1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 21解三角形解三角形 （中线、角平分线、高线问题）（中线、角平分线、高线问题） 1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sincos 2 A aCc （1）求A； （2）已知1b ，3c ，求BC边上的中线AD的长 解： （1）因为sincos 2 A aCc， 由正弦定理得sinsinsincos 2 A ACC， 因为sin0C ， 所以sincos 2 A A ， 所以2sincoscos 222 AAA ， 因为0 2 A ， 所以cos0 2 A ， 1 sin 22 A ， 所以 26 A ， 所以 3 A （2）由余弦定理， 222 2
2、cos7,7abcbcAa 解法一： 222 5 cos 22 7 acb B ac ， 在ABD中， 222 13 2cos 4 ADABBDAB BDB， 故 13 2 AD 解法二： 1 () 2 ADABAC ， 则 2 222222 11113 ()(2cos)(22) 4444 ADABACcbcbAcba ， 故 13 2 AD 2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3 cossin3aCcAb （1）求A； （2）若2c ，且BC边上的中线长为3，求b 解： （1）因为3 cossin3aCcAb，由正弦定理可得3sincossinsin3sinACCAB， 因
3、为BAC， 所以3sincossinsin3sincos3cossinACCAACAC， 可得sinsin3cossinCAAC，因为sin0C ，所以sin3cosAA ，可得tan3A ， 又因为(0, )A，可得 2 3 A （2）由余弦定理可得 2222 2cos42abcbcAbb， 又在ABC中， 22222 4 cos 24 acbab B aca ，设BC的中点为D， 在ABD中 ， 2 222 ( )1 24 cos 2 2 2 aa cAD B a a c ， 可 得 2 221 4 4 42 a ab aa ， 可 得 22 420ab， 由可得 2 280bb，解得4b
4、 3已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin? 3 cos? 3bAaBc （1）求角A的大小； （2）若4a ，D为BC的中点，ABC的面积为 3 3 2 ，求AD的长 解： （1）因为sin? 3 cos? 3bAaBc， 所以sinsin? 3sincos? 3sinBAABC， 又sinsin()sincoscossinCABABAB， 所以sinsin3sincos3sincos3cossinBAABABAB，可得： sinsin3cossinBAAB， 因为sin0B ， 所以sin3cosAA，即tan3A ， 因为(0, )A， 所以 3 A （2）因为 3
5、 A ，4a ，ABC的面积为 3 313 sin 224 bcAbc， 所以6bc ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得 2222 166bcbcbc， 可得 22 22bc， 因为2ADABAC ，可得： 22222 1 4|22cos222628 2 ADABACAB ACcbbcA ，解得 2 |7AD ， 可得AD的长为7 4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsinsinsinbBcCaAbC （1）求A； （2）若点D在BC上，满足AD为BAC的平分线，1AC 且 21 sin 7 C ，求AD的长 解： （1）由正弦定理及sinsinsinsi
6、nbBcCaAbC得， 222 bcabc， 由余弦定理可得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为(0, )A，所以 2 3 A （2）由（1）得角 2 3 ABAC ， 又因为AD为BAC的平分线，点D在BC上，所以 3 DACBAD ， 又因为 21 sin 7 C ，且(0,) 3 C ，所以 2 7 cos 7 C ， 所以 133 21 sinsin()sincos 32214 ADCCCC ， 在ADC中，由正弦定理得 sinsin ACAD ADCC ， 即 1 3 2121 147 AD ，解得 2 3 AD 5已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a
7、，b，c，且2 cos2cBab （1）求角C； （2）若角C的角平分线交AB于点D， 1 3 ACD ABC S S ，3AB ，求AC和CD的长度 解：（1）由2 cos2cBab及正弦定理得 2sincos2sinsin2sin()sin2sincos2sincossinCBABBCBBCCBB， 因为sin0B ， 所以 1 cos 2 C ， 由C为三角形内角得 2 3 C ； （2）因为CD平分C，则D到CA，CB的距离相等，设为h， 因为 1 3 ACD ABC SAD AB ， 所以2BDAD， 由角平分线性质得 1 2 bAD aDB ， 所以 1 2 ba， 因为3AB ，
8、 2 3 C ， 由余弦定理得 22 1 ()9 1 2 1 2 2 2 aa aa ， 解得 6 7 7 a 所以 3 7 7 ACb， 因为 13 76 7318 21 2772196 ABC S， 13 73118 21 2723196 ACD SCD ， 解得 2 7 7 CD 6ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数( )sin(2)(0) 2 f xx 的一条对称轴为 6 x ，且f（A） 1 2 （1）求A的值； （2）若2a ，求BC边上的高的最大值 解： （1）函数( )sin(2)(0) 2 f xx 一条对称轴为 6 x ， ()sin(2)1 66 f
9、， 32 k ， 6 k ，kZ， 0 2 ， 6 ，( )sin(2) 6 f xx ， f（A） 1 sin(2) 62 A ，(0, )A， 5 2 66 A ， 3 A （2）由余弦定理得： 22 42cos2bcbcAbcbcbc，当且仅当bc时取等号， 4bc，又 11 sin4sin3 223 ABC SbcA ， ABC的面积最大值为3 故对应高的最大值为： 3 3 1 2 2 7在ABC中，8a ，6b ， 1 cos 3 A ，求： （1）角B； （2）BC边上的高 解： （1）在ABC中，8a ，6b ， 1 cos 3 A ，所以角A为钝角，由 22 sincos1AA， 解得 2 2 sin 3 A 利用正弦定理的应用 sinsin ab AB ，解得 2 sin 2 B ，所以 4 B （2）根据（1）的结论， 2 222142 sinsin()sincoscossin() 32236 CABABAB 所以 1142 sin86164 2 226 ABC SabC ， 由于 11 164 28 22 ahh ，解得42h ， 故BC边上的高为42
