1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 变化率与导数学习解读变化率与导数学习解读 导数概念的学习因其抽象性历来成为学生理解的一个难点，但由于它是推导导数运算法则与导数公式 的最基本依据，是进一步学习导数知识的基础，因而成为本部分内容学习的重点。下面就导数的学习加以 阐述。 导数的概念导数的概念：一般地，函数 y=f(x)在 0 xx处的瞬时变化率是 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx ，我们称它为函数 y=f(x)在 0 xx处的导数，记作 0 ()fx或 0 |x xy ，即 00 0 00 ()() ()limlim xx f xxf xy fx xx 。
2、一、概念要点解读一、概念要点解读 1.概念的本身给出了求函数 y=f(x)在 0 xx处的导数的步骤，即由导数定义求导数时，须严格按 以下三个步骤进行： (1)求函数的增量)()( 00 xfxxfy； (2)求平均变化率 x xfxxf x y )()( 00 ； (3)取极限，得导数 x y xf x 0 0 lim)( 。 以上步骤可简单归结为：一差、二比、三取极限一差、二比、三取极限。 2.对导数的定义，我们还应注意以下三点： (1)x 是自变量 x 在 0 x处的增量(或改变量)其值可正可负，但不为零。 (2)注意定义式中x 的三统一，即分子、分母及极限符号下的三处应一致 例 1.
3、若 00 0 ()(3 ) ( )3,lim h f xhf xh fx h 则的值为 （） A-3B-6C-9D-12 解析： 0000 040 ()(3 )()(3 ) limlim 4 4 hh f xhf xhf xhf xh hh 00 40 ()(3 ) 4 lim 4 4( )12 h f xhf xh h fx 故答案选 D。 点评点评：本题是关于应用导数的定义来解决的一个题目，旨在考查对定义的理解，特别要注意的是在运 用定义解答的过程中x 的三统一。 （3）导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x0 时， x y 有极限，那么函数 y=f(x)在点 0 x 处可导或可微，才
4、能得到 f(x)在点 0 x处的导数 二、导数的意义二、导数的意义 1.导数的几何意义 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 函数函数 y=f(x)y=f(x)在在 0 xx处的导数处的导数 0 ()fx，就是曲线，就是曲线 y=f(x)y=f(x)在点在点 00 (,)P xy处的切线的斜率。处的切线的斜率。 实际上，定义中的平均变化率 00 ()() () f xxf xy xxxx 即是曲线 y=f(x)上过点 00 (,()xf x及点 00 (,()xx f xx 的割线斜率， 当x0 时， 其极限即为函数 y=f(x)的图象在点 00 (,()xf x处的斜率。 例 2.求曲线
5、 2 1yx在点(1,2)P处的切线方程。 分析：由于点(1,2)P在曲线 2 1yx上，只需出切线的斜率k即可写出直线的点斜式方程。于是问 题转化为如何求曲线 2 1yx在1x 处的导数。 解析：当自变量的增量为x时，函数值的增量 222 (1)1 (11)2yxxx 由导数的定义 2 00 0000 ()()2 limlimlimlim(2)2 xxxx f xxf xyxx x xxx 即切线的斜率 |1 2 x ky ，代入直线的点斜式方程得 22(1)yx，化简整理得2yx。 2.导数的物理意义 如果物体的运动规律是( )hh t，那么，物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t时刻到t
6、t这段 时间内，当t0 时平均速度的极限即 00 ()( ) limlim tt hh tth t v tt 当t很小时，平均速度是瞬时速度的近似值，在取极限的条件下，平均速度转化为瞬时速度。 例 3. 在直线赛道的自行车比赛中，运动员行驶的位移s（单位m）与比赛时间t（单位s）之间存在 函数关系 2 ( )100.6s ttt，试求10t 的速度。 解析：对于函数 2 ( )100.6s ttt 222 10()0.6()100.6101.20.6 10 1.20.6 stttttttttt tt ttt 00 limlim(10 1.20.6)10 1.2 tt s ttt t 即 ( ) 10 1.2vs tt， 所以，当10t 时， (10) 10 1.2 1022/vsm s 即当10t 时的速度是22/m s。 点评点评：s表示的是位移的增量，而t表示的是时间的增量，从物理学的角度看， 位移 时间 等于速度， 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 从而当t0， s t 表示的是在时刻t处的瞬时速度。故有曲线的导数表示速度曲线。曲线的导数表示速度曲线。 导数的概念是本节主要的内容，其中准确理解变化率、平均变化率是学习导数的关键，对函数在某一 点处的平均变化率求极限即得导数的定义，进一步可得出导数的两个意义，即几何意义和物理意义。
