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3、 函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在 x=x0时的速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的方程 x=x0 斜率 y-f(x0)=f(x0)(x-x0) 瞬时速度 2.导数的运算 常用 导数 公式 原函数导函数特例或推广 常数 函数 C=0(C为常数) 幂函数(x)=(R,0) 三角 函数 (sinx)=, (cosx)= 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数, 周期函数的导数是周期函数 指数 函数 (ax)=(a0,且a1)(ex)=ex 对数 函数 (logax)=(a0,且a1) x-1 cosx -sinx axlna (续表) 四 则
4、 运 算 法 则 加减 f(x)g(x)= 乘法 f(x)g(x)=Cf(x)=Cf(x) 除法 复合函数 求导 f(x)g(x) f(x)g(x)+f(x)g(x) 题组一常识题 1.教材改编函数f(x)=3x2在2,6上 的平均变化率为.24 2.教材改编如果某物体的运动 方程为s=2(1-t2)(s的单位为m,t的 单位为s),那么其在1.2s末的瞬时 速度为. 解析 s=-4t,在1.2s末的瞬时速 度为(-4)1.2=-4.8(m/s). -4.8m/s 3.教材改编y=ln(x+1)的导数是 y=. 4.教材改编曲线y=xex-1在点(1,1) 处切线的斜率等于. 解析 y=xex
5、-1+xex-1(x-1)=(x+1)ex-1, 所以当x=1时,y=2,即曲线在点(1,1)处 切线的斜率为2. 2 题组二常错题 索引:忽视平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则;混 淆f(x0)与f(x0);忽视f(ax+b)与f(ax+b)的区别. 5.函数f(x)=x2在区间1,2上的平均 变化率为,在x=2处的导数 为. 3 4 6.已知函数y=sin2x,则y=.解析 方法一:y=(2sinxcosx)= 2(sinx)cosx+2sinx(cosx)=2cos2x- 2sin2x=2cos2x. 方法二:y=cos2x(2x)=2cos2x. 2cos2x 7
6、.已知f(x)=x2+3xf(2),f(2)=. 解析f(x)=2x+3f(2), 令x=2,解得f(2)=-2, 所以f(x)=x2-6x,于是f(2)=-8. 8.已知f(x)=x3,则f(2x+3)=, f(2x+3)=. 解析 f(x)=3x2,所以f(2x+3)=3(2x+3)2, f(2x+3)=(2x+3)3=3(2x+3)2(2x+3)= 6(2x+3)2. 3(2x+3)2 6(2x+3)2 ABD 思路点拨 根据导数的四则运算法则及复 合函数的求导法则求解即可判断. A 思路点拨 求出原函数的导函数,然后由f(x0)= 2f(x0),求出sinx0与cosx0的关系,同时求
7、出tanx0 的值,化简要求解的分式,最后把tanx0的值代入 即可. (3)2020遂宁模拟已知函数f(x) 的导函数为f(x),且满足f(x)= 3xf(1)+2lnx,则f(1)=() A.-eB.-1 C.1D.e B 思路点拨 对f(x)求导,令x=1即可求得f(1). (4)已知f(x)=x(a+lnx),若f(e)=1, 则a=.-1 思路点拨 先求导,再由f(e)=1求a. 总结反思 (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规 则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度. (2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求
8、导的乘法公式 混淆. 探究点二导数的几何意义 角度1求切线方程 D 总结反思 (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0); (2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程 时应注意其取值范围; (3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别. 变式题 2020山东潍坊五县联考已知 函数f(x)=lnx+2x2-3x,则函数f(x)的图像 在x=1处的切线方程为. 2x-y-3=0 思路点拨 根据曲线的切线斜率即对应的函 数在切点横坐标处的导数值,令导y=x+1=3, 解得x的值,即可得出结果. 角度2求切点坐
9、标 2 总结反思 (1)f(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标; (2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要. C 角度3求参数的值或范围 例4 (1)函数f(x)=x2+alnx的图像在 x=1处的切线过点(0,2),则a=() A.2B.-2 C.3D.-3 思路点拨 先求得切点坐标,然后求得 切线的斜率,写出切线方程,并将已知点 的坐标代入,由此求得a的值. D D 总结反思 (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线 的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而 求出参数的值或取值范围. (2)注意曲线
10、上点的横坐标的取值范围. e 角度4两曲线的公切线 例5 若函数f(x)=ln(x+2)的图像在点P(x0,y0)处的切线l与函数g(x)=ex的图像也相切,则满足 条件的切点P的个数为. 2 变式题 已知直线y=kx+b 与函数y=ex的图像相切于 点P(x1,y1),与函数y=lnx的 图像相切于点Q(x2,y2),若 x21,且x2(n,n+1),nZ, 则n=. 4 【备选理由】例1考查了曲线的公切线问题,考查了导数的几何意义、数学运 算能力;例2主要考查了导数的几何意义的应用,同时考查了基本不等式求最 值;例3考查了导数的几何意义,切线的斜率与切点的横坐标之间的关系;例4 考查了导数的几何意义,函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜 率,同时考查了两直线平行的问题. 0 0 2 例4 配合例3使用已知曲 线y=x3-x在点(x0,y0)处的切 线平行于直线2x-y-2=0,则 x0=. -1
