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3、 类型一动点轨迹问题 动点轨迹问题是高考立体几何“动态”问题最为新颖的一种命题形式, 它重点体现了在立体几何与解析几何的知识交汇处设计图形,不但考查了立 体几何中点、线、面之间的位置关系,而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方 法,是高考表现最为活跃的一种题型. D 解析对于,因为DD1A=DD1M,所以DA=DM,则满足条件的动点M的轨迹是 以D为圆心,以DA为半径的圆的一部分,故正确; 对于,依题意知点M到点F的距离与到直线AB的距离相等,所以点M在平面ABCD 内的轨迹是以F为焦点,以AB为准线的抛物线的一部分,故正确; 对于,如图1,取AB的中点I,BC的中点O,连接B1I,IO,B1O,显
4、然IOA1C1,IB1NC1,又 IOIB1=I,A1C1NC1=C1,所以平面B1IO平面A1NC1,当M在线段IO上时,均有B1M 平面A1NC1,即点M在平面ABCD内的轨迹是线段IO,故正确; 解析对于,如图2,依题意,只需过点P作直线CQ的垂面即可,垂面与正方体表面的交线 即为点M的轨迹,分别取CC1,DD1的中点R,S,连接RS,SA,BR,由tanC1QC=tanBRC=2, 知C1QC=BRC,易知CQRB,又CQAB,ABBR=B,所以CQ平面ABRS, 总结反思解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法有: (1)几何法:根据平面的性质进行判定. (2)定义法:转化为平面轨迹问题
5、,用圆锥曲线的定义判定,或用代数法进行计算. (3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除. 类型二折叠、展开问题 图形的折叠和展开必然会引起部分元素位置关系的变化,求解这类问题 要注意对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较,一般来 说,位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折 前后不发生变化,分别位于两个半平面内的元素其相对关系和数量关系发生 变化.不变量可结合原图形求解,变化了的量应在折后立体图形中来求解. 例3 (多选题)2020池州模拟改编 如图, 已知三棱锥P-ABC的平面展开图中,四边 形ABCD是边长为2的正方形,ABE和 B
6、CF均为等边三角形.在三棱锥P-ABC 中,下列结论正确的是() ABD 解析取AC的中点O,连接PO,BO,由题意 得POAC,BOAC,POBO=O,所以AC 平面POB,因为PB平面POB,所以ACPB, 故A中结论正确; 由展开图可知,PC=PB=PA,所以点P在底面 上的射影是底面三角形的外心,而ABC是 直角三角形,所以点P在底面上的射影是 ABC的斜边AC的中点O,即PO平面ABC, 所以平面PCA平面ABC,故B中结论正确; 例3 (多选题)2020池州模拟改编 如图, 已知三棱锥P-ABC的平面展开图中,四边 形ABCD是边长为2的正方形,ABE和 BCF均为等边三角形.在三
7、棱锥P-ABC 中,下列结论正确的是()ABD 例4 (多选题)2020青岛模拟 如图,正方形 SG1G2G3的边长为1,E,F分别是G1G2,G2G3的 中点,SG2交EF于D,现沿SE,SF及EF把这个正 方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合, 重合后的点记为G,则在四面体SGEF中必有( ) 解析如图,SGFG,SGEG,EGFG= G,SG平面EFG,故A正确; 由题意可知D是EF的中点,又H是SF的中 点,DHSE,又SE平面SGE,DH 平面 SGE,DH平面SGE,故B正确; 例4 (多选题)2020青岛模拟 如图,正方形 SG1G2G3的边长为1,E,F分别是G1G2
8、,G2G3的 中点,SG2交EF于D,现沿SE,SF及EF把这个 正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重 合,重合后的点记为G,则在四面体SGEF中 必有() 总结反思解答折叠、展开问题的关键在于画好折叠、展开前后的平面图形 与立体图形,抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系、不变的线线 关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关 系的起点和重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表 面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据. 类型三最值、范围问题 立体几何题中经常会涉及角度、距离、面积、体积最大值、最小值的 计算,这往往都是在动态变
9、化中产生的.理解变化过程,应用函数思想是解决这 类问题的关键. D 例6 2020黄山一模 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AD的中点,点P在底面ABCD内(不包括边界)运动,若B1P平面A1BM,则 C1P的长度的取值范围是. 总结反思在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问 题,常用的思路是: 直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、 最小值,即可求解. 函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,从而利用 代数方法求目标函数的最值. 1. 2020杭州模拟 如图,点P在正方体 ABCD-A1B1
10、C1D1的表面上运动,且P到直 线BC与到直线C1D1的距离相等,如果将 正方体在平面内展开,那么动点P的轨迹 在展开图中的形状是() B 解析当P在侧面BCC1B1上时,连接PC1,易知P 到直线C1D1的距离为PC1,P到直线BC与到 直线C1D1的距离相等,点P到点C1的距离与 到直线BC的距离相等,点P在侧面BCC1B1上 的轨迹为抛物线的一部分,且点C1为焦点,BC 为准线,故排除C,D, 题组训练 同理可得,P在侧面ABB1A1上时,点P到点B的距 离与到直线C1D1的距离相等,排除A,故选B. C ABD D D 5. (多选题)2020泰安模拟 如图Z3-8,在矩 形ABCD中
11、,M为BC的中点,将AMB沿AM翻 折成AB1M,连接B1D,B1C,N为B1D的中点,则 在翻折过程中,下列说法正确的是() BD 解析对于A,如图1,取AD的中点E,连接EC,交 MD于F,连接NF,NE,则NEAB1,NFMB1,可得 到ENNF,假设CNAB1,则ENCN, 与NENF矛盾,假设不成立,则A错误. A.存在某个位置,使得CNAB1 B.CN的长是定值 C.若AB=BM,则AMB1D D.若AB=BM=1,当三棱锥B1-AMD的体积最 大时,三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4 5. (多选题)2020泰安模拟 如图Z3-8,在矩 形ABCD中,M为BC的中点,将AMB
12、沿AM翻 折成AB1M,连接B1D,B1C,N为B1D的中点,则 在翻折过程中,下列说法正确的是() BD 解析 对于C,如图2,取AM的中点O,连接 B1O,DO,由题意得AM平面ODB1,则ODAM, 所以AD=MD,与题意矛盾,则C错误. A.存在某个位置,使得CNAB1 B.CN的长是定值 C.若AB=BM,则AMB1D D.若AB=BM=1,当三棱锥B1-AMD的体积最 大时,三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4 对于D,当平面B1AM平面AMD时,三棱锥B1- AMD的体积最大,由题意得AD的中点H就是三 棱锥B1-AMD的外接球的球心,故外接球的半径 为1,表面积是4,则D正确.故选BD. 6. 2020重庆二诊 如图,已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂 直,AB=1,若将DEF沿直线FD翻折,使得点E落在边BC上(即点P),则当 AD取最小值时,边AF的长是,此时三棱椎F-ADP的外接球的 半径是.
