1、大一轮复习讲义 第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 10.6二项分布与正态分布 考试要求 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念. 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题. 3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.条件概率及其性质条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的 概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示
2、，其公式为P(B|A) (P(A) 0). 在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本 事件的个数，则P(B|A) . 知识梳理 (2)条件概率具有的性质 0P(B|A)1. 如果B和C是两个互斥事件， 则P(BC|A) . P(B|A)P(C|A) 2.相互独立事件相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A， B是相互独立事件. (2)若A与B相互独立，则P(B|A) . P(B) (4)P(AB)P(A)P(B) . A与B相互独立 3.独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下
3、可重复进行的，各次之间相互独立的 一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么 不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事 件A发生的概率为p，则P(Xk) ，此时称 随机变量X服从二项分布，记为 ，并称p为成功概率. XB(n，p) 4.两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X) ，D(X) . (2)若XB(n，p)，则E(X) ，D(X) . pp(1p) npnp(1p) 5.正态分布正态分布 (1)正态曲线：函数，(x) ，x(，)
4、，其中实数 和为参数(0，R).我们称函数，(x)的图象为正态分布密度曲线， 简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 曲线位于x轴上方，与x轴不相交. 曲线是单峰的，它关于直线 对称. 曲线在 处达到峰值 . 2 2 2 1 e 2 x x x 曲线与x轴之间的面积为 . 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如 图甲所示. 当一定时，曲线的形状由确定， ，曲线越“瘦高”，表示总 体的分布越集中； ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散， 如图乙所示. 1 越小 越大 (3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb) ，(x)dx，
5、则称随机变量X服从正态分布，记作 . 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(X)0.682 7； P(2X2)0.954 5； P(32c1)P(X2c1)P(Xc3)， 题组三易错自题组三易错自纠纠 5.(2021荆州模拟)孔子曰“三人行，必有我师焉.”从数学角度来看，这 句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、 丙三人，其中每一人在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、 丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为 (参考数据：0.993600.03，0.013600，0.9730.912 673) A.0.002 7% B.99.997 3% C.0
6、 D.91.267 3% 解析一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为0.993600.03， 三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为0.0330.000 027， 所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为 10.000 0270.999 97399.997 3%. 6.(2021三明模拟)近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池 技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池 充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1 000次的概率为 36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他 的车能够达到充放电1 000次的概率为 A.0.3
7、24 B.0.36C.0.4 D.0.54 解析设事件A表示“充放电次数达到800”， 事件B表示“充放电次数达到1 000”， 则P(A)90%0.9， P(AB)P(B)P(A|B)P(B)1P(B)36%0.36， 因为该用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电， 那么他的车能够达到充放电1 000次的概率为 TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一条件概率 师生共研 例1(1)(2020葫芦岛模拟)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品 进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次 摸到正品的概率是 解析记A“第一次摸出的是
8、次品”，B“第二次摸到的是正品”， 由题意知， (2)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同， 现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的 条件下，第二次拿到红球的概率为 解析设A甲第一次拿到白球，B甲第二次拿到红球， 求条件概率的常用方法 思维升华 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A) . (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件 A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A) . 跟踪训练1(1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不 放回地取两次，每次任
9、取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取 到不合格品的概率为_. 解析方法一(应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格 品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)， 方法二(缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次 取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品， (2)(2020荆州模拟)“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期 大戴礼中，n阶幻方(n3，nN*)是由前n2个正整数组成的一个n阶 方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等，例如 “3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数， 记“取到的
10、3个数的和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等 差数列”为事件B，则P(B|A)_. 解析根据题意，事件A的所有可能结果为(8,1,6)，(3,5,7)，(4,9,2)， (8,3,4)，(1,5,9)，(6,7,2)，(8,5,2)，(4,5,6)，共8个； 事件A，B同时发生的所有可能结果为(3,5,7)，(1,5,9)，(8,5,2)，(4,5,6)， 共4个， 题型二独立重复试验与二项分布 多维探究 命题点1相互独立事件的概率 例2(八省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立. (1)
11、求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率； 解设“部件1,2,3中需要调整的事件”分别为A1，A2，A3， 则P(A1)0.1，P(A2)0.2，P(A3)0.3. 设“部件1,2中至少有1个需要调整的事件”为B， 由于部件1,2的状态相互独立， 1(10.1)(10.2)10.90.80.28. (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及 均值. 解由题意知，设备在一天的运转中需要调整的部件个数可能为0,1,2,3. 则P(X0)1P(A1)1P(A2)1P(A3)(10.1)(10.2)(1 0.3)0.504. P(X1)P(A1)1P(A2)1P
12、(A3)1P(A1)P(A2)1P(A3)1 P(A1)1P(A2)P(A3)0.10.80.70.90.20.70.90.80.3 0.0560.1260.2160.398， P(X2)P(A1)P(A2)1P(A3)P(A1)1P(A2)P(A3)1P(A1)P(A2)P(A3) 0.10.20.70.10.80.30.90.20.30.0140.0240.0540.092. P(X3)P(A1)P(A2)P(A3)0.10.20.30.006. 则X的分布列如下： X0123 P0.5040.3980.0920.006 故E(X)00.50410.39820.09230.006 0.39
13、80.1840.0180.6. 命题点2独立重复试验 例3(2020广东华附、省实、广雅、深中四校联考)连续抛掷同一颗均 匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1a2ak 6，则称k为你的幸运数字. (1)求你的幸运数字为3的概率； 解记“连续抛掷k次骰子的点数和为6”为事件A， 则它包含事件A1，A2，A3， 其中A1：三次恰好都为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两 次为1，一次为4，A1，A2，A3为互斥事件， 则k3的概率P(A)P(A1)P(A2)P(A3) (2)若k1，则你的得分为6分；若k2，则你的得分为4分；若k3，则 你的得分为2分；若抛
14、掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分 的分布列和均值. 解由已知得的所有可能取值为6,4,2,0， 的分布列为 6420 P 例4(2020全国100所名校最新示范卷)某社区组织开展“扫黑除恶”宣 传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置 了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫 黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒 中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除 恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一 位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张普 法宣传
15、人人参与卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是 扫黑除恶利国利民卡的概率是 .” 命题点3二项分布 (1)求抽奖者获奖的概率； 解设“扫黑除恶利国利民”卡有n张， (2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随 机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现 有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值. 解在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为 X的分布列为 X0123 P 思维升华 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. 正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算. (2)独立
16、重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n 和k的值，再准确利用公式求概率. 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事 件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率. 跟踪训练2(2019天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到 校的概率均为 ，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学 每天到校情况相互独立. (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变 量X的分布列和均值； 解因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之 前到校的概率均为
17、 ， 所以随机变量X的分布列为 X0123 P (2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比 乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率. 解设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y， 由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与 Y1，事件X2与Y0均相互独立， 从而由(1)知 P(M)P(X3，Y1X2，Y0) P(X3，Y1)P(X2，Y0) P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0) 题型三正态分布 师生共研 A.P(Y2)P(Y1) B.P(X2)P(X1) C.对任意正数t，P(Xt)P(Yt) D.对任意正数t，P(Xt)
18、P(Yt) 解析由正态分布密度曲线可知，x2为Y曲线的对称轴，12， 由正态分布密度曲线可知，01P(X1)，故B错； 对任意正数t，P(Xt)t)，即有P(Xt)t)t)，因此有P(Xt)P(Yt)，故D正确. 32 解析P(|n|2)0.954 5， 思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布 区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进 行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在 标准正态分布下对称轴才为x0. 跟踪训练3设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没 有零点的概率是 ，则等于 A.1
19、B.2 C.4 D.不能确定 解析由题意，当函数f(x)x24x没有零点时，1640， 根据正态曲线的对称性， KESHIJINGLIAN3 课时精练 基础保分练 1.甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完 全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球， 现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概 率为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个 事件相互独立， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12
20、 13 14 15 16 3.(2021昆明诊断)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次 抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是 解析袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，2)，且 P(x70)0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在90,110的株数 记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为 A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.21 解析xN(90，2)，且P(x110)0.2， P(90 x110)0.50.20.3，
21、 XB(10,0.3)， X的方差为100.3(10.3)2.1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100,102)，则下列选项正确的是 (参考数值：随机变量服从正态分布N(，2)，则P() 0.682 7)，P(22)0.954 5，P(33)0.997 3) A.E(X)100B.D(X)100 C.P(X90)0.841 35D.P(X120)0.998 65 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析随机变量X服从正态分布N(100,102)， 正态曲线关于x100对称，且E(X)100，D(X
22、)102100， 根据题意可得，P(90 x110)0.682 7，P(80 x120)0.954 5， P(x90)0.5 0.682 70.841 35，故C正确； P(x120)0.5 0.954 50.977 25，故D错误. 而A，B都正确. 故选ABC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个 白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出 一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是
23、 C.事件B与事件A1相互独立D.A1，A2，A3是两两互斥的事件 解析易见A1，A2，A3是两两互斥的事件， 故选BD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.(2021汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、 乙两人能荣获一等奖的概率分别为 ，甲、乙两人是否获得一等奖相 互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为_. 解析根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖 乙获奖， 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.(2021宁波模拟)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(nN*)个 黑球.现从中有放回地
24、摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个 数为X，若D(X)1，则E(X)_.2 解析由题意知，XB(4，p)， D(X)4p(1p)1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球 5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A“取 出的两个球颜色不同”，事件B“取出一个黄球，一个蓝球”，则 P(B|A)_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设“甲射击一次，击中目标”为事件A， “乙射击一次，击中目标
25、”为事件B， 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.小李某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火 车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达 互不影响，求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件. 则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9， 由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398. 12345678910 1
26、1 12 13 14 15 16 (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解三列火车至少有一列正点到达的概率为 10.20.30.10.994. 12.一个盒子中装有大量形状、大小一样但质 量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为 样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分 组区间为5,15)，15,25)，25,35)， 35,45，由此得到样本的质量频率分布直方 图如图所示. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数； 解由题意， 得(0.02
27、0.032a0.018)101， 解得a0.03. 由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的 众数为20克，而50个样本中小球质量的平均 数为 故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在5,15)内的小球个数为X，求X 的分布列和均值.(以直方图中的频率作为概率) 12345678910 11 12 13 14 15 16 X的可能取值为0,1,2,3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 X的分布列为 12345678910 11 12 13 14
28、15 16 X0123 P 技能提升练 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据题意可知，机器人每秒运动一次， 则6秒共运动6次，若其从A(0,0)点出发，6秒 后到达B(4,2)， 则需要向右走4步，向上走2步， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验 钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是 12345678910 11 12 13 1
29、4 15 16 解析设事件A表示“抽到的两张都是假币”，事件B表示“抽到的两张 至少有一张是假币”，则所求的概率即P(A|B). 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测 120个零件的长度(单位：分米)，按数据分成1.2,1.3)，1.3,1.4)， 1.4,1.5)，1.5,1.6)，1.6，1.7)，1.7,1.8这6组，得到如图所示的频 率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分 别为 1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,
30、1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69, 1.69，1.71，1.72,1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零 件在各组长度的概率.(1)求这批零件的长度大于1.60分米的频率， 并求频率分布直方图中m，n，t的值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件， 记Y为零件的长度， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若从这批零件中随机选取3个，记X为抽取的零件长度在1.4,1.6)的个 数，求X的分布列和均值； 12345678910 1
31、1 12 13 14 15 16 解由(1)可知从这批零件中随机选取1件， 长度在1.4,1.6)的概率P20.350.7. 且随机变量X服从二项分布XB(3,0.7)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 故随机变量X的分布列为 12345678910 11 12 13 14 15 16 X0123 P0.0270.1890.4410.343 E(X)00.02710.18920.44130.3432.1 (或E(X)30.72.1). (3)若变量S满足|P(S)0.682 7|0.05且|P(2S2) 0.954 5|0.05，则称变量S满足近似于正态分布N(，2
32、)的概率分布.如 果这批零件的长度Y(单位：分米)满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率 分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收；否则，公司将拒绝签 收.试问，该批零件能否被签收？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意可知1.5，0.1， 则P(Y)P(1.4Y1.6)0.7， P(2Y2)P(1.3Y1.7) 0.1250.350.350.1250.95， 因为|0.70.682 7|0.017 30.05， |0.950.954 5|0.004 50.05， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布. 应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收. 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
