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3、置关系 l1,l2满足 的条件 l3,l4满足 的条件 平行A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10 垂直A1A2+B1B2=0 相交A1B2-A2B10 k1k2 交点坐标 相交交点的坐标 平行无公共点 3.距离公式 点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的 距离 d= 两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0间的距离 d= 常用结论 (1)若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0平行,则所求直线的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0. (2)若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+
4、By+C=0垂直,则所求直线的方程为 B(x-x0)-A(y-y0)=0. (3)过两条直线交点的直线系方程 若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程 A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(其中R,这个方程可以表示l1,但不能表示l2) 表示过l1和l2的交点的直线系方程. 常用结论 (4)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (5)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). (6)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). (7)点(
5、x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (8)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (9)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为 (k+y,x-k). 题组一常识题 (-1,3) 1.教材改编直线l1:2x+y-1=0 和l2:x-2y+7=0的交点的坐标为 . 1 3.教材改编已知P(-2,m),Q(m,4),且 直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m= . 1 4.教材改编已知直线l1:2x+3my- m+2=0,l2:mx+6y-4=0,若l1l2,则m 的值
6、为,l1与l2之间的距 离为. 2 5.教材改编已知直线2x+y- 8=0与x-2y+1=0的交点为P. (1)过点P且平行于直线4x-3y- 7=0的直线方程为 ; (2)过点P且垂直于直线4x-3y- 7=0的直线方程为 . 4x-3y-6=0 3x+4y-17=0 5.教材改编已知直线2x+y-8=0与x- 2y+1=0的交点为P. (1)过点P且平行于直线4x-3y-7=0的直 线方程为; (2)过点P且垂直于直线4x-3y-7=0的直 线方程为. 4x-3y-6=0 3x+4y-17=0 6.已知直线l1:(3a+2)x+(a- 1)y-2=0和l2:(a-1)x+y+1=0 互相垂
7、直,则a的值为 . -1或1 题组二常错题 索引:判断两条直线的位置关系时忽视斜率不存在的情况;求两条平行线间的 距离时忽视两个直线方程的系数的对应关系;忽略检验两条直线重合的情况. 7.若直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线 l2:mx+3y-6=0平行,则m=.2 8.两条平行直线3x+4y-12=0与 6x+8y+11=0之间的距离为. 探究点一两条直线的位置关系 例1 (1)若直线l1:x+2my-1=0与 l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则实数m的 值为. 思路点拨 根据两直线平行的条件构造方 程求解即可 (2)2020上海黄浦区二模若直线 l1:ax+3y-5=0与l
8、2:x+2y-1=0互相垂 直,则实数a的值为.解析因为直线l1:ax+3y-5=0与 l2:x+2y-1=0互相垂直,所以 a1+32=0,解得a=-6. -6 思路点拨 由两直线互相垂直建立关于 实数a的方程,解方程即可得到答案. (2)若三条直线y=x,x+2y=3,mx+2y+5=0 相交于同一点,则m的值为. -7 思路点拨 先求出直线y=x与x+2y=3的 交点,再代入mx+2y+5=0求出m的值. 总结反思 (1)充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键, 对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1.解题 时一定要特别注意
9、直线的斜率不存在的情况. (2)若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1l2A1A2+B1B2=0;l1l2A1B2=A2B1且A1C2A2C1. 变式题 (1)2020金丽衢十二校联 考已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与 l2:2x+(5+m)y=8,则“l1l2”是 “m-1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A B B 思路点拨根据两直线平行的充要条 件求得a,利用平行直线间的距离公式 可求得d. B D D 思路点拨 设A(a,8-2a),利用中点坐标公 式求出A关于P的对称点B的坐标,将
10、B的 坐标代入l2的方程求出a,进而求出直线l 的方程. 探究点三有关对称的问题 微点1点关于点对称 例3 (1)过点P(0,1)的直线l分别与直线 l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0交于点A,B, 若线段AB的中点为P,则直线l的方程 为. x+4y-4=0 思路点拨 思路一:首先在所求直线上任取 一点(x,y),然后求出该点关于点M(-2,1)的对 称点,代入已知直线方程即可求得对称直线 的方程; (2)直线x-2y-3=0关于定点 M(-2,1)对称的直线的方程是 . 解析 方法一:设所求直线上一点的坐 标为(x,y),则其关于点M(-2,1)对称的点的 坐标为(-4-x,
11、2-y). 因为点(-4-x,2-y)在直线x-2y-3=0上,所以 (-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0. x-2y+11=0 思路点拨 思路二:可判断所求直线与已知 直线平行,结合点到直线的距离公式求解. (2)直线x-2y-3=0关于定点 M(-2,1)对称的直线的方程是 . x-2y+11=0 思路点拨设点B(2,0)关于直线l的对称点为 B1(a,b),列方程组求得B1的坐标,利用对称性 可得|PA|+|PB|=|PA|+|PB1|,结合图像可得当 A,P,B1三点共线时,|PA|+|PB|最小,问题得解A A 思路点拨首先设点P(4,5)关于直线3x-y+3=0
12、的对称点 为P(x,y),然后利用PP的中点在直线3x-y+3=0上及直线 3x-y+3=0与直线PP垂直建立方程组求解. (2)点P(4,5)关于直线l:3x- y+3=0对称的点的坐标为 . (-2,7) 微点3线关于线对称 例5 (1)直线l1:2x-y+3=0 关于直线l:x-y+2=0对称 的直线l2的方程是() A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 思路点拨思路一:先求出l1与l的交点A,在l1上任取一点B,求出 点B关于直线l的对称点C,利用A,C均在l2上求出l2的方程; A 微点3线关于线对称 例5 (1)直线l1:2x-y+
13、3=0关于直 线l:x-y+2=0对称的直线l2的方 程是() A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 思路点拨思路二:直线l2上任意一点P关于直线l 的对称点P都在直线l1上,且PP的中点在直线l上, 利用中点坐标公式和垂直关系求解即可 A (2)若点P(0,1)在直线l1:ax+y-b=0 上的射影是点Q(1,0),则直线 l2:ax-y+b=0关于直线l:x+y-1=0 对称的直线l3的方程为 . 思路点拨首先利用点P在直线ax+y-b=0 上的射影为点Q,求出a,b,然后设所求直线 上任意一点M(x,y),点M关于直线x+y-1=0的 对
14、称点为M1(x0,y0),利用MM1的中点在直线 x+y-1=0上及直线MM1与l垂直建立方程组 求解即可. x+y-3=0 (2)若点P(0,1)在直线l1:ax+y-b=0 上的射影是点Q(1,0),则直线 l2:ax-y+b=0关于直线l:x+y-1=0 对称的直线l3的方程为 . x+y-3=0 总结反思直线关于直线对称有两种情况: (1)若直线与对称轴平行,则可在直线上取一点,求出该点关于对称轴的对称点, 然后用直线的点斜式方程求解. (2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于对称 轴的对称点,最后由直线的两点式方程求解. 思路点拨首先建立平面直角坐标系,
15、 设出点P的坐标,分别求出P关于直线 BC与y轴的对称点P1,P2的坐标,进而求 出直线P1P2的方程,再由A,B,C的坐标 求出ABC的重心的坐标,进而求出点P 的坐标,最后得到AP的长度. D D D 总结反思光线反射问题具有入射角等于反射角的特点,有两种对称关系,一 是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称,二是 入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称. 应用演练 1.【微点2】2020辽宁丹东二模 圆心都在直线x+y+m=0上的两圆 相交于两点M(n,3),N(-1,1),则 m+n=() A.-1B.1 C.-2D.2 A 2.【微点3】2020岳阳模拟 直
16、线x-2y+1=0关于直线x=1对 称的直线的方程是() A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 D 3.【微点1】已知直线l:2x- y+2=0,点A(-1,-2),则直线l关于 点A对称的直线m的方程为 . 2x-y-2=0 3.【微点1】已知直线l:2x- y+2=0,点A(-1,-2),则直线l关于 点A对称的直线m的方程为 . 解析 方法二:设直线m上任意一点P(x,y),则P 关于A的对称点(-2-x,-4-y)在直线l上,所以2(-2- x)-(-4-y)+2=0,即2x-y-2=0. 2x-y-2=0 3.【微点1】已知直线l:2
17、x- y+2=0,点A(-1,-2),则直线l关于 点A对称的直线m的方程为 . 2x-y-2=0 4.【微点4】已知入射光线经过点 M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射 光线经过点N(2,6),则反射光线所 在直线的方程为. 6x-y-6=0 【备选理由】例1考查两条直线位置关系的应用;例2考查点到直线的距 离问题;例3考查直线关于点的对称问题. 例1配合例1使用2020青岛二 模“a=1”是“直线l:ax-y+1=0与 直线m:x+y=a垂直”的 () A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若a=1,则11+(-1)1=0,即两 直线垂直;若直线l:ax-y+1=0与直线 m:x+y=a垂直,则a1+(-1)1=0,解得 a=1.所以“a=1”是“直线l:ax-y+1=0 与直线m:x+y=a垂直”的充要条件.故 选A. A B 例3配合例1、例4使用已知 直线y=2x是ABC中C的平分 线所在的直线,若点A,B的坐标 分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐 标为() A.(-2,4)B.(-2,-4) C.(2,4)D.(2,-4)
