1、一轮大题专练一轮大题专练 14导数（任意、存在性问题导数（任意、存在性问题 2） 1已知函数( )2(1)1f xaxln x，aR （1）讨论( ) x的单调性； （2）当0 x ，01a 时，求证：( ) ax ef x 解： （1）( )f x的定义域为( 1,) ， 1 ( )2 1 fxa x ， 当0a时，( )0fx，即( )f x在( 1,) 上单调递减； 当0a 时， 221 ( ) 1 axa fx x ， 由( )0fx，解得 12 2 a x a ，由( )0fx，解得 12 1 2 a x a ， 即( )f x在 12 ( 1,) 2 a a 上单调递减，在 12
2、( 2 a a ，)上单调递增 综上所述，当0a时，( )f x在( 1,) 上单调递减； 当0a 时，( )f x在 12 ( 1,) 2 a a 上单调递减，在 12 ( 2 a a ，)上单调递增 （2）证明：( ) ax ef x，即2(1)10 ax eaxln x ， 令( )2(1)1 ax g xeaxln x，0 x ，则 1 ( )2 1 ax g xaea x ， 令 1 ( )2 1 ax h xaea x ，则 2 2 1 ( ) (1) ax h xa e x ， 令 2 2 1 ( ) (1) ax xa e x ，则 3 3 2 ( )0 (1) ax xa e
3、 x ， 所以( )x即( )h x在(0,)上单调递增， 又 2 (0)1ha， 当1a 时，(0)0h，则( )0h x恒成立，即( )h x在(0,)上单调递增， 则有( )(0)220h xh； 当01a时， 2 (0)10ha ， 22 2 1 ( )1 (1) axax h xa ea e x ，则 2 ()1 10 lna h a ， 即存在 0 0 x 使得 0 ()0h x，即 0 2 2 0 1 (1) x a e x ， 且 0 0000 2 2 0 0 1 ( )()22(2)0 1 x xxxx h xh xaeaaea eaa ee x ， 即( ) 0h x ，
4、综上所述，( ) 0h x 恒成立，即( )g x在(0,)上单调递增， 所以( )(0)0g xg，即( ) ax ef x 2设aR，已知函数( )(6)() x f xexxa，函数 1 ( ) x lnx g xe xx （）若5a ，求函数( )f x的最小值； （）若对任意实数 1 x和正数 2 x，均有 12 ()() 48f xg xa，求a的取值范围 （注:e为自然对数的底数） 解： （）当5a 时，( )21 x fxex为增函数，且(0)0 f ， 所以( )f x在(,0)递减，在(0,)递增， 所以( )(0)13029 min f xf （）因为 2 111 ( )
5、() xxx lnx g xee lneln xxxx ， 由于函数 2x yx elnx在(0,)上单增，且 1 2 1 ( )0 e gee e ， g （1）0e， 所以存在唯一的 0 1 ( ,1)x e 使得 0 ()0g x且 0 ( )() min g xg x 再令( )u xxlnx，( )1u xlnx ，可知( )u x在(1,)单增， 而由 0 ()0g x可知 0 0 1 ()() x u eu x ， 0 1 x e， 0 1 1 x ，所以 0 0 1 x e x 于是 0 0 0 00 1 () 1 ()()1 x ln x g xe xx ，所以( )1 mi
6、n g x 又( )26 x fxexa为增函数， 当0a时，(0)50fa ，当0a 时， 2 ( )60 2 a a fe； 又当6a时， 2 ( )60 2 a a fe，当6a 时， f （3） 3 0ea， 所以对任意aR， 存在唯一实数 3 x， 使得 3 ()0fx， 即 3 3 26 x aex， 且 3 ( )() min f xf x 由题意，即使得( )( )48 minmin f xg xa， 也即 333 3333 (6)(26)1 48248 xxx exxexex，即 3 33 (3)(1) 0 x xex ， 又由于( )1 x v xex单增且(0)0v， 所
7、以 3 x的值范围为0，3，代入 3 3 26 x aex，求得a的取值范围为 5， 3 e 3已知函数 3 ( )50f xxmx在2x 处取得极值，mR （1）求m的值与( )f x的单调区间； （2） 设02t ， 已知函数 ( ) ( ) 16 f x g x t ， 若对于任意 1 x、22xt， t， 都有 12 |()()| 1g xg x， 求实数t的取值范围 解： （1）由题意得( )f x的定义域为R， 2 ( )3fxxm， 函数 3 ( )50f xxmx在2x 处取得极值， f （2）340m，解得12m ， 则由 2 ( )3123(2)(2)0fxxxx得2x 或
8、2x ， x、( )f x、( )fx的关系如下表： x(, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,) ( )f x 0 0 ( )fx 递增极大值递减极小值递增 函数( )f x的单调递增区间为(, 2) 、(2,)，单调递减区间为( 2,2)； （2）由（1）得函数 3 ( )1250f xxx， 当02t 时，对任意 1 x、 2 2xt， t，都有 12 |()()| 1g xg x， 即当2xt， t，时，( )( )16 maxmin f xf xt， ( )f x在 2，2上单调递减， 2，22t， t， ( )f x在2t ， t上单调递减， 则 3 ( )(2)(2)12(2)5
9、0 max f xf ttt， 3 ( )( )1250 min f xf ttt， 则 2 ( )( )61216 16 maxmin f xf xttt ， 即 2 328 0tt ，解得2t或 4 3 t，结合02t ，得 4 2 3 t ， 故实数t的取值范围为 4 |2 3 tt 4已知函数( ) x f xe，( )1g xlnx， （1）设函数( )( )( )()h xag xg x aR，求( )h x的单调区间和极值； （2）对任意的 1 xR，存在 2 (0,)x ，使得 12 ()()f xg x，求 21 xx的最小值 解： （1）由已知( )( )( )1(0) a
10、 h xag xg xlnxx x 所以 22 1 ( ) axa h x xxx （1 分） 当0a时，( )0h x恒成立，所以( )h x在定义域单调递增，没有极值（2 分） 当0a 时，令( )0h x，得xa，列表得 x(0, )aa( ,)a ( )h x 负0正 ( )h x 单减极小值单增 所以，( )h x在区间(0, )a单调递减，在( ,)a 单调递增，xa时取到极小值( )h xh 极小 （a） 2lna，没有极大值（5 分） 综上，当0a时，( )h x在定义域单调递增，没有极值 当0a 时，( )h x在区间(0, )a单调递减，在( ,)a 单调递增，( )h x
11、h 极小 （a）2lna， 没有极大值（6 分） （2）由已知，设 12 ()()f xg xt 即 1 1 ( ) x f xet， 22 ()1g xlnxt 解得 1 xlnt， 1 2 t xe ，所以 1 21 t xxelnt ， 令 1 ( )(0) t F telnt t ，（8 分） 则 1 1 11 ( ) t t te F te tt 令 1 ( )1 t tte ，则 1 ( )(1)0 t tet 恒成立， 所以 1 ( )1 t tte 在(0,)单调递增，且（1）0 当(0,1)t时，( )0t，( )0F t，所以( )F t单调递减 当(1,)t时，( )0t
12、，( )0F t，所以( )F t单调递增， 即1t 时( )F t取到极小值，也是最小值，所以( )F tF 最小 （1）1 所以 21 xx的最小值为1（12 分） 5已知函数 2 ( )f xlnxxax，aR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若对任意的(1,2)a， 0 1x ，2不等式 0 ()f xmlna恒成立，求实数m的取值范围 解： （1） 2 ( )f xlnxxax，定义域是(0,)， 2 121 ( )2 xax fxxa xx ， 令 2 ( )21(0)h xxaxx， 2 8a， 2 8 0a 即2 22 2a 时，( ) 0h x 恒成立， 即( )
13、 0fx恒成立，( )f x在(0,)单调递增， 2 80a 即2 2a 或2 2a 时，( )0h x 有 2 个不相等的实数根， 此时 2 1 8 4 aa x ， 2 2 8 4 aa x ， 2 2a 时， 2 1 8 0 4 aa x ， 2 2 8 0 4 aa x ， 故 2 8 (0,) 4 aa x 时，( )0h x ，即( )0fx， 2 8 ( 4 aa x ， 2 8) 4 aa 时，( )0h x ，即( )0fx， 2 8 ( 4 aa x ，)时，( )0h x ，即( )0fx， 故( )f x在 2 8 (0,) 4 aa 递增，在 2 8 ( 4 aa ，
14、 2 8) 4 aa 递减，在 2 8 ( 4 aa ，)递 增； 2 2a 时， 2 1 8 0 4 aa x ， 2 2 8 0 4 aa x ，(0,)x时，( )f x递增， 综上：2 2a时，( )f x在(0,)单调递增， 2 2a 时，( )f x在 2 8 (0,) 4 aa 递增， 在 2 8 ( 4 aa ， 2 8) 4 aa 递减， 在 2 8 ( 4 aa ， )递增 （2）0 x ， 1 22 2x x ，当(1,2)a时，( )0fx在1，2上恒成立， ( )f x在1，2上单调递增，( )minf xf（1）1a ， 故问题等价于：对于任意的(1,2)a，不等式1amlna恒成立， 即 1a m lna 恒成立，记（a） 1a lna ，(12)a，则g（a） 2 1alnaa aln a ， 令M（a）1alnaa ，则M（a）0lna ， 所以M（a）在(1,2)上递减，所以M（a）M（1）0， 故g（a）0，所以g（a）在(1,2)a上单调递减， 所以m g（2） 1 2ln ， 即实数m的取值范围为(， 1 2ln
