABF2，所以 F1BOA，因为直线 OA，OB 为双曲线 C 的两条 渐近线，所以 tanBF1Oa b，tanBOF 2b a.因为 tanBOF 2tan(2BF1O)，所 以b a 2a b 1 a b 2，所以 b 23a2，所以 c2a23a2，即 2ac，所以双曲线的离心率 ec a2. (2)不妨设 D 位于第一象限，双曲线的渐近线方程为 yb ax，分别与 xa 联立， 可得 D(a，b)，E(a，b)， 则|DE|2b. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源
19、大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 SODE1 2a|DE| 1 2a2bab8， c2a2b22ab16. 当且仅当 ab22时，等号成立 c2的最小值为 16，c 的最小值为 4， C 的焦距的最小值为 248. 感悟升华(1)双曲线x 2 m y2 n 1(mn0)的渐近线方程为x 2 m y2 n 0；以 mxny0 为渐近线的双曲线方程可设为(mx)2(ny)2(0) (2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率， 在双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0) 中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 kb a满足关系式 e 21k2； (3)求双曲线的离
20、心率时， 将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a， b，c 的方程或不等式，利用 b2c2a2和 ec a转化为关于 e 的方程或不等式，通 过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 【训练 3】 (1)(2021北京谷平区质量监控)设双曲线 C 经过点(4， 3)， 且与x 2 4 y 2 9 1 具有相同渐近线，则 C 的方程为_；离心率为_ (2)(2018北京卷)已知椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)，双曲线 N： x2 m2 y2 n21(m0，n 0)若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为 一个正六边形的顶点，则椭圆 M
21、的离心率为_；双曲线 N 的离心率为 _ 答案(1)x 2 12 y2 271 13 2 (2) 312 解析(1)双曲线 C 经过点(4，3)，且与x 2 4 y 2 9 1 具有相同渐近线，设双曲线 C 的方程为x 2 4 y 2 9 (0)，把点(4，3)代入，得 41，解得3，双曲线 C 的方程为x 2 12 y2 271.双曲线的离心率为 39 12 13 2 . (2)设椭圆的右焦点为 F(c，0)，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点 为 A，由题意可知 A c 2， 3c 2，则|AF|OA|OF|c，|AF| 3c，c 3c 本资料分享自新人教版高中数学资源大全
22、 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2a， c a 31， 椭圆 M 的离心率为 31.双曲线的渐近线过点 A c 2， 3c 2， 渐近线方程为 y 3x，n m 3，故双曲线的离心率 e 双 m2n2 m2 2. 基础巩固题组 一、选择题 1(2021杭州质检)双曲线x 2 4 y21 的离心率为() A. 5 2 B. 5C. 3 2 D. 3 答案A 解析由题意得双曲线x 2 4 y21 的离心率 ec a 1b 2 a2 11 4 5 2 ，故选 A. 2(2021山水联盟考试)双
23、曲线 C 的方程为 2x2y21，则() A实轴长为 2，焦点坐标(0， 3)，(0， 3) B实轴长为 2，焦点坐标 0， 6 2 ， 0， 6 2 C实轴长为 2，焦点坐标( 3，0)，( 3，0) D实轴长为 2，焦点坐标 6 2 ，0 ， 6 2 ，0 答案D 解析因为双曲线的标准方程为x 2 1 2 y21，所以实轴长 2a2 2 2 2.因为 a2 1 2，b 21，所以 c2a2b23 2，所以 c 6 2 ，所以焦点坐标为 6 2 ，0 ，故选 D. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 Q
24、Q 群 483122854 期待你的加入与分享 3(2021绍兴适考)双曲线x 2 3 y21 的焦点到渐近线的距离是() A1B. 2C. 3D2 答案A 解析由题意知双曲线的渐近线方程为 x 3y0，则焦点(2，0)到渐近线的距 离 d 2 1（ 3）21.故选 A. 4 (2021龙湾中学检测)已知动点 P 满足| （x 5）2y2 （x 5）2y2|4， 则点 P 的轨迹是() A双曲线B椭圆C抛物线D圆 答案A 解析由题意得点 P 到点( 5，0)，( 5，0)的距离之差的绝对值为 42 5，所 以动点 P 的轨迹为双曲线，故选 A. 5(2021浙江十校联盟联考)已知双曲线的上、下
25、焦点分别为 F1(0，3)，F2(0， 3)，P 是双曲线上一点且|PF1|PF2|4，则双曲线的标准方程为() A.x 2 4 y 2 5 1B.x 2 5 y 2 4 1 C.y 2 4 x 2 5 1D.y 2 5 x 2 4 1 答案C 解析因为双曲线的焦点分别为 F1(0，3)，F2(0，3)，所以 c3.又因为|PF1| |PF2|2a4，所以 a2，则 b2c2a25，则双曲线的标准方程为y 2 4 x 2 5 1， 故选 C. 6 (2021湖州中学质检一)已知双曲线C的离心率e2， 其中一个焦点的坐标为(0， 2)，则双曲线 C 的标准方程是() Ax2y 2 3 1Bx2y
26、 2 5 1 Cy2x 2 5 1Dy2x 2 3 1 答案D 解析由题意得双曲线的焦点在 y 轴上，且 c2，离心率 ec a2，则 a1，所 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 以 b2c2a23，则双曲线 C 的标准方程为 y2x 2 3 1，故选 D. 7(2020浙江卷)已知点 O(0，0)，A(2，0)，B(2，0)设点 P 满足|PA|PB|2， 且 P 为函数 y34x2图象上的点，则|OP|() A. 22 2 B.4 10 5 C. 7
27、D. 10 答案D 解析由题意，知点 P 的轨迹是以 2 为实轴长，4 为焦距的双曲线的一支， 对应的方程为 x2y 2 3 1(x0) 函数 y34x2可转化为 x2y 2 9 4(y0) 联立，解得 x 13 2 ， y3 2 3，即 P 13 2 ，3 2 3 ，如图 因此，|OP| x2y2 13 4 27 4 10.故选 D. 8(一题多解)(2020全国卷)设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分 别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4， 则 a() A1B2C4D8 答案A 解析法一设|PF1|m
28、， |PF2|n， P 为双曲线右支上一点， 则 SPF1F21 2mn4， mn2a，m2n24c2，又 ec a 5，所以 a1. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 法二由题意得，SPF1F2 b2 tan 454，得 b 24， 又c 2 a25，c 2b2a2，所以 a1. 二、填空题 9(2021名校仿真训练一)双曲线x 2 4 y21 的焦距是_，渐近线方程是 _ 答案2 5y1 2x 解析双曲线x 2 4 y21 的焦距为 2 412 5，
29、渐近线方程为x 2 4 y20，即 y 1 2x. 10 (2020北京卷)已知双曲线 C： x2 6 y 2 3 1， 则 C 的右焦点的坐标为_； C 的焦点到其渐近线的距离是_ 答案(3，0)3 解析由x 2 6 y 2 3 1，得 c2a2b29，解得 c3，又焦点在 x 轴上，所以双曲线 C 的右焦点坐标为(3，0) 双曲线的一条渐近线方程为 y 3 6x，即 x 2y0， 所以焦点(3，0)到渐近线的距离为 d 3 12（ 2）2 3. 11(2021金华十校模拟)若双曲线x 2 a y21 的一个渐近线方程是 x2y0，则 a _；离心率是_ 答案4 5 2 解析由题意得双曲线x
30、 2 a y21 的渐近线为 x ay0，则 a2，解得 a4， 则 c 41 5，所以双曲线的离心率 e 5 2 . 12(2021浙江名师预测二)在等腰ABC 中，CACB，ADBC，且 cos C3 5， 则过点 C，且以 A，D 两点为焦点的双曲线的离心率为_ 答案2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析由题意可知 tan C4 3，不妨设 CD3，则 AD4，AC5，故双曲线的离 心率 e AD ACCD2. 13(2021金华十校期末调研)
31、已知双曲线x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率是 3，左、 右焦点分别是 F1，F2，过点 F2且与 x 轴垂直的直线交双曲线于 A，B 两点，则其 渐近线方程是_，AF1F2_ 答案y 2x 6 解析因为双曲线的离心率 e 3c a，所以不妨取 a1，则 c 3，b 2，所 以其渐近线方程为 yb ax 2x.因为 ABx 轴，所以|AF 2|b 2 a 2.因为|F1F2| 2 3，所以 tan AF1F2 |AF2| |F1F2| 3 3 ，所以AF1F2 6. 14(2020全国卷)已知 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，A 为 C 的右顶点，
32、B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率 为_ 答案2 解析设 B(c，yB)，由题意知 yB0， 因为 B 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 上的点， 所以c 2 a2 y2B b21，所以 y 2 Bb 4 a2，则 y Bb 2 a . 因为 AB 的斜率为 3， 所以 b2 a ca 3，则 b23ac3a2. 所以 c2a23ac3a2，所以 c23ac2a20，解得 ca(舍去)或 c2a. 所以 C 的离心率 ec a2. 能力提升题组 15(2021湖州期末质检)已知双曲线x 2 16 y2 4 1 的左、右焦点分别为 F1，
33、F2，过 点 F2的直线 l 交双曲线的右支于 P，Q 两点若 PQ 的长为 5，则PQF1的周长 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 是() A13B18C21D26 答案D 解析因为点P， Q 为过点F2的直线与双曲线的交点， 则|PF1|PF2|QF1|QF2| 2a8， 则|PF1|PF2|QF1|QF2|PF1|QF1|PQ|PF1|QF1|516， 所以|PF1|QF1|21，则PQF1的周长为|PF1|QF1|PQ|26，故选 D. 16(2
34、021温州适考)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，其右焦点 F 的坐标为(c， 0)，点 A 是第一象限内双曲线渐近线上的一点，O 为坐标原点，满足|OA|c 2 a ，线 段 AF 交双曲线于点 M.若 M 为 AF 的中点，则双曲线的离心率为() A. 2B2C.2 3 3 D.4 3 答案C 解析由题意可得双曲线的一条渐近线方程为 yb ax，因为点 A 是第一象限内双 曲线渐近线上的一点， 且|OA|c 2 a ， 所以点 A c，bc a .又点 F(c， 0)， 所以点 M c，bc 2a ， 将点 M 代入双曲线方程x 2 a2 y2 b21 化简得到 3c2
35、4a21，所以双曲线的离心率 e c a 2 3 3 ，故选 C. 17(2021台州期末评估)已知双曲线 C 的离心率 e2 3 3 ，过焦点 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线， 垂足为 M， 直线 MF 交另一条渐近线于点 N， 则|MF| |NF|( ) A2B.1 2 C. 3 2 D.2 3 3 答案B 解析由双曲线的对称性设点F为双曲线的左焦点， 渐近线OM的方程为yb ax， 渐近线 ON 的方程为 yb ax，则直线 FN 的方程为 y a b(xc)，分别与两渐近线方 程联立解得 yM abc a2b2，y N abc a2b2.因为双曲线的离心率 e 1b 2 a2 2
36、 3 3 ， 所以 a23b2，则|MF| |NF| |yM| |yN| a2b2 a2b2 1 2，故选 B. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 18(2021杭州市质检)设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点为 F 1，F2，P 为该双曲线上一点，且 2|PF1|3|PF2|，若F1PF260，则该双曲线的离心率为 _，渐近线方程为_ 答案7y 6x 解析因为点 P 为双曲线上一点，所以|PF1|PF2|2a.又因为 2|PF1
37、|3|PF2|， 所以|PF1|6a，|PF2|4a.在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|2 2|PF1|PF2|cos F1PF2，即(2c)2(6a)2(4a)226a4acos 60，化简得 c 7a，则 b c2a2 6a，所以双曲线的离心率 ec a 7，渐近线的方程为 y b ax 6x. 19从双曲线x 2 3 y 2 5 1 的左焦点 F 引圆 x2y23 的切线交双曲线右支于点 P，T 为切点，M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|MT|_ 答案5 3 解析设双曲线的右焦点为 F，连接 PF，OT，O 为 FF的中点，M 为 PF 的
38、 中点，MO 为PFF的中位线， 且|MO|1 2|PF|，|FM| 1 2|PF|，又|MT|FM|FT| 1 2|PF|FT|， |MO|MT|1 2(|PF|PF|)|FT|FT|a. 又 a 3，|FT| |OF|23 5， |MO|MT| 5 3. 20(2016浙江卷)设双曲线 x2y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，若点 P 在双 曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_ 答案(2 7，8) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析如图，由已知可得 a1，b 3，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设 点 P 在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2， 由于PF1F2为锐角三角形， 结合实际意义需满足 （m2）2m242， 42（m2）2m2， 解得1 7m3， 又|PF1|PF2|2m2， 2 72m28.
