1、一轮大题专练一轮大题专练 8导数（构造函数证明不等式导数（构造函数证明不等式 2） 1已知函数 2 ( )()f xa xxln()x aR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）证明：当1x 时， 12 2 21 x ex lnxxx 解： （1）函数的定义域为(0,)， 2 121 ( )(21) axax fxax xx ， 令 2 ( )21g xaxax， ( ) i当0a 时， ( ) ( )10,( )0 g x g xfx x ，此时( )f x在(0,)上单调递减； ( )ii当0a 时，( )g x为二次函数， 2 8aa， 若0， 即80a时，( )g x的图象为开
2、口向下的抛物线且( ) 0g x ， 则 ( ) ( )0 g x fx x ， 此时( )f x在(0,)上 5 单调递减； 当0，即8a 或0a 时，令( )0g x ，解得 22 12 88 , 44 aaaaaa xx aa ， 当8a 时，( )g x的图象为开口向下的抛物线， 21 0 xx， 当 2 (0,)xx， 1 (xx，)时，( ) 0g x ，则( )0fx，( )f x单调递减，当 2 (xx， 1) x时， ( )0g x ，则( )0fx，( )f x单调递增； 当0a 时，( )g x的图象为开口向上的抛物线， 12 0 xx， 当 2 (0,)xx，( ) 0
3、g x ， 则( )0fx，( )f x单调递减， 当 2 (xx，)，( )0g x ， 则( )0fx， ( )f x单调递增； 综 上 ， 当8a 时 ，( )f x在 22 88 (0,),() 44 aaaa aa 上 单 调 递 减 ， 在 22 88 (,) 44 aaa aaa aa 上单调递增； 当0a 时，( )f x在 2 8 (0,) 4 aaa a 上单调递减，在 2 8 (,) 4 aaa a 上单调递增； 当80a 时，( )f x在(0,)上单调递减 （2）证明：由（1）知，当1a 时，( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 因此对任意1x
4、恒有( )f xf（1） ，即 2 xxlnx， 又 2 0lnxxx，要证 12 2 21 x ex lnxxx ，只需证 12 21 x ex ， 令 12 1 ( )(1),1 2 x m xexx ，则 1 ( ) x m xex ， 1 ( )1 x m xe ， 1x ， ( ) 0m x，则( )m x在1，)上单调递增，又m（1）0， 当1x时，( ) 0m x恒成立，则( )m x在1，)上单调递增，又m（1）0， 对任意1x 恒有( )m xm（1） ，即 12 21 x ex ，即得证 2已知函数( ) x f xxe （1）求( )f x在2x 处的切线方程； （2）已
5、知关于x的方程( )f xa有两个实根 1 x， 2 x，当 2 12 a ee 时，求证： 2 12 | (1)4xxea 解： （1）( ) x f xxe， 2 2 ( 2)f e ( )(1) x fxxe ， 2 1 ( 2)f e ， 故2x 时的切线方程是 22 12 (2)yx ee ， 即 22 14 yx ee ； （2）证明：由（1）知：( )f x在(, 1) 递减，在( 1,) 递增， 1 ( 1)f e ， 2 2 ( 2)f e ， 当 2 12 a ee 时，方程( )f xa有 2 个实根 1 x， 2 x，则 1 x， 2 ( 2,0)x ， 令 22 14
6、 ( )( )( 20)g xf xxx ee ， 则 2 1 ( )(1) x g xxe e ， 令( )( )h xg x，则( )(2)0 x h xxe， 故( )g x在( 2,0)递增，故( )( 2)0g xg ， 故( )g x在( 2,0)递增，故( )( 2)0g xg，故 1 ()0g x， 故 1111 2222 1414 ()()af xg xxx eeee ， 故 2 1 (4)e ax， 故( 2,0)x 时， x xex，故 22 ()af xx， 故 22 12 |4(1)4xxae aea 3已知函数 2 ( )(1) x f xx e与 3 ( )32
7、cos1 2 x F xxxx(2.71828e 是自然对数的底 数，20.69)ln （1）讨论关于x的方程|( )lnxf x根的个数； （2）当0 x，1时，证明：( ) 1( )f xx F x 解： （1）令( ) |( )g xlnxf x， 2 1 | x x lnx e ，(0,)x， 当1x 时，不满足( )0g x 当(0,1)x时，0lnx ， 2 1 ( ) x x g xlnx e ， 2 121 ( ) x x g x xe ， 22 14 ( )0 x x gx xe ， 因此( )g x在区间上单调递增， ( )g xg（1） 2 3 10 e ，( )g x在
8、(0,1)区间上单调递减， 3 1 2 ( )20 2 gln e ， 2 2 (1)0g e ，根据零点定理，( )g x在(0,1)上存在唯一零点 当(1,)x， 2 1 ( ) x x g xlnx e ， 2 2 ( )(21) x x e g xex x ， 210 x ， 2 0 x e x ， 2 1 0 x e ，( )0g x，( )g x在(1,)上单调递增， g（1）0，g（e）0， 根据零点定理，( )g x在(0,1)上存在唯一零点， 因此，|( )lnxf x根的个数为 2 个 （2） 2 1( )( 22cos) 2 x xF xxx 设 2 ( )2cos2 2
9、 x M xx，( )2sinMxxx，( )12cos0Mxx ， ( )Mx在0，1上单调递减( )(0)0MxM，( )M x在0，1上单调递减，( )(0)M xM， 所以，1( ) 0 xF x， 要证明 2 (1)1 x x ex ，仅需要证明(1)(1) xx x ex e ， 设( )(1)(1) xx H xx ex e ， ( )() xx H xeex ， 当(0,1)x，( )0H x， ( )H x在该区间上单调递增， 所以，( )(0)0H xH， 所以，( ) 1f xx， 综上所述，当0 x，1时，( ) 1( )f xx F x 4已知( )(1)f xlnx
10、mxm （1）求( )f x的单调区间； （2）( )( )g xf xmx， 若( )g x有两个零点a，b， 且ab 求证： 1 11 2 m bea ba （左 边和右边两个不等式可只选一个证即可） 解： （1） 1 ( )1(0)fxmx x ， 当1m时，( )0fx，( )f x在(0,)单调递增； 当1m 时，令( )0fx，解得 1 1 x m ，令( )0fx，解得 1 0 1 x m ， ( )f x在 1 (0,) 1m 单调递增，在 1 (,) 1m 单调递减； 综上，当1m时，( )f x的单调递增区间为(0,)；当1m 时，( )f x的单调递增区间为 1 (0,)
11、 1m ，单调递减区间为 1 (,) 1m ； （2）证明：( )g xlnxxm，令( )0g x ，则mxlnx， 设( )(0)h xxlnx x，则 11 ( )1 x h x xx ， 易知函数( )h x在(0,1)单调递减， 在(1,)单调递增， 且0 x 时，( )h x ， 当x 时， ( )h x ，h（1）1， 1m， 又ab，则01ab ， 若证所证不等式的左边，即 1 1 2 m eb b ，即证 2 2 1 21(1) b lnmlnln blnb b ， 又g（ b ）0， 则mblnb， 故 即 证 2 21(1)lnblnbln blnb ， 即 证 2 2
12、1(1)lnln bb ， 设t（b） 2 (1)ln bb，1b ，则 2 22 2(1) ( )10 11 bb t b bb ， t（b）在(1,)上单调递减， t（b）t（1）21ln，即得证； 若 证 所 证 不 等 式 的 右 边 ， 即 1 1 2 m ea a ， 即 证 2 1 21 a lnmln a ， 即 证 2 21(1)lnmln alna ， 又g（ a ）0， 即malna， 故 即 证 2 21(1)lnalnaln alna ， 即 证 2 21(1)lnln aa ， 设（a） 2 (1)ln aa，01a，则 2 22 2(1) ( )10 11 aa
13、a aa ， （a）在(0,1)单调递减，故（a）（1）21ln，即得证 5已知函数( ), ( ) a f xlnxx g xx x ，且函数( )f x与( )g x有相同的极值点 （1）求实数a的值； （2）若对 12 1 , ,3x x e ，不等式 12 ()() 1 1 f xf x k 恒成立，求实数k的取值范围； （3）求证： cos ( )( ) x ex f xg x x 解： （1）令 1 ( )10fx x ，解得1x ， 易知函数( )f x在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减，故函数( )f x的极大值点为1x ， 令 2 ( )10 a g x x ，则由题意
14、有，g（1）10a ，解得1a ，经验证符合题意， 故实数a的值为 1； （2）由（1）知，函数( )f x在 1 ( ,1) e 单调递增，在(1,3)单调递减， 又 11 ( )1,(1)1,(3)33fffln ee ，且 1 3311ln e ， 当 1 ,3x e 时，( )maxf xf（1）1 ，( )minf xf（3）33ln， 当10k ，即1k 时，对 12 1 , ,3x x e ，不等式 12 ()() 1 1 f xf x k 恒成立，即为 12 1()()kf xf x恒成立， 则1( )( )1( 33)23 maxmin kf xf xlnln ， 13kln
15、， 又131ln ， 此时k的取值范围为13kln； 当10k ，即1k 时，对 12 1 , ,3x x e ，不等式 12 ()() 1 1 f xf x k 恒成立，即为 12 1()()kf xf x恒成立， 则1( )( )33132 minmax kf xf xlnln ， 33k ln， 又331ln ， 此时k的取值范围为33k ln ， 综上，实数k的取值范围为(，3313lnln ，)； （3）证明：所证不等式即为cos1 x xlnxex， 下证：1 x xlnxex ，即证10 x xlnxex ， 设( )1(0) x h xxlnxexx，则( )112 xx h
16、xlnxelnxe ， 1 ( ) x h xe x ， 易知函数( )h x在(0,)上单调递减，且 1 ( )20,(1)10 2 hehe ， 故存在唯一的 0 1 ( ,1) 2 x ，使得 0 ()0h x，即 0 0 1 x e x ， 00 lnxx ， 且当 0 (0,)xx时，( )0h x，( )h x单调递增，当 0 (xx，)时，( )0h x，( )h x单调递 减， 0 2 0 000 00 (1)1 ( )()220 x max x h xh xlnxex xx ， ( )h x在(0,)单调递减， 又0 x 时，( )0h x ，故( )0h x ，即1 x x
17、lnxex ； 再证：1cos1(0)xxx ，即证cos0 xx在(0,)上恒成立， 设( )cosm xxx，( )sin1 0m xx ， ( )m x在(0,)单调递增，则( )(0)1m xm，故1cos1xx ， 综上，cos1 x xlnxex，即得证 6已知函数( )21( ,) x f xeaxba bR （1）讨论( )f x的极值情况； （2）若0a时，( ) 0f x ，求证： 2 7 4 4 ba 解： （1）( )21 x f xeaxb的定义域是R，( )2 x fxea， 0a时，( )0fx，( )f x在R上单调递增，无极值， 0a 时，令( )0fx，解得
18、：2xln a，令( )0fx，解得：2xln a， 故( )f x在(,2 )ln a递减，在(2 ,)ln a 递增， 故( )22221f xf ln aaaln ab 极小值 ，无极大值； 综上：0a时，( )f x在R上单调递增，无极值， 0a 时，( )22221f xf ln aaaln ab 极小值 ，无极大值； （2）证明：0a 时，( )11 x f xebb ，使( ) 0f x ， 则1 0b ，1b，此时 2 7 41 4 ba成立， 0a 时，由（1）得2xln a时，( )(2 )2221 min f xf ln aaaln ab， ( ) 0f x ，则2221
19、 0aaln ab ，解得：2221baaln a， 故 22 422214baaaln aa ， 设 2 ( )22214g xxxln xx ，则( )2 28g xln xx ， ( )g x为(0,)上的减函数，且 1 ( )2410 8 gln ， 1 ( )2220 4 gln， 则存在唯一实数 0 1 (8x ， 1) 4 ，使得 000 ()2280g xln xx ， 00 24ln xx ， 当 0 (0,)xx时，( )0g x，( )g x递增， 当 0 (xx，)时，( )0g x，( )g x递减， 故当 0 xx时，( )g x的最大值是 2 000 ()421g xxx， 2 421yxx为 1 (8， 1) 4 上的增函数， 1 4 x 时， 7 4 y ，则 2 00 7 421 4 xx ， 故 2 4bag（a） 7 4 ，原结论成立
