1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 从函数视角研究数列从函数视角研究数列 沪教版高二年级第一学期课本中第 6 页写道： “从函数的观点看，数列可以看成是以正整数集（或其 子集）为定义域的函数。 ”数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数。从这个意义上看，它 丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和 综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有 关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从 而有效地解决数列问题。 一、数列通项公式、求和
2、公式与函数关系 通过对数列中的通项公式以及前 n 项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析，引导学生充分 认识，和 n 的对应关系，从而利用概念，鼓励学生主动探究，挖掘出数列通项公式、求和公式与函 数的内在联系，使学生知识系统化，培养学生数学整体意识，用联系发展的眼光学习数学。在教学实践过 程中，通过学生的自主学习，发挥他们的主体作用，归纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下： 数列通项公式对应函数 等差数列 （时为一次函数） 等比数列 （指数型函数） 数列前 n 项和公式对应函数 等差数列 （时为二次函 数） 等比数列 （指数型函数） 我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱” ，将
3、数列的通项公式以及前 n 项和看成是关于 n 的函数， 为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。 例 1：等差数列中，则 分析：因为是等差数列，所以是关于 n 的一次函数，一次函数图 像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即 ，得=0（图像如下） ，这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 结合图像，直观、简洁。 例 2:等差数列中，前 n 项和为，若，n 为何值时 最大？分析：等差数列前 n 项和可以看成关于 n 的二次函数=，是抛物线 =上的离散点，根据题意，则因为欲求最大值，故其
4、对应二次 函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。 例 3：等差数列和等比数列首项均为 1，且公差不等于 1，公比，则集合 (n,an)|一定含有元素 分析：等差数列，由于首项为 1，即，所以它的图像是必过（1，1） 的一条直线， 而等比数列首项为 1， 公比为 q， 故， 它表示指数函数 图像向右平移一个单位得到，必过（1，1） ，所以此集合中必定含有元素（1，1） 。 二、构建函数，揭示数列本质 新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法。而学会构建函数，一方面体现了学生在学习过程中 的体验、思考与参与，另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识。在构建函数之后，我们需要利用函 数的概
5、念和性质来解决问题。函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等等。在数列学习中 渗透函数思想，不仅可以进一步巩固函数知识，而且可以拓宽学生解决数列问题的视野。 1、构造具体函数，成功“转化” 例 4:递增数列，对任意正整数 n，恒成立，求 分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 恒成立， 所以对一切恒成立， 设， 则只需求出 的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。 构造二次函数，看成函数，它的定义域是 ，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线 对称轴，因为函数 f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动
6、轴与已知区间的位置。从对应图像 上看， 对称轴在的左侧也可以 （如图） ， 因为此时 B 点比 A 点高。 于是， 得 例 5：数列通项,前 30 项中最大项和最小项分别是(C) ABCD 分析:构造特殊函数，将数列通项整理， “脱去外衣” （分离常数） ，得.该函数图 象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像（如图） 。 根据函数图像特点,判断出答案 应选(C). 2、构造抽象函数，成功“突围” 例 6：已知数列满足，则 分析：因为不清楚数列的具体类型，所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而此时我们从函数视角去 考虑，就容易联想到函数的周期性。 令，则 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 那
7、么函数满足，则，+， 得，则，即函数周期为 12 +=-=0 所以=+= 3、数列应用题中构造函数，成功“解决” 数列知识本身就是来源于实际问题，又被广泛应用于实际问题，带有情境的数列问题，不仅可以考察 学生的综合能力，而且可以考察学生解决实际问题的能力。 例 6： 在一次人才招聘会上， A、 B 两家公司分别开出它们的工资标准： A 公司允诺第一年月工资为 1500 元，以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元；B 公司允诺第一年月工资为 2000 元，以后每年月工资在 上一年的基础上递增 5%。设某人年初被 A，B 两家公司同时录用，试问：该人在 A 公司工作比在 B 公司工 作的月工
8、资最多时可高出多少元（精确到 1 元）？ 分析：由题意可知，此人在 A、B 两公司工作的第 n 年月工资数分别为 其中 问题是该人在 A 公司比在 B 公司工资每月高出部分的最大值 故需要比较和 可设 所以问题转化为研究函数最大值 因为当时 即 所以当时，单调递增，而当时，单调递减，因而当时，有 最大值（计算器算出） 。 故此人在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资最多时可高出 827 元。 通过对以上实例的研究和分析，笔者发现，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具 有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用。因此，在教学实践过程中，教师应创设恰当的情 境，让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 方法，理解用函数思想解决数列问题的本质。当学生理解并掌握之后，往往能诱发知识的迁移，使学生产 生举一反三、融会贯通的解决多种数列问题。同时，我们的学生的知识网络能够得以不断优化与完善，思 维丰富并发散，对知识的掌握与运用能够驾轻就熟。
